Трикутник Серпінського

Трикутник Серпінського — фрактал, один із двовимірних аналогів множини Кантора. Його математичний опис був запропонований польським математиком Вацлавом Серпінським в 1915 році^[1]. Цей трикутник є одним з найбільш ранніх прикладів фракталів, відомих з середньовіччя.

Даний фрактал відносять до фракталів, які отримують поетапним вилученням частин генератора, тобто до геометричних. Також відомий як «серветка» або «решітка» Серпінського.

Існує кілька способів побудови цього фракталу.

Побудова[ред. | ред. код]

Побудова трикутника Серпінського

Існує дуже багато способів побудови трикутника Серпінського, їх можна поділити на такі типи:

Геометричні методи;
Метод ігор;
Трикутник Серпінського як результат перетворення трикутника Паскаля;
Аналітичне задання фракталів з допомогою комплексних чисел;
Задання фракталів за допомогою систем ітерованих функцій;
Побудова через кола, круги та ін.;

Найпростішим способом побудови є такий: Береться рівносторонній трикутник. На першому кроці видаляється трикутник з вершинами в середині сторін початкового трикутника. На другому кроці аналогічні трикутники із трьох менших трикутників, які залишилися після першого кроку, і т. д.^[2] Після нескінченного повторення цієї процедури, від суцільного трикутника залишається підмножина — трикутник Серпінського.

Властивості[ред. | ред. код]

Трикутник Серпінського замкнутий.
Трикутник Серпінського має топологічну розмірність 1.
«Площа» трикутного килима Серпінського дорівнює нулю.
Важливою властивістю трикутника Серпінського є його самоподібність, адже він складається з трьох своїх копій, зменшених вдвічі.
Має розмірність Хаусдорфа $=\ln 3/\ln 2\approx 1,585$ $=\ln 3/\ln 2\approx 1,585$ . Зокрема,
- має нульову міру Лебега.

Цікаві факти[ред. | ред. код]

Римська мозаїка 3 — 4 століття в античному музеї міста Арль, Франція

Якщо в трикутнику Паскаля всі непарні числа пофарбувати в чорний колір, а парні — в білий, то утворюється трикутник Серпінського.
Утворення, схожі на трикутник Серпінського, виникає в грі Життя з довгої вертикальної лінії.
Трикутник Серпінського — це множина тих точок вихідного трикутника що не належать жодному з центральних трикутників довільного рангу, тобто нескінченність, що складається з тих точок, що не відкидаються ні на якому з цих етапів.
Зображення трикутника Серпінського у 1919 р. стали мотивом кількох графічних творів відомого українського графіка Георгія Нарбута
Варіації на тему трикутника Серпінського використані в оздобленні інтер'єру синагоги Бен-Езра, Каїр, Єгипет
На основі трикутника Серпінського можуть бути виготовлені багатодіапазонні фрактальні антени.^[2]^[3]
Чотири перші ітерації фрактальних трикутників Серпінського присутні в орнаментах геометричної мозаїки стиля косматеско в середньовічних соборах Італії (з XII століття)^[4]^[5]^[6], арабських та перських інтер'єрах^[4].

Див. також[ред. | ред. код]

Примітки[ред. | ред. код]

↑ W. Sierpinski, Sur une courbe dont tout point est un point de ramification.//Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des sciences. — Paris. — Tome 160, Janvier — Juin 1915. — Pp. 302—305. — [1]
↑ ^а ^б Слюсар В. И. Фрактальные антенны. // Радиоаматор. — 2002. — № 9. — С. 54 -56., Конструктор. — 2002. — № 8. — С. 6 — 8. [2]
↑ Вишневский В. М., Ляхов А. И., Портной С. Л., Шахнович И. В. Широкополосные беспроводные сети передачи информации. — М.: Техносфера. — 2005.- C. 498—569. [3]
↑ ^а ^б The grammar of ornament. Day and Son, London. — 1856. [4]
↑ Conversano Elisa, Tedeschini Lalli Laura. Sierpinsky triangles in stone, on medieval floors in Rome.// Aplimat — Journal of Applied Mathematics. Volume 4 (2011), Number 4. — P. 113—122. — [5]
↑ Paola Brunori, Paola Magrone, and Laura Tedeschini Lalli. Imperial Porphiry and Golden Leaf: Sierpinski Triangle in a Medieval Roman Cloister.//ICGG 2018 — Proceedings of the 18th International Conference on Geometry and Graphics. — Pp. 595—609. -[6]

Література[ред. | ред. код]

Jones, O. The grammar of ornament. Day and Son, London. — 1856.
Абачиев С. К. О треугольнике Паскаля, простых делителях и фрактальных структурах // В мире науки, 1989, № 9.

[1] W. Sierpinski, Sur une courbe dont tout point est un point de ramification.//Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des sciences. — Paris. — Tome 160, Janvier — Juin 1915. — Pp. 302—305. — [1]

[slyusar-2] а ^б Слюсар В. И. Фрактальные антенны. // Радиоаматор. — 2002. — № 9. — С. 54 -56., Конструктор. — 2002. — № 8. — С. 6 — 8. [2]

[3] Вишневский В. М., Ляхов А. И., Портной С. Л., Шахнович И. В. Широкополосные беспроводные сети передачи информации. — М.: Техносфера. — 2005.- C. 498—569. [3]

[ornament-4] а ^б The grammar of ornament. Day and Son, London. — 1856. [4]

[5] Conversano Elisa, Tedeschini Lalli Laura. Sierpinsky triangles in stone, on medieval floors in Rome.// Aplimat — Journal of Applied Mathematics. Volume 4 (2011), Number 4. — P. 113—122. — [5]

[6] Paola Brunori, Paola Magrone, and Laura Tedeschini Lalli. Imperial Porphiry and Golden Leaf: Sierpinski Triangle in a Medieval Roman Cloister.//ICGG 2018 — Proceedings of the 18th International Conference on Geometry and Graphics. — Pp. 595—609. -[6]

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]