Теорема Абеля (аналіз)

Теорема Абеля — результат теорії степеневих рядів, названий на честь норвезького математика Нільса Абеля.

Нехай ${\displaystyle \textstyle f(x)=\sum _{n\geqslant 0}a_{n}x^{n}}$ — степеневий ряд з комплексними коефіцієнтами і радіусом збіжності ${\displaystyle R}$.

Якщо ряд ${\displaystyle \textstyle \sum _{n\geqslant 0}a_{n}R^{n}}$ є збіжним, тоді :

${\displaystyle \lim _{x\to R^{-}}f(x)=\sum _{n\geqslant 0}a_{n}R^{n}}$.

Заміною змінних ${\displaystyle u=x/R}$, можна вважати ${\displaystyle R=1}$. Також (необхідним підбором ${\displaystyle a_{0}}$) можна припустити ${\displaystyle \textstyle \sum a_{n}=0}$. Позначимо ${\displaystyle S_{n}}$ часткові суми ряду ${\displaystyle \textstyle \sum a_{n}}$. Згідно з припущенням ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }S_{n}=0}$ і потрібно довести, що ${\displaystyle \lim _{x\to 1^{-}}f(x)=0}$.

Розглянемо ${\displaystyle x\in [0,1]}$. Тоді (прийнявши ${\displaystyle S_{-1}=0}$) :

${\displaystyle \sum _{n=0}^{N}(S_{n}-S_{n-1})x^{n}=\sum _{n=0}^{N}S_{n}(x^{n}-x^{n+1})+S_{N}x^{N+1}.}$

Звідси одержується ${\displaystyle \textstyle f(x)=(1-x)\sum _{n=0}^{\infty }S_{n}x^{n}}$.

Для довільного ${\displaystyle \varepsilon >0}$ існує натуральне число ${\displaystyle N_{0}}$, що ${\displaystyle |S_{n}|\leq \varepsilon }$ для всіх ${\displaystyle n>N_{0}}$, тому :

${\displaystyle \vert f(x)\vert \leqslant (1-x)\left\vert \sum _{n=0}^{N_{0}}S_{n}x^{n}\right\vert +(1-x)\ \varepsilon \sum _{n=N_{0}+1}^{\infty }x^{n}=(1-x)\left\vert \sum _{n=0}^{N_{0}}S_{n}x^{n}\right\vert +\varepsilon x^{N_{0}+1}.}$

Права частина прямує до ${\displaystyle \varepsilon }$ коли ${\displaystyle x}$ прямує до 1, зокрема вона є меншою ${\displaystyle 2\varepsilon }$ при прямуванні ${\displaystyle x}$ до 1.

Візьмемо ${\displaystyle \textstyle f(x)=\sum _{n\geqslant 1}{\frac {(-1)^{n+1}x^{n}}{n}}=\ln(1+x)}$. Оскільки ряд ${\displaystyle \textstyle \sum _{n\geqslant 1}{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}}$ збігається, маємо:

${\displaystyle \lim _{x\to 1^{-}}f(x)=\ln 2=\sum _{n\geqslant 1}{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}}$

Візьмемо ${\displaystyle \textstyle g(x)=\sum _{n\geqslant 0}{\frac {(-1)^{n}x^{2n+1}}{2n+1}}=\arctan(x)}$. Ряд ${\displaystyle \textstyle \sum _{n\geqslant 0}{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}}$ збігається, тому :

${\displaystyle \lim _{x\to 1^{-}}g(x)=\arctan(1)={\frac {\pi }{4}}=\sum _{n\geqslant 0}{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}}$

• Список об'єктів, названих на честь Нільса Генріка Абеля

• Абеля теореми. Вебсайт Великої української енциклопедії (укр.).
• Abel summability на PlanetMath.(англ.) (a more general look at Abelian theorems of this type)
• Weisstein, Eric W. Abel's Convergence Theorem(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.