Тензорні мережі

Тензорні мережі або тензоромережеві стани — це клас варіаційних хвильових функцій, які використовуються у вивченні квантових систем багатьох тіл. [1] Тензорні мережі узагальнюють стани одновимірного матричного добутку на вищі розмірностей, зберігаючи при цьому деякі їхні корисні математичні властивості. [2]

Two tensor networks
Графічне (діаграматичне) зображення тензорних мереж, що можуть згорнутися до одного тензору сьомого порядку (бачимо схожу структуру та 7 вільних індексів). Тут мається на увазі, що нижня мережа може бути отримана з першої шляхом тензорної згортки (або підсумовування) трьох (жовтих) тензорів порядку три в один (фіолетовий).

Хвильова функція кодується тензорною згорткою мережі окремих тензорів . [3] Структура окремих тензорів може закладати глобальну симетрію до хвильової функції або обмежувати хвильову функцію конкретними квантовими числами, такими як загальний заряд, момент імпульсу чи спін . Використовуючи математичну структуру тензорної мережі, також можна вивести строгі обмеження для таких величин, як заплутаність і довжина кореляції . [4] Це робить тензорні мережі корисними в теоретичних дослідженнях квантової інформації в системах багатьох тіл[en]. Вони також виявилися корисними у варіаційних дослідженнях основних станів квантовомеханічних систем, збуджених станів і динаміки сильно корельованих систем багатьох тіл. [5]

Позначення діаграмами[ред. | ред. код]

Загалом діаграму тензорної мережі (діаграму Пенроуза) можна розглядати як граф, де вершини представляють окремі тензори мережі, а ребра представляють підсумовування за індексом (або згортку мережі). Вільні індекси зображуються як ребра, приєднані лише до однієї вершини, так звані ніжки. [6] Іноді форма вершини, що зображує тензор має додаткове значення. Наприклад, можна використовувати трапеції для унітарних матриць та тензорів з подібною поведінкою.[7] Таким чином, перевернуті трапеції будуть інтерпретуватися як комплексно спряжені з ними.

Зв'язок з машинним навчанням[ред. | ред. код]

Тензорні мережі стали вживатися для керованого навчання [8], використовуючи подібність математичної структури у варіаційних дослідженнях квантової механіки та глибокому машинному навчанні . Це поєднання стимулювало співпрацю між дослідниками зі сфер штучного інтелекту та квантової інформатики . У червні 2019 року Google, Інститут теоретичної фізики Perimeter і X (компанія) випустили TensorNetwork, [9] бібліотеку з відкритим кодом для ефективних тензорних обчислень. [10]

Основний інтерес до тензорних мереж та їх вивчення з точки зору машинного навчання полягає в зменшенні кількості параметрів для тренування в окремому шарі моделі, шляхом апроксимації тензора високого порядку мережею тензорів нижчих порядків. Використовуючи так звану техніку тензорного ланцюжка, [11] можна звести тензор порядку N (що містить експоненційно велику кількість параметрів) до ланцюжка з N тензорів порядку 2 або 3, що дає нам поліноміальне число параметрів .

Техніка тензорного ланцюжка

Дивіться також[ред. | ред. код]

Список літератури[ред. | ред. код]

  1. ↑ Orús, Román (5 серпня 2019). Tensor networks for complex quantum systems. Nature Reviews Physics (англ.). 1 (9): 538—550. arXiv:1812.04011. Bibcode:2019NatRP...1..538O. doi:10.1038/s42254-019-0086-7. ISSN 2522-5820.
  2. ↑ Orús, Román (1 жовтня 2014). A practical introduction to tensor networks: Matrix product states and projected entangled pair states. Annals of Physics (англ.). 349: 117—158. arXiv:1306.2164. Bibcode:2014AnPhy.349..117O. doi:10.1016/j.aop.2014.06.013. ISSN 0003-4916.
  3. ↑ Biamonte, Jacob; Bergholm, Ville (31 липня 2017). Tensor Networks in a Nutshell. arXiv:1708.00006 [quant-ph].
  4. ↑ Verstraete, F.; Wolf, M. M.; Perez-Garcia, D.; Cirac, J. I. (6 червня 2006). Criticality, the Area Law, and the Computational Power of Projected Entangled Pair States. Physical Review Letters. 96 (22): 220601. arXiv:quant-ph/0601075. Bibcode:2006PhRvL..96v0601V. doi:10.1103/PhysRevLett.96.220601. PMID 16803296. {{cite journal}}: |hdl-access= вимагає |hdl= (довідка)
  5. ↑ Montangero, Simone (28 листопада 2018). Introduction to tensor network methods : numerical simulations of low-dimensional many-body quantum systems. Cham, Switzerland. ISBN 978-3-030-01409-4. OCLC 1076573498.
  6. ↑ The Tensor Network. Tensor Network (англ.). Архів оригіналу за 28 червня 2022. Процитовано 30 липня 2022.
  7. ↑ ComPhy: Computational Physics Library. gojakuch.github.io. Процитовано 5 серпня 2022.
  8. ↑ Stoudenmire, E. Miles; Schwab, David J. (18 травня 2017). Supervised Learning with Quantum-Inspired Tensor Networks. Advances in Neural Information Processing Systems. 29: 4799. arXiv:1605.05775.
  9. ↑ google/TensorNetwork, 30 січня 2021, процитовано 2 лютого 2021
  10. ↑ Introducing TensorNetwork, an Open Source Library for Efficient Tensor Calculations. Google AI Blog (англ.). Процитовано 2 лютого 2021.
  11. ↑ Oseledets, I. V. (1 січня 2011). Tensor-Train Decomposition. SIAM Journal on Scientific Computing. 33 (5): 2295—2317. doi:10.1137/090752286. ISSN 1064-8275.
Отримано з https://uk.wikipedia.org/w/index.php?title=Тензорні_мережі&oldid=40589180