W-функція Ламберта визначається як обернена функція до f ( w ) = w e w {\displaystyle f(w)=we^{w}} , для комплексних w {\displaystyle w} . Позначається W ( x ) {\displaystyle W(x)} чи LambertW ( x ) {\displaystyle \operatorname {LambertW} (x)} . Для довільного комплексного z {\displaystyle z} справедливо:
z = W ( z ) e W ( z ) {\displaystyle z=W(z)e^{W(z)}} W {\displaystyle W} -функція Ламберта не може бути виражена в елементарних функціях . Застосовується в комбінаториці , наприклад, при підрахунку кількості дерев , та при розв'язку рівнянь.
Функція вивчалась ще в роботі Леонарда Ейлера 1779 року, але не мала власної назви до 1980-х років. Як самостійна функція була введена в системі комп'ютерної алгебри Maple під іменем LambertW . Ім'я Йоганна Ламберта було вибране, оскільки Ейлер посилався в своїй роботі на праці Ламберта.
Дві головні гілки функції W 0 {\displaystyle W_{0}} та W − 1 {\displaystyle W_{-1}} Графік W 0 (x ) для −1/e ≤ x ≤ 4 Оскільки функція f ( w ) {\displaystyle f(w)} не є ін'єктивною на інтервалі ( − ∞ , 0 ) {\displaystyle (-\infty ,0)} , W ( z ) {\displaystyle W(z)} є многозначною функцією на [ − 1 e , 0 ) {\displaystyle [-{\frac {1}{e}},0)} . Якщо обмежитись дійсними z = x ⩾ − 1 / e {\displaystyle z=x\geqslant -1/e} і вимагати w ⩾ − 1 {\displaystyle w\geqslant -1} , буде визначена однозначна функція W 0 ( x ) {\displaystyle W_{0}(x)} .
Всі гілки W задовільняють диференціальні рівняння
z ( 1 + W ) d W d z = W , z ≠ − 1 / e . {\displaystyle z(1+W){\frac {{\rm {d}}W}{{\rm {d}}z}}=W,\quad z\neq -1/e.} d W d z = W ( z ) z ( 1 + W ( z ) ) , z ∉ { 0 , − 1 / e } . {\displaystyle {\frac {{\rm {d}}W}{{\rm {d}}z}}={\frac {W(z)}{z(1+W(z))}},\quad z\not \in \{0,-1/e\}.} d W d z = 1 z + e W ( z ) . {\displaystyle {\frac {{\rm {d}}W}{{\rm {d}}z}}={\frac {1}{z+e^{W(z)}}}.} Ці рівняння можуть бути проінтегровані із застосуванням підстановки x = w ew :
∫ W ( x ) d x = x W ( x ) − x + e W ( x ) + C = x ( W ( x ) − 1 + 1 W ( x ) ) + C . {\displaystyle {\begin{aligned}\int W(x)\,{\rm {d}}x&=xW(x)-x+e^{W(x)}+C\\&=x\left(W(x)-1+{\frac {1}{W(x)}}\right)+C.\\\end{aligned}}} Використовуючи W ( e ) = 1 {\displaystyle W(e)=1} , отримаємо:
∫ 0 e W ( x ) d x = e − 1. {\displaystyle \int _{0}^{e}W(x)\,{\rm {d}}x=e-1.} Ряд Тейлора для W 0 {\displaystyle W_{0}} відносно 0 можна знайти застосувавши теорему Лагранжа про обернення ряду як:
W 0 ( x ) = ∑ n = 1 ∞ ( − n ) n − 1 n ! x n = x − x 2 + 3 2 x 3 − 8 3 x 4 + 125 24 x 5 − ⋯ {\displaystyle W_{0}(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-n)^{n-1}}{n!}}x^{n}=x-x^{2}+{\frac {3}{2}}x^{3}-{\frac {8}{3}}x^{4}+{\frac {125}{24}}x^{5}-\cdots } Застосувавши ознаку д'Аламбера знаходимо радіус збіжності 1/e . Функція визначена рядом може бути аналітично розширена до голоморфної функції з точками розгалуження (−∞, −1/e ].
Для великих значень x , W 0 асимптотична до
W 0 ( x ) = L 1 − L 2 + L 2 L 1 + L 2 ( − 2 + L 2 ) 2 L 1 2 + L 2 ( 6 − 9 L 2 + 2 L 2 2 ) 6 L 1 3 + L 2 ( − 12 + 36 L 2 − 22 L 2 2 + 3 L 2 3 ) 12 L 1 4 + ⋯ {\displaystyle {W_{0}(x)=L_{1}-L_{2}+{\frac {L_{2}}{L_{1}}}+{\frac {L_{2}(-2+L_{2})}{2L_{1}^{2}}}+{\frac {L_{2}(6-9L_{2}+2L_{2}^{2})}{6L_{1}^{3}}}+{\frac {L_{2}(-12+36L_{2}-22L_{2}^{2}+3L_{2}^{3})}{12L_{1}^{4}}}+\cdots }} W 0 ( x ) = L 1 − L 2 + ∑ ℓ = 0 ∞ ∑ m = 1 ∞ ( − 1 ) ℓ [ ℓ + m ℓ + 1 ] m ! L 1 − ℓ − m L 2 m {\displaystyle W_{0}(x)=L_{1}-L_{2}+\sum _{\ell =0}^{\infty }\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{\ell }\left[{\begin{matrix}\ell +m\\\ell +1\end{matrix}}\right]}{m!}}L_{1}^{-\ell -m}L_{2}^{m}} де L 1 = ln ( x ) {\displaystyle L_{1}=\ln(x)} , L 2 = ln ( ln ( x ) ) {\displaystyle L_{2}=\ln {\bigl (}\ln(x){\bigr )}} та [ ℓ + m ℓ + 1 ] {\displaystyle \left[{\begin{matrix}\ell +m\\\ell +1\end{matrix}}\right]} не від'ємні числа Стірлінга першого роду . Залишивши тільки 2 перші доданки, отримаємо:
W 0 ( x ) = ln ( x ) − ln ( ln ( x ) ) + o ( 1 ) . {\displaystyle W_{0}(x)=\ln(x)-\ln {\bigl (}\ln(x){\bigr )}+o(1).} Інша дійсна гілка, W − 1 {\displaystyle W_{-1}} , визначена на інтервалі [−1/e , 0), для x ≥ e {\displaystyle x\geq e} визначені наступні обмеження:
ln ( x ) − ln ( ln ( x ) ) + ln ( ln ( x ) ) 2 ln ( x ) ≤ W 0 ( x ) ≤ ln ( x ) − ln ( ln ( x ) ) + e e − 1 ln ( ln ( x ) ) ln ( x ) {\displaystyle \ln(x)-\ln {\bigl (}\ln(x){\bigr )}+{\frac {\ln {\bigl (}\ln(x){\bigr )}}{2\ln(x)}}\leq W_{0}(x)\leq \ln(x)-\ln {\bigl (}\ln(x){\bigr )}+{\frac {e}{e-1}}{\frac {\ln {\bigl (}\ln(x){\bigr )}}{\ln(x)}}} . ...
...
Corless et al. (1996). «On the Lambert W function». Adv. Computational Maths. 5: 329-359.