分圆多项式 此條目需要擴充。 (2013年2月14日)请協助改善这篇條目,更進一步的信息可能會在討論頁或扩充请求中找到。请在擴充條目後將此模板移除。 此條目没有列出任何参考或来源。 (2011年7月26日)維基百科所有的內容都應該可供查證。请协助補充可靠来源以改善这篇条目。无法查证的內容可能會因為異議提出而被移除。 n {\displaystyle n} 次分圆多项式,是指多项式 x n − 1 {\displaystyle x^{n}-1} 分解因式结果中的一个特定多项式 f ( x ) {\displaystyle f(x)} ,满足 f ( x ) = 0 {\displaystyle f(x)=0} 的解都不是低于 n {\displaystyle n} 次的形如 x n − 1 = 0 {\displaystyle x^{n}-1=0} 的方程的解。 n次的分圓多項式的根是 e 2 i π k n {\displaystyle \mathrm {e} ^{\frac {2\mathrm {i} \pi k}{n}}} (对所有满足 gcd ( k , n ) = 1 {\displaystyle \gcd(k,n)=1} 的整数 k {\displaystyle k} )。 例子[编辑] 下表是几个次数较低的分圆多项式。 次数 对应的分圆多项式 1 x − 1 {\displaystyle x-1} 2 x + 1 {\displaystyle x+1} 3 x 2 + x + 1 {\displaystyle x^{2}+x+1} 4 x 2 + 1 {\displaystyle x^{2}+1} 5 x 4 + x 3 + x 2 + x + 1 {\displaystyle x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1} 6 x 2 − x + 1 {\displaystyle x^{2}-x+1} 7 x 6 + x 5 + x 4 + x 3 + x 2 + x + 1 {\displaystyle x^{6}+x^{5}+x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1} 8 x 4 + 1 {\displaystyle x^{4}+1} 9 x 6 + x 3 + 1 {\displaystyle x^{6}+x^{3}+1} 10 x 4 − x 3 + x 2 − x + 1 {\displaystyle x^{4}-x^{3}+x^{2}-x+1} 11 x 10 + x 9 + x 8 + x 7 + x 6 + x 5 + x 4 + x 3 + x 2 + x + 1 {\displaystyle x^{10}+x^{9}+x^{8}+x^{7}+x^{6}+x^{5}+x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1} 12 x 4 − x 2 + 1 {\displaystyle x^{4}-x^{2}+1} 性質[编辑] 基礎性質: 分圓多項式是整系數的不可約多項式,對於 x n − 1 {\displaystyle x^{n}-1} 的分圓多項式 f ( n ) {\displaystyle f(n)} ,有 f ( n ) {\displaystyle f(n)} 的次數為 φ ( n ) $ {\displaystyle \varphi (n)\$} ,其中 φ ( n ) {\displaystyle \varphi (n)} 是歐拉函数。 計算: 對於n為質數的分圓多項式,我們有: f ( x ) = 1 + x + x 2 + . . . + x n − 1 = ∑ k = 0 n − 1 x k {\displaystyle f\left(x\right)=1+x+x^{2}+...+x^{n-1}=\sum _{k=0}^{n-1}x^{k}}