切比雪夫第二函數 ψ ( x ) {\displaystyle \psi (x)} 在x < 50 時的圖像 在數學 上,切比雪夫函數 (Chebyshev Function)可指一個標量化函數(切比雪夫加權標量化函數),或兩個彼此相關的函數的其中之一。
切比雪夫第一函數 (First Chebyshev Function)在文獻中一般記做 ϑ ( x ) {\displaystyle \vartheta (x)} 或 θ ( x ) {\displaystyle \theta (x)} ,其形式如下:
ϑ ( x ) = ∑ p ≤ x log p {\displaystyle \vartheta (x)=\sum _{p\leq x}\log p} 其中 log {\displaystyle \log } 是自然對數 ,而切比雪夫第一函數就是所有小於等於x 的質數p 的自然對數的總和。
切比雪夫第二函數 (Second Chebyshev Function)在文獻中一般記做 ψ ( x ) {\displaystyle \psi (x)} ,其定義類似,為所有小於等於x 的質數p 的冪的自然對數的總和,而其形式如下:
ψ ( x ) = ∑ k ∈ N ∑ p k ≤ x log p = ∑ n ≤ x Λ ( n ) = ∑ p ≤ x ⌊ log p x ⌋ log p , {\displaystyle \psi (x)=\sum _{k\in \mathbb {N} }\sum _{p^{k}\leq x}\log p=\sum _{n\leq x}\Lambda (n)=\sum _{p\leq x}\left\lfloor \log _{p}x\right\rfloor \log p,} 其中 Λ {\displaystyle \Lambda } 是馮·曼戈爾特函數 。切比雪夫函數,尤其切比雪夫第二函數 ψ ( x ) {\displaystyle \psi (x)} ,經常出現於與質數 相關的數學證明 中,而這是因為這些函數比質數計數函數 π ( x ) {\displaystyle \pi (x)} 還容易處理之故。可見下等式 一節說明。
切比雪夫第一及第二函數都與x 呈現非病態關係,而這點等價於質數定理 。
除了上述的切比雪夫第一及第二函數外,還有個與上述無關無關的切比雪夫加權標量化函數 (Tchebycheff function或weighted Tchebycheff scalarizing function)或切比雪夫效用函數 (Chebyshev utility function),其形式如下:
f T c h b ( x , w ) = max i w i f i ( x ) . {\displaystyle f_{Tchb}(x,w)=\max _{i}w_{i}f_{i}(x).} [1] 藉由最小化這方程式不同 w {\displaystyle w} 的數值,可得到帕累托前沿 的每個點,甚至是非凸性的部分。[1] 很多時候,要最小化的不是 f i {\displaystyle f_{i}} ,而是在給定標量 z i ∗ {\displaystyle z_{i}^{*}} 的狀況下 | f i − z i ∗ | {\displaystyle |f_{i}-z_{i}^{*}|} 的數值,而在這種狀況下有 f T c h b ( x , w ) = max i w i | f i ( x ) − z i ∗ | . {\displaystyle f_{Tchb}(x,w)=\max _{i}w_{i}|f_{i}(x)-z_{i}^{*}|.} 。[2]
這三個函數皆以帕夫努季·利沃维奇·切比雪夫 為名,唯本文的主題是數論上的切比雪夫第一及第二函數,切比雪夫加權標量化函數與這兩函數無關,也不會出現在接下來的討論中。
切比雪夫第一及第二函數的關係 [ 编辑 ] 切比雪夫第一及第二函數彼此相關,要驗證這點,可先將切比雪夫第二函數寫成如下形式:
ψ ( x ) = ∑ p ≤ x k log p {\displaystyle \psi (x)=\sum _{p\leq x}k\log p} 其中k 是使得 p k ≤ x < p k + 1 {\displaystyle p^{k}\leq x<p^{k+1}} 的唯一整數,而k 的值可參見A206722 。一個更直接的關係如下:
ψ ( x ) = ∑ n = 1 ∞ ϑ ( x 1 n ) . {\displaystyle \psi (x)=\sum _{n=1}^{\infty }\vartheta {\big (}x^{\frac {1}{n}}{\big )}.} 注意的是和的後半段只有有限多個非零數值,而這是因為有下式之故:
ϑ ( x 1 n ) = 0 for n > log 2 x = log x log 2 . {\displaystyle \vartheta {\big (}x^{\frac {1}{n}}{\big )}=0\quad {\text{for}}\quad n>\log _{2}x={\frac {\log x}{\log 2}}.} 切比雪夫第二函數是從1到n 所有數的最小公倍數 的自然對數:
lcm ( 1 , 2 , … , n ) = e ψ ( n ) . {\displaystyle \operatorname {lcm} (1,2,\dots ,n)=e^{\psi (n)}.} 對於n 而言,lcm(1, 2, ..., n ) 的值可參見A003418 。
以下定理 將 ψ ( x ) x {\displaystyle {\frac {\psi (x)}{x}}} 及 ϑ ( x ) x {\displaystyle {\frac {\vartheta (x)}{x}}} 這兩個分數給聯繫起來。[3]
定理: 若 x > 0 {\displaystyle x>0} 則有
0 ≤ ψ ( x ) x − ϑ ( x ) x ≤ ( log x ) 2 2 x log 2 . {\displaystyle 0\leq {\frac {\psi (x)}{x}}-{\frac {\vartheta (x)}{x}}\leq {\frac {(\log x)^{2}}{2{\sqrt {x}}\log 2}}.} 注意:從此不等式 可推出
lim x → ∞ ( ψ ( x ) x − ϑ ( x ) x ) = 0. {\displaystyle \lim _{x\to \infty }\!\left({\frac {\psi (x)}{x}}-{\frac {\vartheta (x)}{x}}\right)\!=0.} 換句話說,若 ψ ( x ) / x {\displaystyle \psi (x)/x} 或 ϑ ( x ) / x {\displaystyle \vartheta (x)/x} 其中一個趨近某個極限 ,則另一個也是如此,也就是兩者的極限相等。
證明: 由於 ψ ( x ) = ∑ n ≤ log 2 x ϑ ( x 1 / n ) {\displaystyle \psi (x)=\sum _{n\leq \log _{2}x}\vartheta (x^{1/n})} ,因此有
0 ≤ ψ ( x ) − ϑ ( x ) = ∑ 2 ≤ n ≤ log 2 x ϑ ( x 1 / n ) . {\displaystyle 0\leq \psi (x)-\vartheta (x)=\sum _{2\leq n\leq \log _{2}x}\vartheta (x^{1/n}).} 而由 ϑ ( x ) {\displaystyle \vartheta (x)} 的定義,可得以下明顯的不等式:
ϑ ( x ) ≤ ∑ p ≤ x log x ≤ x log x {\displaystyle \vartheta (x)\leq \sum _{p\leq x}\log x\leq x\log x} 因此有
0 ≤ ψ ( x ) − ϑ ( x ) ≤ ∑ 2 ≤ n ≤ log 2 x x 1 / n log ( x 1 / n ) ≤ ( log 2 x ) x log x = log x log 2 x 2 log x = x ( log x ) 2 2 log 2 . {\displaystyle {\begin{aligned}0\leq \psi (x)-\vartheta (x)&\leq \sum _{2\leq n\leq \log _{2}x}x^{1/n}\log(x^{1/n})\\&\leq (\log _{2}x){\sqrt {x}}\log {\sqrt {x}}\\&={\frac {\log x}{\log 2}}{\frac {\sqrt {x}}{2}}\log x\\&={\frac {{\sqrt {x}}\,(\log x)^{2}}{2\log 2}}.\end{aligned}}} 最後,將此不等式兩邊除以 x {\displaystyle x} ,即可得定理的不等式。
非病態關係及上下界 [ 编辑 ] 對於切比雪夫函數,有以下已知的界線。其中p k 是第k 個質數,也就是p 1 = 2 、p 2 = 3 等等:[1] [2]
ϑ ( p k ) ≥ k ( log k + log log k − 1 + log log k − 2.050735 log k ) for k ≥ 10 11 , ϑ ( p k ) ≤ k ( log k + log log k − 1 + log log k − 2 log k ) for k ≥ 198 , | ϑ ( x ) − x | ≤ 0.006788 x log x for x ≥ 10 544 111 , | ψ ( x ) − x | ≤ 0.006409 x log x for x ≥ e 22 , 0.9999 x < ψ ( x ) − ϑ ( x ) < 1.00007 x + 1.78 x 3 for x ≥ 121. {\displaystyle {\begin{aligned}\vartheta (p_{k})&\geq k\left(\log k+\log \log k-1+{\frac {\log \log k-2.050735}{\log k}}\right)&&{\text{for }}k\geq 10^{11},\\[8px]\vartheta (p_{k})&\leq k\left(\log k+\log \log k-1+{\frac {\log \log k-2}{\log k}}\right)&&{\text{for }}k\geq 198,\\[8px]|\vartheta (x)-x|&\leq 0.006788\,{\frac {x}{\log x}}&&{\text{for }}x\geq 10\,544\,111,\\[8px]|\psi (x)-x|&\leq 0.006409\,{\frac {x}{\log x}}&&{\text{for }}x\geq e^{22},\\[8px]0.9999{\sqrt {x}}&<\psi (x)-\vartheta (x)<1.00007{\sqrt {x}}+1.78{\sqrt[{3}]{x}}&&{\text{for }}x\geq 121.\end{aligned}}} 此外,若黎曼猜想成立,則對於任意的 ε > 0 {\displaystyle \varepsilon >0} 而言,有以下關係式:
| ϑ ( x ) − x | = O ( x 1 2 + ε ) | ψ ( x ) − x | = O ( x 1 2 + ε ) {\displaystyle {\begin{aligned}|\vartheta (x)-x|&=O{\Big (}x^{{\frac {1}{2}}+\varepsilon }{\Big )}\\|\psi (x)-x|&=O{\Big (}x^{{\frac {1}{2}}+\varepsilon }{\Big )}\end{aligned}}} 對任意的 x > 0 {\displaystyle x>0} 而言,切比雪夫第一函數 ϑ ( x ) {\displaystyle \vartheta (x)} 及第二函數 ψ ( x ) {\displaystyle \psi (x)} 有以下的上界:[4] [3]
ϑ ( x ) < 1.000028 x ψ ( x ) < 1.03883 x {\displaystyle {\begin{aligned}\vartheta (x)&<1.000028x\\\psi (x)&<1.03883x\end{aligned}}} 對於1.03883這常數的解釋,可見A206431 的說明。
1895年,漢斯·馮·曼戈爾特 證明了[4] ψ ( x ) {\displaystyle \psi (x)} 有以下作為黎曼ζ函數 非平凡零點和的解析解 :
ψ 0 ( x ) = x − ∑ ρ x ρ ρ − ζ ′ ( 0 ) ζ ( 0 ) − 1 2 log ( 1 − x − 2 ) . {\displaystyle \psi _{0}(x)=x-\sum _{\rho }{\frac {x^{\rho }}{\rho }}-{\frac {\zeta '(0)}{\zeta (0)}}-{\tfrac {1}{2}}\log(1-x^{-2}).} 其中ζ′ (0)/ ζ (0) 的數值為log(2π) 、ρ 遍歷黎曼ζ函數的所有非平凡零點,而ψ 0 是一個與ψ 類似的函數,但差別是其在跳躍不連續點 (質數的冪)的取值為其左邊與右邊值的中間:
ψ 0 ( x ) = 1 2 ( ∑ n ≤ x Λ ( n ) + ∑ n < x Λ ( n ) ) = { ψ ( x ) − 1 2 Λ ( x ) x = 2 , 3 , 4 , 5 , 7 , 8 , 9 , 11 , 13 , 16 , … ψ ( x ) otherwise. {\displaystyle \psi _{0}(x)={\frac {1}{2}}\!\left(\sum _{n\leq x}\Lambda (n)+\sum _{n<x}\Lambda (n)\right)={\begin{cases}\psi (x)-{\tfrac {1}{2}}\Lambda (x)&x=2,3,4,5,7,8,9,11,13,16,\dots \\[5px]\psi (x)&{\mbox{otherwise.}}\end{cases}}} 就自然對數 的泰勒展開式 而言,解析解的最後一項可理解為xω / ω 對黎曼ζ函數平凡零點ω = −2, −4, −6, ... 的求和。也就是說,
∑ k = 1 ∞ x − 2 k − 2 k = 1 2 log ( 1 − x − 2 ) . {\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{\frac {x^{-2k}}{-2k}}={\tfrac {1}{2}}\log \left(1-x^{-2}\right).} 類似地,此公式第一項x = x 1 / 1 對應到黎曼ζ函數在1的單純極點 。這部分作為極點而非零點的事實,說明了項的變號。
一個由埃哈德·施密特 證明的結果指稱,對於某個特定的正常數K ,存在有無限多個正整數 x 使得
ψ ( x ) − x < − K x {\displaystyle \psi (x)-x<-K{\sqrt {x}}} 同時有無限多個正整數x 使得
ψ ( x ) − x > K x . {\displaystyle \psi (x)-x>K{\sqrt {x}}.} [5] [6] 使用小o 符號 ,可將上式重述為
ψ ( x ) − x ≠ o ( x ) . {\displaystyle \psi (x)-x\neq o\left({\sqrt {x}}\,\right).} 哈代 與李特爾伍德 [7] 證明了一個更強的結果,表述如下:
ψ ( x ) − x ≠ o ( x log log log x ) . {\displaystyle \psi (x)-x\neq o\left({\sqrt {x}}\,\log \log \log x\right).} 也就是說有無限多的正整數x ,使得 ψ ( x ) {\displaystyle \psi (x)} 與x 之間的差的絕對值超過 x log log log x {\displaystyle {\sqrt {x}}\,\log \log \log x} 。
與質數階乘的關係 [ 编辑 ] 切比雪夫第一函數也是x 的質數階乘 x # 的對數:
ϑ ( x ) = ∑ p ≤ x log p = log ∏ p ≤ x p = log ( x # ) . {\displaystyle \vartheta (x)=\sum _{p\leq x}\log p=\log \prod _{p\leq x}p=\log \left(x\#\right).} 這說明了質數階乘x # 非病態地等於e (1 + o (1))x ,其中o 是小o 符號(見大O符號 一文的說明),而這點與質數定理共同確立了p n # 的非病態行為。
與質數計數函數間的關係 [ 编辑 ] 切比雪夫函數可透過下式與與質數計數函數 發生關係。定義
Π ( x ) = ∑ n ≤ x Λ ( n ) log n . {\displaystyle \Pi (x)=\sum _{n\leq x}{\frac {\Lambda (n)}{\log n}}.} 那麼有
Π ( x ) = ∑ n ≤ x Λ ( n ) ∫ n x d t t log 2 t + 1 log x ∑ n ≤ x Λ ( n ) = ∫ 2 x ψ ( t ) d t t log 2 t + ψ ( x ) log x . {\displaystyle \Pi (x)=\sum _{n\leq x}\Lambda (n)\int _{n}^{x}{\frac {dt}{t\log ^{2}t}}+{\frac {1}{\log x}}\sum _{n\leq x}\Lambda (n)=\int _{2}^{x}{\frac {\psi (t)\,dt}{t\log ^{2}t}}+{\frac {\psi (x)}{\log x}}.} 從Π 到質數計數函數 π 間的轉換可由下式表示:
Π ( x ) = π ( x ) + 1 2 π ( x ) + 1 3 π ( x 3 ) + ⋯ {\displaystyle \Pi (x)=\pi (x)+{\tfrac {1}{2}}\pi \left({\sqrt {x}}\,\right)+{\tfrac {1}{3}}\pi \left({\sqrt[{3}]{x}}\,\right)+\cdots } 由於很明顯地,有π (x ) ≤ x 之故,因此為了估計的目的,最後的關係式可重述如下:
π ( x ) = Π ( x ) + O ( x ) . {\displaystyle \pi (x)=\Pi (x)+O\left({\sqrt {x}}\,\right).} 黎曼猜想 [ 编辑 ] 黎曼猜想 指稱說黎曼ζ函數任意的非顯著零點的實部的值為1 / 2 。在這種狀況下,有|x ρ | = √x ,且可證明說
∑ ρ x ρ ρ = O ( x log 2 x ) . {\displaystyle \sum _{\rho }{\frac {x^{\rho }}{\rho }}=O\!\left({\sqrt {x}}\,\log ^{2}x\right).} 由上式可推得
π ( x ) = li ( x ) + O ( x log x ) . {\displaystyle \pi (x)=\operatorname {li} (x)+O\!\left({\sqrt {x}}\,\log x\right).} 平滑化函數 [ 编辑 ] 平滑化切比雪夫函數 定義如下:
ψ 1 ( x ) = ∫ 0 x ψ ( t ) d t . {\displaystyle \psi _{1}(x)=\int _{0}^{x}\psi (t)\,dt.} 顯然有 ψ 1 ( x ) ∼ x 2 2 . {\displaystyle \psi _{1}(x)\sim {\frac {x^{2}}{2}}.}
參考資料 [ 编辑 ] ^ 1.0 1.1 Joshua Knowles. Multiobjective Optimization Concepts, Algorithms and Performance Measures (PDF) . The University of Manchester: 34. 2 May 2014. ^ Ho-Huu, V.; Hartjes, S.; Visser, H. G.; Curran, R. An improved MOEA/D algorithm for bi-objective optimization problems with complex Pareto fronts and its application to structural optimization (PDF) . Expert Systems with Applications (Delft University of Technology). 2018. Page 6 equation (2). doi:10.1016/j.eswa.2017.09.051 . ^ Apostol, Tom M. Introduction to Analytic Number Theory. Springer. 2010: 75–76. ^ Rosser, J. Barkley; Schoenfeld, Lowell. Approximate formulas for some functions of prime numbers. . Illinois J. Math. 1962, 6 : 64–94. ^ Pierre Dusart , "Estimates of some functions over primes without R.H.". ^ Pierre Dusart, "Sharper bounds for ψ , θ , π , p k ", Rapport de recherche no. 1998-06, Université de Limoges. An abbreviated version appeared as "The k th prime is greater than k (log k + log log k − 1) for k ≥ 2 ", Mathematics of Computation , Vol. 68, No. 225 (1999), pp. 411–415. ^ Erhard Schmidt, "Über die Anzahl der Primzahlen unter gegebener Grenze", Mathematische Annalen , 57 (1903), pp. 195–204. ^ G .H. Hardy and J. E. Littlewood, "Contributions to the Theory of the Riemann Zeta-Function and the Theory of the Distribution of Primes", Acta Mathematica , 41 (1916) pp. 119–196. ^ Davenport, Harold (2000). 可見於《Multiplicative Number Theory 》一書。 Springer. p. 104. ISBN 0-387-95097-4 . Google Book Search. 額外補充 [ 编辑 ] 外部連結 [ 编辑 ]