伴随勒让德多项式

伴随勒让德多项式（Associated Legendre polynomials，又译缔合勒让德多项式、连带勒让德多项式、关联勒让德多项式）^[1]是数学上对如下形式常微分方程解函数序列的称呼：

${\displaystyle (1-x^{2})\,{\frac {d^{2}\,y}{dx^{2}}}-2x{\frac {dy}{dx}}+\left(\ell [\ell +1]-{\frac {m^{2}}{1-x^{2}}}\right)\,y=0}$

该方程是在球坐标系下求解拉普拉斯方程时得到的，在数学和理论物理学中有重要的意义。

因上述方程仅当 ${\displaystyle \ell }$ 和 ${\displaystyle m\,}$ 均为整数且满足 ${\displaystyle 0\leq m\leq \ell }$ 时，才在区间 [−1, 1] 上有非奇异解，所以通常把 ${\displaystyle \ell }$ 和 ${\displaystyle m\,}$ 均为整数时方程的解称为伴随勒让德多项式；把 ${\displaystyle \ell }$ 和/或 ${\displaystyle m\,}$ 为一般实数或复数时方程的解称为广义勒让德函数（generalized Legendre functions）。

当 ${\displaystyle m\,=0}$、${\displaystyle \ell }$为整数时，方程的解即为一般的勒让德多项式。

注意当 m 为奇数时，连带勒让德多项式并不是多项式。

与勒让德多项式一样，连带勒让德多项式在区间 [-1,1] 上也满足正交性。

${\displaystyle \int _{-1}^{1}P_{l}^{m}(x)P_{k}^{m}(x)\mathrm {d} x={\frac {(l+m)!}{(l-m)!}}{\frac {2}{2l+1}}\delta _{kl}}$

这是因为，与勒让德方程一样，连带勒让德方程也是施图姆-刘维尔型的：

${\displaystyle \left\{{\frac {m^{2}}{1-x^{2}}}-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left[(1-x^{2}){\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\right]\right\}P_{l}^{m}(x)=\lambda P_{l}^{m}(x),\quad \lambda =l(l+1),l\in \mathbb {Z} _{0}^{+}}$

正交性的另一种表述如下，它与下面提到的球谐函数有关。

${\displaystyle \int _{0}^{\pi }P_{l}^{m}(\cos \theta )P_{k}^{m}(\cos \theta )\sin \theta \mathrm {d} \theta ={\frac {(l+m)!}{(l-m)!}}{\frac {2}{2l+1}}\delta _{kl}}$

连带勒让德多项式可以由勒让德多项式求 m 次导得到：

${\displaystyle P_{l}^{m}(x)=(1-x^{2})^{m/2}P_{l}^{(m)}(x)}$

等号右边的上标 (m) 表示求 m 次导。

连带勒让德函数（即 l, m 不一定要是整数）可以用高斯超几何函数表达为：

${\displaystyle P_{\nu }^{\mu }(z)={\frac {1}{\Gamma (1-\mu )}}\left({\frac {z-1}{z+1}}\right)^{\mu /2}\,_{2}F_{1}(-\nu ,\nu +1,1-\mu ,{\frac {1-z}{2}})}$

注意 μ 为正整数 m 时 1-μ 是伽玛函数的奇点，此时等号右边的式子应该理解为当 μ 趋于 m 时的极限。

显然连带勒让德方程在变换 m→-m 下保持不变，传统上习惯定义负数阶连带勒让德多项式为：

${\displaystyle P_{l}^{-m}(x)=(-1)^{m}{\frac {(l-m)!}{(l+m)!}}P_{l}^{m}(x),\quad m=1,\ldots ,l;l\in \mathbb {Z} ^{+}}$

容易验证，这样定义的连带勒让德多项式能够使得上面的正交关系可以推广到 m 为负数的情况。

注意在个别文献（如上面的图，以及球谐函数一文）中会直接取

${\displaystyle P_{l}^{-m}(x)=P_{l}^{m}(x)}$

本文不采用这种定义。

球谐函数是球坐标下三维空间拉普拉斯方程的角度部分的解，构成一组完备的基组，有着重要的意义。

采用本文中定义的连带勒让德多项式的表达式，球谐函数可以表达为：

${\displaystyle Y_{l}^{m}(\theta ,\phi )={\sqrt {{\frac {(l-m)!}{(l+m)!}}{\frac {2l+1}{4\pi }}}}P_{l}^{m}(\cos \theta )e^{im\phi }}$

由连带勒让德多项式的正交关系可以直接得到球谐函数的正交关系：

${\displaystyle \int Y_{l}^{m}(\theta ,\phi )Y_{k}^{n*}(\theta ,\phi )\mathrm {d} \Omega =\delta _{kl}\delta _{mn}}$

式中 dΩ 是立体角元。

1. ^ 吴崇试. 16. 数学物理方法（第二版）. 北京大学出版社. [2003]. ISBN 9787301068199. 

• Dunster, T. M., Legendre and Related Functions, Olver, Frank W. J.; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (编), NIST Handbook of Mathematical Functions, Cambridge University Press, 2010, ISBN 978-0521192255, MR2723248