Tam giác đều

Trong hình học, tam giác đều là tam giác có ba cạnh bằng nhau và ba góc bằng nhau, mỗi góc bằng 60°. Nó là một đa giác đều với số cạnh bằng 3.

Tính chất[sửa | sửa mã nguồn]

Giả sử độ dài ba cạnh tam giác đều bằng ${\displaystyle a\,\!}$, dùng định lý Pytago chứng minh được:

• Diện tích: ${\displaystyle A=a^{2}{\frac {\sqrt {3}}{4}}}$
• Chu vi: ${\displaystyle p=3a\,\!}$
• Bán kính đường tròn ngoại tiếp ${\displaystyle R=a{\frac {\sqrt {3}}{3}}}$
• Bán kính đường tròn nội tiếp ${\displaystyle r=a{\frac {\sqrt {3}}{6}}}$
• Trọng tâm của tam giác cũng là trực tâm và tâm của đường tròn nội tiếp và ngoại tiếp
• Chiều cao của tam giác đều ${\displaystyle h=a{\frac {\sqrt {3}}{2}}}$.

Với một điểm P bất kỳ trong mặt phẳng tam giác, khoảng cách từ nó đến các đỉnh A, B, và C lần lượt là p, q, và t ta có:^[1]

${\displaystyle 3(p^{4}+q^{4}+t^{4}+a^{4})=(p^{2}+q^{2}+t^{2}+a^{2})^{2}}$.

Với một điểm P bất kỳ nằm bên trong tam giác, khoảng cách từ nó đến các cạnh tam giác là d, e, và f, thì d+e+f = chiều cao của tam giác, không phụ thuộc vào vị trí P.^[2]

Với điểm P nằm trên đường tròn ngoại tiếp, các khoảng cách từ nó đến các đỉnh của tam giác là p, q, và t, thì^[1]

${\displaystyle 4(p^{2}+q^{2}+t^{2})=5a^{2}}$

và

${\displaystyle 16(p^{4}+q^{4}+t^{4})=11a^{4}}$.

Nếu P nằm trên cung nhỏ BC của đường tròn ngoại tiếp, với khoảng cách đến các đỉnh A, B, và C lần lượt là p, q, và t, ta có:^[1]

${\displaystyle p=q+t}$

và

${\displaystyle q^{2}+qt+t^{2}=a^{2};}$

hơn nữa nếu D là giao điểm của BC và PA, DA có độ dài z và PD có độ dài y, thì^[3]

${\displaystyle z={\frac {t^{2}+tq+q^{2}}{t+q}},}$

và cũng bằng ${\displaystyle {\tfrac {t^{3}-q^{3}}{t^{2}-q^{2}}}}$ nếu t ≠ q; và

${\displaystyle {\frac {1}{q}}+{\frac {1}{t}}={\frac {1}{y}}.}$

Dấu hiệu nhận biết[sửa | sửa mã nguồn]

• Tam giác có 3 cạnh bằng nhau là tam giác đều.
• Tam giác có 3 góc bằng nhau là tam giác đều.
• Tam giác cân có một góc bằng 60° là tam giác đều.
• Tam giác có 2 góc bằng 60 độ là tam giác đều.
• Tam giác có đường cao bằng nhau hoặc 3 đường phân giác bằng nhau hoặc 3 đường trung tuyến bằng nhau thì tam giác đó là tam giác đều.
• Tam giác có 2 trong 4 điểm đồng quy (trọng tâm, trực tâm, tâm đường tròn nội tiếp, tâm đường tròn ngoại tiếp) trùng nhau thì tam giác đó là tam giác đều

Xem thêm[sửa | sửa mã nguồn]

• Lượng giác
• Định lý Viviani
• Tam giác Heron

Tham khảo[sửa | sửa mã nguồn]

Liên kết ngoài[sửa | sửa mã nguồn]

• Weisstein, Eric W., "Equilateral Triangle", MathWorld.