倒角 (幾何)

Wikipedia open wikipedia design.

立方體與切稜深度不同的倒角立方體
倒角正多面體

在幾何學中,倒角是一種將替換為維面的操作,也可以視為切稜(又稱裁邊或截邊)操作的一種[1]

特性[编辑]

對多面體進行倒角操作之後會使多面體中原有的稜轉變成六邊形面。在康威多面體表示法中,倒角用c表示,並且會使原有有e條稜的多面體產生2e個新頂點、3e條新稜和e個新的六邊形面[2][3]

倒角多面體[编辑]

倒角多面體又稱切稜多面體,是指多面體套用倒角變換後形成的立體圖形。宮崎興二、石井源久將這類立體稱為切稜多面体[4]。若將倒角視為將多面體的稜切除則如同截角一樣根據不同的裁切深度會形成不一樣的立體圖形,其可以分為小切稜、中切稜和大切稜,大切稜又稱最大切稜,其代表著切去稜並切至原本的面消失的情況[5]

倒角正多面體[编辑]

較常被探討的倒角多面體為凸正多面體套用倒角變換後的像[6][7],其中,倒角四面體[8]倒角立方體[9]倒角十二面體[10]在一些與富勒烯相關的研究被探討過。[9]

原像 Polyhedron 4a.png Polyhedron 4b.png
正四面體
Polyhedron 6.png
立方體
Polyhedron 8.png
正八面體
Polyhedron 12.png
正十二面體
Polyhedron 20.png
正二十面體
倒角 Polyhedron chamfered 4a edeq.png Polyhedron chamfered 4b edeq.png
倒角四面體
Polyhedron chamfered 6 edeq.png
倒角立方体
Polyhedron chamfered 8 edeq.png
倒角八面體
Polyhedron chamfered 12 edeq.png
倒角十二面體
Polyhedron chamfered 20 edeq.png
倒角二十面體

考慮到倒角利用不同深度的切稜操作完成時,可以多產生菱形十二面体菱形三十面体等立體。[11]

正四面体 立方体 正八面体 正十二面体 正二十面体
Cham4a.png Cham6a.png Cham8a.png Cham12a.png Cham20a.png
小切稜 Cham4b.png Cham6b.png Cham8b.png Cham12b.png Cham20b.png
中切稜 Cham4c.png Cham6c.png Cham8c.png Cham12c.png Cham20c.png
大切稜 Cham6a.png Cham6d.png Cham6d.png Cham12d.png Cham12d.png
立方体 菱形十二面体 菱形十二面体 菱形三十面体 菱形三十面体
其他倒角多面體
原像 Great dodecahedron.png
大十二面體
Yellow small stellated dodecahedron.svg
小星形十二面體
Great icosahedron.png
大二十面體
Great stellated dodecahedron with yellow pentagram.svg
大星形十二面體
倒角 Chamfered Great dodecahedron with blue hexagon.svg Chamfered small stellated dodecahedron with blue hexagon.svg Chamfered great icosahedron with blue hexagon.svg Chamfered great stellated dodecahedron with blue hexagon.svg
其他倒角鑲嵌圖
正鑲嵌圖和部分均勻鑲嵌圖的倒角
Uniform tiling 44-t0.svg
正方形鑲嵌
Uniform tiling 63-t2.svg
正三角形鑲嵌
Uniform tiling 63-t0.svg
正六邊形鑲嵌
1-uniform 7 dual.svg
菱形鑲嵌
Chamfer square tiling.svg Chamfer triangular tiling.svg Chamfer hexagonal tiling.svg Chamfered rhombille tiling.svg
倒角正方形鑲嵌英语Chamfered square tiling[12][13] 倒角三角形鑲嵌 倒角六邊形鑲嵌 倒角菱形鑲嵌

戈德堡多面體的關係[编辑]

迭代多次倒角變換可以產生面數更多的多面體,每一次的倒角變換都會產生新的六邊形面,且若原本的多面體是戈德堡多面體,則倒角變換會使戈德堡符號計為GP(m,n)的立體轉變為新的戈德堡多面體,計為GP(2m,2n)。[14][15]

GP(1,0) GP(2,0) GP(4,0) GP(8,0) GP(16,0)...
GPIV
{4+,3}
Uniform polyhedron-43-t0.svg
C
Truncated rhombic dodecahedron2.png
cC
Octahedral goldberg polyhedron 04 00.svg
ccC
Octahedral goldberg polyhedron 08 00.svg
cccC
GPV
{5+,3}
Uniform polyhedron-53-t0.svg
D
Truncated rhombic triacontahedron.png
cD
Chamfered chamfered dodecahedron.png
ccD
Chamfered chamfered chamfered dodecahedron.png
cccD
Chamfered chamfered chamfered chamfered dodecahedron.png
ccccD
GPVI
{6+,3}
Uniform tiling 63-t0.svg
H
Truncated rhombille tiling.png
cH
Chamfered chamfered hexagonal tiling.png
ccH

cccH

ccccH

參見[编辑]

參考文獻[编辑]

  1. ^ 立花徹美著. 半正多面体の生成(第2報)-切頭・切稜による生成とパソコンによる作図. 図学研究 41号(1987/08). 
  2. ^ Adrian Rossiter. conway - Conway Notation transformations. Antiprism Polyhedron Modelling Software. [2019-10-21]. (原始内容存档于2019-10-21). 
  3. ^ Anselm Levskaya. polyHédronisme. [2019-10-21]. (原始内容存档于2013-06-07). 
  4. ^ 宮崎興二. 多面体百科. 丸善出版. 2016/10/31. ISBN 978-4621300442. 
  5. ^ 切稜多面体. sakura.ne.jp. [2019-10-21]. (原始内容存档于2019-10-21). 
  6. ^ Goldberg, Michael. A class of multi-symmetric polyhedra. Tohoku Mathematical Journal. 1937 [2019-10-21]. (原始内容存档于2019-10-21). 
  7. ^ Joseph D. Clinton, Clinton’s Equal Central Angle Conjecture [1] 页面存档备份,存于互联网档案馆
  8. ^ Antoine Deza, Michel Deza, Viatcheslav Grishukhin, Fullerenes and coordination polyhedra versus half-cube embeddings, 1998 PDF [2] 页面存档备份,存于互联网档案馆 (p. 72 Fig. 26. Chamfered tetrahedron)
  9. ^ 9.0 9.1 Deza, A.; Deza, M.; Grishukhin, V., Fullerenes and coordination polyhedra versus half-cube embeddings, Discrete Mathematics, 1998, 192 (1): 41–80, doi:10.1016/S0012-365X(98)00065-X, (原始内容存档于2007-02-06) 
  10. ^ C80 Isomers. nanotube.msu.edu. [2014-8-12]. (原始内容存档于2014-08-12). 
  11. ^ Livio Zefiro. Vertex- and edge-truncation of the Platonic and Archimedean solids leading to vertex-transitive polyhedra. mi.sanu.ac.rs. [2019-10-21]. (原始内容存档于2019-03-16). 
  12. ^ Tile Patterns Gallery. houseplanshelper.com. [2019-10-23]. (原始内容存档于2019-10-23). 
  13. ^ Laying Patterns. toppstiles.co.uk. [2019-10-23]. (原始内容存档于2019-09-13). 
  14. ^ Dual Geodesic Icosahedra. dmccooey.com. [2019-10-23]. (原始内容存档于2019-10-23). 
  15. ^ Hart, George. Goldberg Polyhedra. (编) Senechal, Marjorie. Shaping Space 2nd. Springer. 2012: 125–138. doi:10.1007/978-0-387-92714-5_9. 


This page is based on a Wikipedia article written by contributors (read/edit).
Text is available under the CC BY-SA 4.0 license; additional terms may apply.
Images, videos and audio are available under their respective licenses.

Destek