一阶逻辑

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一阶逻辑是使用於数学、哲学、语言学及電腦科學中的一种形式系统，也可以稱為：一阶斷言演算、低階斷言演算、量化理論或谓词逻辑。一階邏輯和命題邏輯的不同之處在於，一階邏輯包含量詞。

高階邏輯和一階邏輯不同之處在於，高階邏輯的斷言符號可以有斷言符號或函數符號當做引數，且容許斷言量詞或函數量詞^[1]。在一階邏輯的語義中，斷言被解釋為關係。而高階邏輯的語義裡，斷言則會被解釋為集合的集合。

在通常的語義下，一階邏輯是可靠（所有可證的敘述皆為真）且完備（所有為真的敘述皆可證）的。雖然一階邏輯的邏輯歸結只是半可判定性的，但還是有許多用於一階邏輯上的自動定理證明。一階邏輯也符合一些使其能通過證明論分析的元邏輯（英语：Metalogic）定理，如勒文海姆–斯科倫定理及緊緻性定理。

一階邏輯是數學基礎中很重要的一部份。許多常見的公理系統，如一階皮亞諾公理、冯诺伊曼-博内斯-哥德尔集合论和策梅洛-弗蘭克爾集合論都是一階理論。然而一階邏輯不能控制其無窮模型的基數大小，因根據勒文海姆–斯科倫定理和康托爾定理，可以構造出一種“病態”集合論模型，使整個模型可數，但模型內卻會覺得自己有「不可數集」。類似地，可以證明實數系的普通一階理論既有可數模型又有不可數模型。這類的悖論被稱為斯科倫悖論。但一階的直覺主義邏輯裡，勒文海姆–斯科倫定理不可證明^[2]，故不會有以上之現象。

命題邏輯顧名思義，會將「蘇格拉底是哲學家」、「柏拉圖是哲學家」之類直觀上有真有假的敘述簡記為 ${\displaystyle p}$ 及 ${\displaystyle q}$ （也就是有真有假的命題），然後討論 ${\displaystyle \neg p}$（非p）、${\displaystyle p\Rightarrow q}$（若p則q）、${\displaystyle p\wedge q}$（p且q）與${\displaystyle p\vee q}$（p或q）之間的推理關係。

但一階邏輯嘗試從一些比較基礎的詞彙去建構「句子」，比如說，可用符號 ${\displaystyle {\text{Phil}}(x)}$ 代表 「 x 是哲學家」，也就是賦予斷言符號「${\displaystyle {\text{Phil}}(x)}$ 」語意的解釋。這個解釋預設一個「所有人類的群體」（也就是下面標準語義一節會說到的论域），并將變數 ${\displaystyle x}$ 對應為自群體中取出來的某人。

以此類推，斷言符號可以包含一個以上的變數。例如：可以將 ${\displaystyle {\text{Cp}}(x,\,y)}$ 解釋為「 x 與 y 是夫妻」。

一階邏輯類似於命題邏輯，可以將斷言符號與 ${\displaystyle \neg }$（非）、${\displaystyle \Rightarrow }$（則）、${\displaystyle \wedge }$（且）和 ${\displaystyle \vee }$（或）組成更複雜的敘述，例如：把斷言符號 ${\displaystyle {\text{Schol}}(x)}$ 解釋成「 ${\displaystyle x}$ 是學者」，那「若 x 為哲學家，則 x 為學者」可表示為：

${\displaystyle {\text{Phil}}(x)\Rightarrow {\text{Schol}}(x)\,}$

但相較之下，一階邏輯又加入了描述「所有」與「存在」的量詞，比如說「對所有 x ，若 x 為哲學家，則 x 為學者」可記為：

${\displaystyle \forall x[{\text{Phil}}(x)\Rightarrow {\text{Schol}}(x)]}$

也就是自左方開始閱讀，將 ${\displaystyle \forall x}$ 解釋成「对所有 x 有…」。${\displaystyle \forall }$ 這個符號被称为全稱量詞。

而對於「有 x 是哲學家」这一叙述，一階邏輯則引入另一種量詞：

${\displaystyle \exists x[{\text{Phil}}(x)]}$

也就是自左方開始閱讀，將 ${\displaystyle \exists x}$ 解釋成「存在 ${\displaystyle x}$ 使…」。${\displaystyle \exists }$ 這個符號被称为存在量詞。

順帶一提「並非所有 x 不是哲學家」等價於「有 x 是哲學家」；且「不存在 x 不是學者」也等價於「所有的 x 是學者」。所以可以用「否定」和「全稱量詞」來組合出「存在量詞」。換句話說，可作以下的符號定義（${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ 代表一段「敘述」）：

${\displaystyle \exists x{\mathcal {A}}:=\neg [\forall x(\neg {\mathcal {A}})]}$

一階邏輯也考慮到「相等」這個概念在敘述中的重要性，例如想表達「若所有${\displaystyle x}$是哲學家，那${\displaystyle x}$的長子也會是哲學家」，可先把 ${\displaystyle {\text{Son}}(x)}$ 解釋為 「 x 的長子」，那么這段敘述可記為：

${\displaystyle \forall x{\text{Phil}}(x)\Rightarrow {\text{Phil}}[{\text{Son}}(x)]}$

換句話說，${\displaystyle {\text{Son}}(x)}$ 被解釋成「與 ${\displaystyle x}$ 有特定且唯一對應關係」的某對象（被稱為函數符號）。換句話話說，只要「${\displaystyle x}$就是${\displaystyle y}$」，那「${\displaystyle x}$的長子也會是${\displaystyle y}$的長子」。換句話說：

${\displaystyle (x=y)\Rightarrow [{\text{Son}}(x)={\text{Son}}(y)]}$

這些性質被一階邏輯視為「理所當然」。

類似地，敘述中也有一些「不變的實體」，如苏格拉底，表示這些「實體」的符號被稱為常數符號。例如將 ${\displaystyle s}$ 解釋為苏格拉底，那「苏格拉底為哲學家」就可以寫成：

${\displaystyle {\text{Phil}}(s)}$

所謂的「不變」隱含的代表：

「蘇格拉底就是蘇格拉底」

「對所有x，對所有y，如果x就是蘇格拉底，且y就是蘇格拉底，那x就是y」

換句話說

${\displaystyle (s=s)}$

${\displaystyle \forall x\forall y\{[(x=s)\wedge (y=s)]\Rightarrow (x=y)\}}$

這兩個性質也被一階邏輯視為「理所當然」。

一階邏輯的形式理論可分成幾個部份：

1. 語法（英语：Syntax (logic)）：決定哪些符號組合是合式公式。（直觀上的“文法無誤的敘述”）
2. 推理規則：由合式公式符號組合出新合式公式的規則（直觀上的“推理”）
3. 公理：一套合式公式（直觀上的基本假設）

一套理論能容許多少符號，取決於人類能運用物理定律來塑造多少符號，但目前無法確知宇宙是不是有限，或是以可無限制地分割。雖然所有的公理化集合論都以量詞的形式隱晦的承認跟自然數一樣多的無窮（如ZF集合論的無窮公理），甚至以這樣的可數無窮為基礎，去建構出不可數的實數，但將抽象的理論對應到現實時，還是需要回答物理上有沒有可數或不可數的無窮。所以謹慎起見，如果沒有特別申明的話，以下各種類符號的數目上限都是有限的。

一階邏輯通常擁有以下的符號：

1. 量化符號 ${\displaystyle \forall }$ 及 ${\displaystyle \exists }$
   • 某些作者^[3]會把 ${\displaystyle \exists }$ 符號定義為 ${\displaystyle \exists x{\mathcal {A}}:=\neg [\forall x(\neg {\mathcal {A}})]}$，如此便只需要 ${\displaystyle \forall }$ 做為基礎符號。
2. 邏輯聯結詞：以下為可能的表示符號（关于波蘭表示法下的邏輯連接詞，請參見逻辑运算的波兰记法）：
   • 否定： ${\displaystyle \neg }$ 或 ${\displaystyle \sim }$ 或－
   • 條件：${\displaystyle \Rightarrow }$ 或 ${\displaystyle \rightarrow }$ 或 ${\displaystyle \supset }$
   • 且：${\displaystyle \land }$ 或 ${\displaystyle \&}$
   • 或：${\displaystyle \lor }$ 或 ||
   • 雙條件：${\displaystyle \Leftrightarrow }$ 或 ${\displaystyle \leftrightarrow }$
   • 某些作者^[4]會作如下的符號定義：

   ${\displaystyle {\mathcal {A}}\wedge {\mathcal {B}}:=\neg ({\mathcal {A}}\Rightarrow (\neg {\mathcal {B}})),}$

   ${\displaystyle {\mathcal {A}}\vee {\mathcal {B}}:=(\neg {\mathcal {A}})\Rightarrow {\mathcal {B}},}$

   ${\displaystyle {\mathcal {A}}\Leftrightarrow {\mathcal {B}}:=({\mathcal {A}}\Rightarrow {\mathcal {B}})\wedge ({\mathcal {B}}\Rightarrow {\mathcal {A}}),}$

   如此一來只需要否定和條件做為基礎符號。

3. 標點符號：括號、逗號及其他，依作者的喜好有所不同。
   • 為了更有效的將括號做配對，通常還會採用大括號{ }跟中括號[ ]。
4. 至多跟自然數一樣多的變數，通常標記為英文字母末端的小寫字母x、y、z、…，也常會使用下標（或上標、上下標兼有）來區別不同的變數：x₀、x₁、x₂、…（特別注意c有時候會被當成常數符號而引起混淆）。
5. 等式符號：${\displaystyle =}$
   • 有作者會因為語義上对“相等”的不同解释，而將等式符號視為雙元斷言符號、甚至是某種合式公式的簡寫。
6. 符號相等：${\displaystyle \asymp }$
   • 某些作者^[5]會額外採用這個符號來表示符號辨識上的等同以便與等式符號作區別。

並非所有的符號都不可或缺的，像謝費爾豎線「${\displaystyle |}$」（或異或）可以用來定義量詞以外的所有邏輯符號，換句話說：

另外，一些作者不區分語義解釋和形式理論，所以會將表示真值的符號納入形式理論裡，也就是說，用 T 、Vpq 或 ${\displaystyle \top }$ 來表示「真」，並用 F 、 Opq 或 ${\displaystyle \bot }$ 來表示「假」。

「他們兩人是夫妻」，是一個關於兩個“對象”的斷言，而「他是人」、「三點共線」则表明斷言容許一個或者多個對象。所以對於自然數 ${\displaystyle n}$ 、${\displaystyle j}$ 約定：

${\displaystyle A_{j}^{n}(x_{1},\,x_{2},\,...,\,x_{n})}$

為一階邏輯的合法詞彙。它在直觀上表示一個有 ${\displaystyle n}$ 個“對象”的斷言，稱為 ${\displaystyle n}$ 元斷言符號。下標的自然數 ${\displaystyle j}$ 只是拿來和其他同為 ${\displaystyle n}$ 元的斷言符號作區別。

實用上只要有申明，不至於和其他詞彙引起混淆的話，可以用任意的形式簡寫一個斷言符號。如：公理化集合論裡的雙元斷言符號 ${\displaystyle A_{1}^{2}(x,\,y)}$ 也可以表示为 ${\displaystyle x\in y}$ 。

「物體的顏色」、「夫妻的長子」这种断言說明了一组對象所唯一對應的對象。但不同的夫妻有不同的長子；不同的物體有不同的顏色。據此，形式上對於自然數 ${\displaystyle n}$ 、${\displaystyle j}$ 約定：

${\displaystyle f_{j}^{n}(x_{1},\,x_{2},\,...,\,x_{n})}$

為一階邏輯的合法詞彙，直觀上表示 ${\displaystyle n}$ 個“對象”所對應到的東西，稱它為 ${\displaystyle n}$ 元函數符號。需要特別注意，這種“唯一對應”的直觀想法，必須配上關於“等式”的性質（詳見下面的等式定理章节），才能在形式理論中被實現。

与斷言符號一样，只要不引起混淆，就可以用任何的形式簡寫函數符號。如：公理化集合論裡的 ${\displaystyle x\cup y}$ 是依據聯集公理而定義的新函數符號（請參見下面函數符號與唯一性章節），也可以冗長的表記為 ${\displaystyle f_{j}^{2}(x,\,y)}$ 。

「刻度0」、「原點」、「蘇格拉底」是直觀上＂唯一不變＂的對象。據此，對自然數 ${\displaystyle j}$ 約定

${\displaystyle c_{j}}$

為一階邏輯的合法詞彙，直觀上表示一個“唯一不變”的對象，稱為常數符號。同樣的。“常數的不變性”需配上等式的性質（詳見下面等式定理）才能被實現。

為了不和變數的表記混淆，常數符號一樣可以用任何的形式簡寫，如公理化集合論裡的 ${\displaystyle \varnothing }$ 是根據空集公理和函數符號與唯一性，而定義的新常數符號。亦可冗長的表示為 ${\displaystyle c_{j}}$ 。

和自然語言（如英語）不同，一階邏輯的語言以明確的遞迴定義判斷一個給定的詞彙是否合法。大致上來說，一階邏輯以「項」代表討論的對象，而對「項」的斷言組成了最基本的原子（合式）公式；而原子公式和邏輯符號組成了更複雜的合式公式（也就是“敘述”）。

「那對夫妻的長子的職業」、「${\displaystyle (x+y)\times z}$」、「${\displaystyle x\cup \varnothing }$」代表變數可以與函數符號組成更一般的物件。據此形式，遞迴地規定一類合法詞彙——項為：

習慣上以大寫的西方字母（如英文字母、希伯來字母、希臘字母）代表項，如果變數不得不採用大寫字母，而可能跟項引起混淆的話，需額外規定分辨的辦法。

為了比較簡潔地規定甚麼是合式公式，先規定原子公式為：（若 ${\displaystyle T_{1},\,....,\,T_{n}}$ 是項）

${\displaystyle A_{j}^{n}(T_{1},\,....,\,T_{n})}$

這樣的形式。

一階邏輯的合式公式（簡稱公式或 ${\displaystyle wf}$ ）以下面的規則遞迴地定義：

另外成對的中括弧跟大括弧，符號辨識上視為成對的小括弧，而草書的大寫西方字母為公式的代號。

舉例來說，

${\displaystyle \{(\forall y)A_{1}^{2}[x,\,f_{1}^{1}(y)]\}}$

是公式而

${\displaystyle \forall x\,x\Rightarrow }$

則不是公式。

而接下來只要對任意公式${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ 、 ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ 與變數 ${\displaystyle x}$，做以下符號定義

這樣所有的邏輯連接詞與量詞就納入了合式公式的規範。

所謂的施用/作用，是以下公式形式的口語說法：（其中 ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ 與 ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ 都是公式）

• ${\displaystyle (\neg {\mathcal {A}})}$ 稱為 ${\displaystyle \neg }$ 施用於 ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ 上。
• ${\displaystyle ({\mathcal {A}}\Rightarrow {\mathcal {B}})}$ 稱為 ${\displaystyle \Rightarrow }$ 施用於 ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ 和 ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ 上。
• ${\displaystyle ({\mathcal {A}}\wedge {\mathcal {B}})}$ 稱為 ${\displaystyle \wedge }$ 施用於 ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ 和 ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ 上。
• ${\displaystyle ({\mathcal {A}}\vee {\mathcal {B}})}$ 稱為 ${\displaystyle \vee }$ 施用於 ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ 和 ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ 上。
• ${\displaystyle ({\mathcal {A}}\Leftrightarrow {\mathcal {B}})}$ 稱為 ${\displaystyle \Leftrightarrow }$ 施用於 ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ 和 ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ 上。
• ${\displaystyle (\forall x{\mathcal {A}})}$ 稱為 ${\displaystyle \forall x}$ 施用於 ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ 上。
• ${\displaystyle (\exists x{\mathcal {A}})}$ 稱為 ${\displaystyle \exists x}$ 施用於 ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ 上。

就类似于運算子作用在它們身上。

量詞所施用的公式被稱為量詞的範圍（scope）。同一個變數在公式一般來說不只出現一次，若變數 ${\displaystyle x}$ 出現在 ${\displaystyle \forall x}$ 的範圍內，稱這樣出現的 ${\displaystyle x}$ 為不自由/被約束的 ${\displaystyle x}$ （not free/bounded）；反過來說，不出現在 ${\displaystyle \forall x}$ 的範圍內的某個 ${\displaystyle x}$ 被稱為自由的 ${\displaystyle x}$。

例如，對於公式：

${\displaystyle \{(\forall x)[A_{1}^{1}(x)\Rightarrow A_{2}^{1}(y)]\}}$

${\displaystyle [A_{1}^{1}(x)\Rightarrow A_{2}^{1}(y)]}$ 就是量詞 ${\displaystyle \forall x}$ 的範圍；而 ${\displaystyle A_{1}^{1}(x)}$ 裡的 ${\displaystyle x}$ 就是不自由的；反之 ${\displaystyle A_{2}^{1}(y)}$ 裡的 ${\displaystyle y}$ 就是自由的。

說 ${\displaystyle x}$ 於公式 ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ 完全自由，意為於 ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ 出現的 ${\displaystyle x}$ 都是自由的；反之，說 ${\displaystyle x}$ 於公式 ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ 完全不自由/完全被約束，意為 ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ 內根本沒有 ${\displaystyle x}$ ，或是 ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ 內沒有自由的 ${\displaystyle x}$ 。若 ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ 內所有的變數都完全不自由，${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ 特稱為封閉公式/句子（closed formula/sentence）。

括弧是為了保證語意解釋符合預期，但太多的括弧書寫不易，為此規定以下的“重構法”（反過來就是“簡寫法”），從表面上不合法的一串符號找出作者原來想表達的公式：

• 若整串符號的括弧不成對，直接視為無法重構。
• 以${\displaystyle \lnot ,\,\land ,\,\lor ,\,\forall ,\,\exists ,\,\Rightarrow ,\,\Leftrightarrow }$（左至右）的施用順序重構括弧。
• 相鄰的邏輯連接詞或量詞無法決定施用順序的話，以右邊為先。
• 重構施用的順序，以被成對括弧包住的部分為優先施用，其次才是落單的斷言符號。

舉例來說

${\displaystyle \lnot [\forall xA_{1}^{1}(x)]\Rightarrow \exists x\lnot A_{2}^{1}(x)}$

的重構過程如下

1. ${\displaystyle \{\lnot [\forall xA_{1}^{1}(x)]\}\Rightarrow \exists x[\lnot A_{2}^{1}(x)]}$ （優先施用 ${\displaystyle \lnot }$）
2. ${\displaystyle \{\lnot [\forall xA_{1}^{1}(x)]\}\Rightarrow \{\exists x[\lnot A_{2}^{1}(x)]\}}$ （施用 ${\displaystyle \exists }$）
3. ${\displaystyle \{\{\lnot [\forall xA_{1}^{1}(x)]\}\Rightarrow \{\exists x[\lnot A_{2}^{1}(x)]\}\}}$ （最後施用 ${\displaystyle \Rightarrow }$）

可以被重構為公式的一串符號則寬鬆的認定為“合式公式”。（最明顯的例子就是合式公式最外層的括弧可以省略）

波蘭表示法將邏輯連接詞前置於被施用的公式而非傳統的中間。如果沿用以上的＂施用順序＂，這個表示法允許捨棄所有括弧。如公式

${\displaystyle \forall x\forall y\{A_{1}^{1}[f_{1}^{1}(x)]\Rightarrow \neg \{A_{1}^{1}(x)\Rightarrow A_{1}^{3}[f_{1}^{1}(y),x,z]\}\}}$

轉成波蘭表示法的過程如下

${\displaystyle \forall x\forall y\Rightarrow A_{1}^{1}f_{1}^{1}x\neg \Rightarrow A_{1}^{1}xA_{1}^{3}f_{1}^{1}yxz}$ （轉成波蘭表示法的順序）

${\displaystyle \Pi x\Pi y{\text{C}}A_{1}^{1}f_{1}^{1}x{\text{N}}{\text{C}}A_{1}^{1}xA_{1}^{3}f_{1}^{1}yxz}$ （邏輯連結詞的符號轉換）

一階邏輯通常只有以下的推理規則（因為將普遍化視為推理規則會有不直觀的限制）

直觀意義非常明顯，就是p=>q且p可以推出q。

在只以謝費爾豎線「${\displaystyle |}$」為基礎邏輯連接詞的公理系统裡，MP律會被改寫成

它们实际上是公理模式，代表著“跟自然數一樣多”條的公理。

在有（A1）與（A2）的前提下，（A3）等價於以下的公理模式：（證明請參見下面否定一節。）

另外，在只以謝費爾豎線「${\displaystyle |}$」為基礎邏輯連接詞的公理系统裡，上面三條公理模式等價於下面這條公理模式^[3]：

它们实际上也是公理模式。

根據不同作者的看法，甚至是理論本身的需求，「等式」在形式理論裡可能是斷言符號或是一段公式（如 a 等於 b 可定義為對所有的 x ， x 屬於 a 等價於 x 屬於 b ）。而如何刻劃直觀上「等式的性質」，有一開始就將「等式的性質」視為公理（模式），但也有視為元定理的另一套處理方法，以下暫且以公理模式的方式處理。以元定理處理的方法會在等式定理詳述。

事實上這兩個公理模式也確保了函數符號“唯一對應”和常數符號的“唯一性”，但證明這些性質需要一些元定理，簡便起見合併於下面的等式定理一節講述。

一階邏輯的標準語義源於波蘭邏輯學家阿尔弗雷德·塔斯基所著《On the Concept of Truth in Formal Languages》。根據上面語法一節，公式是由原子公式遞迴地添加邏輯連結詞而來的，而原子公式是由斷言符號與項所構成的。所以要檢驗一條公式在特定的論域下正不正確，就要規定項的取值，然後檢驗這樣的取值會不會落在斷言符號所對應的關係裡。由此延伸出所有公式的“真假值”。

也就是一套一階邏輯的語義解釋，要包含

1. 變數取值的論域
2. 如何解釋函數符號（為論域中的某個函數）與常數符號（為論域中的某特定元素），以便從特定的變數取值得出項的取值。
3. 如何將斷言符號與論域裡的某關係做對應。

通常一套解釋方法（簡稱為解釋）會以代號 ${\displaystyle M}$ 表示。

量詞的解釋需要指明變數取值範圍的論域——也就是一個集合 ${\displaystyle D}$ 。而變數可能跟自然數一樣多，換句話說，所有變數在論域 ${\displaystyle D}$ 取的值可以依序以自然數標下標——也就是一個在 ${\displaystyle D}$ 取值的數列。如果以 ${\displaystyle x_{1},\,x_{2},\,x_{3},\,\cdots }$ 的代號（不一定是變數本身的表示符號）來列舉變數，那麼從 ${\displaystyle D}$ 的某套變數取值就以

${\displaystyle \left\langle a_{k}\right\rangle _{k\in \mathbb {N} }}$

或較直觀的符號

${\displaystyle \left\langle a_{1},\,a_{2},\,a_{3},\,\cdots \right\rangle }$

來表示。

一套解釋 ${\displaystyle M}$ 會將 ${\displaystyle n}$ 元函數符號 ${\displaystyle f_{i}^{n}}$ 解釋成某個 ${\displaystyle {(f_{i}^{n})}^{M}:D^{n}\to D}$ 的 ${\displaystyle n}$ 元函數；而常數符號 ${\displaystyle c_{l}}$ 解釋成特定的 ${\displaystyle {c_{l}}^{M}\in D}$ （亦稱為 ${\displaystyle c_{l}}$ 的取值為 ${\displaystyle {c_{l}}^{M}}$），這樣就可以用上面語法一節定義項的方式，遞迴地規定項的取值：

直觀上要解釋關係最直接的方法，就是列舉所有符合關係的對象；例如如果想說明夫妻關係，可以列舉所有（老公, 老婆）的雙元有序對，但並非所有的人類有序對都會在這個關係中。

以此為基礎，若以 ${\displaystyle D^{m}}$ 代表所有以 ${\displaystyle m}$ 個 ${\displaystyle D}$ 中的元素構成的 ${\displaystyle m}$ 元有序對的集合（也就是 ${\displaystyle m}$ 元笛卡兒積） ，那一套解釋 ${\displaystyle M}$ 會將 ${\displaystyle m}$ 元斷言符號 ${\displaystyle A_{j}^{m}}$ 解釋為一個

${\displaystyle {(A_{j}^{m})}^{M}\subseteq D^{m}}$

的${\displaystyle m}$ 元有序對子集合。

這樣就可以依據語法的遞迴定義，以下面的規則對每條公式賦予真值。（這種賦值方式稱為T-模式，取名於邏輯學家阿尔弗雷德·塔斯基）

更進一步的來說

另一種一階邏輯語義的方法可經由命題邏輯的林登鮑姆-塔斯基代數擴展而成。有如下幾種類型：

• 圓柱代數，由阿爾弗雷德·塔斯基和其同事提出；
• 多元代數，由保羅·哈爾莫斯提出。
• 斷言函子邏輯，主要是基於威拉德·范·奧曼·奎因的工作成果。

這些代數都是純粹擴展兩元素布林代數而成的格。

塔斯基和葛范德於1987年證明，沒有超過包在三個以上的量化內的原子句子的部份一階邏輯，其表示力和關係代數相同。上述部份一階邏輯令人十分地感到有興趣，因為它已足夠表示皮亞諾算術和公理化集合論，包括典型的ZFC。他們亦證明了，具有簡單有序對的一階邏輯和具有兩個有序的投影函數的關係代數等價。

上述的語義解釋都要求論域為非空集合。但在如自由邏輯之中，設定空論域是被允許的。甚至代數結構的類包含一個空結構（如空偏序集），當允許空論域時，這個類只能是一階邏輯中的一個基本類，不然就要將空結構由類中移除。

不過，空論域存在著一些難點：

• 許多常見的推理規則只在論域被要求是非空時才為有效的。一個例子為，當x不是${\displaystyle \phi \,}$內的自由變數時，${\displaystyle \phi \lor \exists x\psi }$會薀涵${\displaystyle \exists x(\phi \lor \psi )}$。這個用來將公式寫成前束範式的規則在非空論域中是可靠的，但在允許空論域時則是不可靠的。
• 在使用變數賦值函數的解釋中，真值的定義不能和空論域一起運作，因為不存在範圍為空的變數賦值函數。（相似地，也無法將解釋賦予上常數符號。）在甚至是原子公式的真值可被定義之前，都必須選定一個變數賦值函數。然後一個句子的真值即可在任一個變數賦值之下定義出其真值，且可證明其真值不依選定的賦值而變。這個做法在賦值函數不存在時不能運作；除非將其改成配上空論域。

因此，若空論域是被允許的，通常也必須被視成特例。不過，大多數的作家會簡單地將空論域由定義中排除。

以下介紹一些基本用語和符號

口語上會稱公式 ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ （或 ${\displaystyle \vdash _{\mathcal {L}}{\mathcal {A}}}$ ） 為 ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ 下的定理（theorem）。而這列${\displaystyle {\mathcal {C}}_{i}\,\,(1\leq i\leq n)}$ 會稱為${\displaystyle \vdash _{\mathcal {L}}{\mathcal {A}}}$ 的證明。

例如定理${\displaystyle (I)}$ ${\displaystyle \vdash _{\mathcal {L}}{\mathcal {B}}\Rightarrow {\mathcal {B}}}$ 的證明：

以上其實是蘊含了無限多定理的元定理的證明(因為沒有給出合式公式的明確形式)。方便起見，這種元定理還是會稱為定理並以同樣的形式來表達。

直觀上的證明，總是會有一些“前提假設”，對此，若以 ${\displaystyle \Gamma }$ 代表一列有限數目的公式，那

這樣稱 ${\displaystyle {\mathcal {C}}_{i}\,\,(1\leq i\leq n)}$ 為在前提 ${\displaystyle \Gamma }$ 下， ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ 的證明；或是說 ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ 是 ${\displaystyle \Gamma }$ 的推論結果。

若要特別凸顯 ${\displaystyle \Gamma }$ 裡的一條＂前提條件＂ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ 對＂證明過程＂的重要性，可以用 ${\displaystyle \Gamma ,\,{\mathcal {B}}\vdash _{\mathcal {L}}{\mathcal {A}}}$ 的符號去特別凸顯。若 ${\displaystyle \Gamma }$ 裡的公式列舉出來有 ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{1},...,{\mathcal {B}}_{n}}$ ，那亦可表示為

${\displaystyle {\mathcal {B}}_{1},...,{\mathcal {B}}_{n}\vdash _{\mathcal {L}}{\mathcal {A}}}$

證明過程沒有被引用的公式盡可能不寫出來。另一方面從以上對於證明定義可以發現，依怎樣的順序列舉前提條件，對於證明本身是不會有任何影響的。

本節所介紹的符號，在引用哪個理論很顯然的情況下，${\displaystyle \vdash _{\mathcal {L}}}$ 的下標${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ 可以省略。

實際的證明常常會＂引用＂別的（元）定理，嚴格來說，就是照抄（元）定理的證明過程，然後作一些修改使符號一致。為了節省證明的篇幅，引用時只會單單列出配合引用（元）定理所得出的公式（形式），並在後面註明引用的（元）定理代號。

從公理（A1）和（A2）會得出不但直觀且實用的演繹元定理：

證明

（注意這是元邏輯（英语：Metalogic）下的證明）： 假設 ${\displaystyle {\mathcal {C}}_{1},{\mathcal {C}}_{2},....,{\mathcal {C}}_{n}}$ 為條件所說 ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ 的證明，如果 ${\displaystyle {\mathcal {C}}_{1}}$ 是${\displaystyle \Gamma }$ 裡的公式或 ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ 的公理，那根據（A1） ${\displaystyle \vdash {\mathcal {C}}_{1}\Rightarrow ({\mathcal {B}}\Rightarrow {\mathcal {C}}_{1})}$ 所以由MP律有 ${\displaystyle \Gamma \vdash {\mathcal {B}}\Rightarrow {\mathcal {C}}_{1}}$ 若 ${\displaystyle {\mathcal {C}}_{1}}$ 是 ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$，那因為 ${\displaystyle \vdash {\mathcal {B}}\Rightarrow {\mathcal {B}}}$ 所以有 ${\displaystyle \Gamma \vdash {\mathcal {B}}\Rightarrow {\mathcal {C}}_{1}}$ 至此${\displaystyle {\mathcal {C}}_{1}}$的部分證明完畢。 接下來要用歸納法；假設對 ${\displaystyle i<k}$ 都有 ${\displaystyle \Gamma \vdash {\mathcal {B}}\Rightarrow {\mathcal {C}}_{i}}$ 。 若${\displaystyle {\mathcal {C}}_{k}}$ 是公理、或從 ${\displaystyle \Gamma }$ 來的、或是根本就是 ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$，仿造上面 ${\displaystyle {\mathcal {C}}_{1}}$ 的部分就有 ${\displaystyle \Gamma \vdash {\mathcal {B}}\Rightarrow {\mathcal {C}}_{k}}$ 剩下沒考慮的狀況是由MP律組合出 ${\displaystyle {\mathcal {C}}_{k}}$ 的狀況，也就是有 ${\displaystyle l,m<k}$ 使${\displaystyle {\mathcal {C}}_{m}}$ 是 ${\displaystyle {\mathcal {C}}_{l}\Rightarrow {\mathcal {C}}_{k}}$。 由公理A2有 ${\displaystyle \vdash [{\mathcal {B}}\Rightarrow ({\mathcal {C}}_{l}\Rightarrow {\mathcal {C}}_{k})]\Rightarrow [({\mathcal {B}}\Rightarrow {\mathcal {C}}_{l})\Rightarrow ({\mathcal {B}}\Rightarrow {\mathcal {C}}_{k})]}$ 套用歸納法的假設，加上MP律，就會發現 ${\displaystyle \Gamma \vdash {\mathcal {B}}\Rightarrow {\mathcal {C}}_{k}}$ 如此可以一路歸納到 ${\displaystyle {\mathcal {C}}_{n}}$ 也就是 ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ 的情況，故元定理得證。${\displaystyle \Box }$

因為 ${\displaystyle \Gamma }$ 代表的是有限條公式，所以透過演繹元定理可以將證明過程必要的前提條件遞迴地移到 ${\displaystyle \vdash }$ 後，直到不需要任何前提為止；然後由MP律可以知道，若有 ${\displaystyle \Gamma \vdash _{\mathcal {L}}{\mathcal {B}}\Rightarrow {\mathcal {C}}}$ ，則有 ${\displaystyle \Gamma ,{\mathcal {B}}\vdash _{\mathcal {L}}{\mathcal {C}}}$，如此一來透過演繹元定理搬到推論結果的合式公式，也可以任意的搬回來。所以 ${\displaystyle \Gamma \vdash _{\mathcal {L}}{\mathcal {B}}}$ 等價於某定理 ${\displaystyle \vdash _{\mathcal {L}}{\mathcal {C}}}$ 。因此也會將 ${\displaystyle \Gamma \vdash _{\mathcal {L}}{\mathcal {B}}}$ 稱為一個定理。

而從演繹元定理和MP律，會有以下直觀且實用的元定理