Теорема про заборону клонування

Теорема про заборону клонування — твердження квантової теорії про неможливість створення ідеальної копії довільного невідомого квантового стану. Теорема була сформульована Вуттерсом, Зуреком і Дієксом в 1982 році і мала величезне значення в області квантових обчислень, квантової теорії інформації та суміжних областях.

Теорема про заборону клонування є ще одним прикладом несумісності повсякденної інтуїції та квантової механіки. Ми всі звикли, що будь-який об'єкт (реальний фізичний предмет, інформація у вигляді набору бітів) можна скопіювати. Виявляється настільки повсякденна в наш час річ не є фундаментальною. Навіть один єдиний квантовий біт (кубіт) в загальному випадку неможливо скопіювати.

Стан однієї квантової системи може бути зчепленим зі станом іншої системи. Наприклад, створити зчеплений стан двох кубітів можна з допомогою однокубітного перетворення Адамара і двухкубітного квантового вентиля C-NOT. Результатом такої операції не буде клонування, оскільки результуючий стан не можна описати на мові станів підсистем. Клонування — це така операція, в результаті якої створюється стан, що є тензорним добутком ідентичних станів підсистем.

Доведення[ред. | ред. код]

Нехай ми хочемо створити копію системи A, яка знаходиться в стані ${\displaystyle |\psi \rangle _{A}}$ (див. означення Дірака). Для цього візьмемо систему B з таким самим гільбертовим простором, яка знаходиться в початковому стані ${\displaystyle |e\rangle _{B}}$. Початковий стан, звичайно, не повинен залежати від стану ${\displaystyle |\psi \rangle _{A}}$, оскільки цей стан нам невідомий. Система утворена сумою A + B (складена система) описується тензорним добутком станів підсистем:

${\displaystyle |\psi \rangle _{A}\otimes |e\rangle _{B}\equiv |\psi \rangle _{A}|e\rangle _{B}.}$

Зі складеною системою можна провести дві різні дії.

1. Принцип невизначеності Гейзенберга стверджує, що не можна одночасно виміряти величини, чиї оператори не комутують. Проблема в тому, що в процесі вимірювання вектор стану коллапсує, інформація про нього втрачається. Якщо у нас спочатку немає множини копій вихідної системи, то дізнатися значення коефіцієнтів з одного виміру неможливо. Тобто конвертувати квантову інформацію в класичну теж не вийде. Тому ми можемо виміряти тільки стан системи, що призведе до необоротного переходу системи в одне з ЇЇ власних станів і до (часткової) втрати інформації про вихідний стан системи A. Очевидно, такий сценарій нам не підходить.
2. Інша можливість полягає в застосуванні унітарного перетворення U, належним чином «налаштовуючи» гамільтоніан системи. Оператор U буде клонувати стан системи, якщо

${\displaystyle U|\psi \rangle _{A}|e\rangle _{B}=|\psi \rangle _{A}|\psi \rangle _{B}}$

і ${\displaystyle U|\phi \rangle _{A}|e\rangle _{B}=|\phi \rangle _{A}|\phi \rangle _{B}}$

для всіх ${\displaystyle |\phi \rangle }$ і ${\displaystyle |\psi \rangle .}$

Згідно з визначенням унітарного оператора, U зберігає скалярний добуток:

${\displaystyle \langle e|_{B}\langle \phi |_{A}U^{\dagger }U|\psi \rangle _{A}|e\rangle _{B}=\langle \phi |_{B}\langle \phi |_{A}|\psi \rangle _{A}|\psi \rangle _{B},}$

тобто

${\displaystyle \langle \phi |\psi \rangle =\langle \phi |\psi \rangle ^{2}.}$

З цього випливає, що або ${\displaystyle |\phi \rangle =|\psi \rangle ,}$ або стани ${\displaystyle |\phi \rangle }$ і ${\displaystyle |\psi \rangle }$ортогональні (що в загальному випадку, звичайно, невірно). Таким чином, операція U не може клонувати довільний квантовий стан. Теорема про заборону клонування доведена.

Квантова телепортація[ред. | ред. код]

Може здатися, що заборона на клонування робить принципово неможливою телепортацію квантової системи. Неявно мається на увазі, що для телепортації необхідно мати всю інформацію про систему, передати її в інше місце і використовувати для відновлення абсолютно точної копії вихідного об'єкта, що неможливо згідно з принципом невизначеності Гейзенберга. Проте алгоритм квантової телепортації був відкритий в 1993 році.

Неточне копіювання[ред. | ред. код]

Хоча створення точних копій невідомого квантового стану неможливе, можна тиражувати його неточні копії. Для цього потрібно привести вихідну систему у взаємодію з більшою допоміжною системою і провести спеціальне унітарне перетворення комбінованої системи, в результаті якого кілька компонентів більшої системи стануть приблизними копіями вихідної. Такий процес може бути використаний для атаки на квантові криптографічні системи, а також для інших цілей у квантових обчисленнях.

Див. також[ред. | ред. код]

• Квантова телепортація
• Сплутані квантові стани
• Квантовий комп'ютер
• Квантова криптографія

Література[ред. | ред. код]

• Wootters W., Zurek W. H. A Single Quantum Cannot be Cloned // Nature / M. Skipper — NPG, Springer Science+Business Media, 1982. — Vol. 299. — P. 802–803. — ISSN 1476-4687; 0028-0836 — doi:10.1038/299802A0
  d:Track:Q52990517d:Track:Q180445d:Track:Q180419d:Track:Q176916d:Track:Q512756d:Track:Q52661223d:Track:Q684933
• Dieks D. Communication by EPR devices // Physics Letters A — Elsevier BV, 1982. — Vol. 92, Iss. 6. — P. 271–272. — ISSN 0375-9601; 1873-2429 — doi:10.1016/0375-9601(82)90084-6
  d:Track:Q1659906d:Track:Q746413d:Track:Q52990575d:Track:Q5258345
• V B. V., Hillery M Quantum copying: Beyond the no-cloning theorem., Quantum cloning: Beyond the No-Cloning Theorem // Phys. Rev. A — College Park, MD: American Physical Society, 1996. — Vol. 54, Iss. 3. — P. 1844–1852. — ISSN 2469-9926; 2469-9934; 2469-9942 — doi:10.1103/PHYSREVA.54.1844 — arXiv:quant-ph/9607018
  d:Track:Q52990616d:Track:Q52296878d:Track:Q3382012d:Track:Q52990633d:Track:Q52990646
• Scarani V., Iblisdir S., Gisin N. et al. Quantum cloning // Rev. Mod. Phys. / G. D. Sprouse, P. Meystre — APS, 2005. — Vol. 77, Iss. 4. — P. 1225–1256. — ISSN 0034-6861; 1539-0756; 1538-4527 — doi:10.1103/REVMODPHYS.77.1225 — arXiv:quant-ph/0511088
  d:Track:Q30504034d:Track:Q52990704d:Track:Q119133d:Track:Q5531154d:Track:Q52990742d:Track:Q466113d:Track:Q1715287d:Track:Q52990710d:Track:Q869847d:Track:Q26572
• Бауместер Д., Экерт А., Цайлингер А. Физика квантовой информации. — М. : Постмаркет, 2002. — 376 с.
• Нильсен М., Чанг И. Квантовые вычисления и квантовая информация. — М. : Мир, 2006. — 824 с.
• Прескилл Дж. Квантовая информация и квантовые вычисления. — Ижевск : РХД, 2008. — Т. 1. — 464 с. — ISBN 978-5-93972-651-1.