Скалярний добуток

Скаля́рний добу́ток (англ. dot product, scalar product) — бінарна операція над векторами, результатом якої є скаляр.

Скалярний добуток геометричних векторів ${\displaystyle {\vec {x}}}$ та ${\displaystyle {\vec {y}}}$ обчислюється за формулою:

${\displaystyle {\vec {x}}\cdot {\vec {y}}=|{\vec {x}}|\,|{\vec {y}}|\,\cos \measuredangle \left({\vec {x}},{\vec {y}}\right)}$

де ${\displaystyle |{\vec {x}}|}$ та ${\displaystyle |{\vec {y}}|}$ є довжинами векторів, а ${\displaystyle \cos \measuredangle \left({\vec {x}},{\vec {y}}\right)}$ дорівнює косинусу кута між цими векторами. Як і у випадку звичайного множення, знак множення можна не писати: ${\displaystyle {\vec {x}}\cdot {\vec {y}}={\vec {x}}{\vec {y}}}$.

Два означення добутку векторів:

• Скалярним добутком двох векторів називають число, рівне добутку довжин цих векторів на косинус кута між ними.
• Скалярним добутком двох векторів називають число, рівне добутку довжини одного з цих векторів на проєкцію іншого вектора на вісь, обумовлену першим з вказаних векторів (добуток довжини ${\displaystyle {\vec {x}}}$ на довжину проєкції ${\displaystyle {\vec {y}}}$ на ${\displaystyle {\vec {x}}}$).

В лінійній алгебрі поняття скалярного добутку узагальнено. Так, скалярним добутком називають функцію, що зіставляє парі елементів векторного простору елемент з поля, над яким побудований векторний простір. Скалярний добуток двох векторів ${\displaystyle x}$ та ${\displaystyle y}$ позначають як ${\displaystyle \langle x,y\rangle }$. Можлива і скорочена форма запису: ${\displaystyle xy}$. Також можливе позначення ${\displaystyle x^{T}y}$, що підкреслює зв'язок з множенням матриць.

Взагалі кажучи, для векторного простору існують різні варіанти скалярного добутку. Простір із визначеним скалярним добутком позначають як передгільбертів простір.

Визначення в евклідовому просторі[ред. | ред. код]

В лінійній алгебрі скалярний добуток двох векторів

${\displaystyle {\vec {x}}={\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\x_{n}\end{pmatrix}}}$    і   ${\displaystyle {\vec {y}}={\begin{pmatrix}y_{1}\\y_{2}\\\vdots \\y_{n}\end{pmatrix}}}$

в ортонормованому базисі ${\displaystyle n}$-вимірного евклідового простору дорівнює сумі добутків координат векторів:

${\displaystyle {\vec {x}}\cdot {\vec {y}}:=\sum _{i=1}^{n}x_{i}y_{i}={x_{1}}{y_{1}}+{x_{2}}{y_{2}}+\dotsb +{x_{n}}{y_{n}}}$.

В загальному випадку:

${\displaystyle {\vec {x}}\cdot {\vec {y}}:=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}x_{i}g_{ij}y_{j}={x_{1}}{y_{1}}+{x_{2}}{y_{2}}+\dotsb +{x_{n}}{y_{n}}}$, де ${\displaystyle g}$ — елемент Матриці Грама

Наприклад, в тривимірному евклідовому просторі, скалярний добуток двох векторів обчислюється так:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&2&3\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}-7\\8\\9\end{pmatrix}}=1\cdot (-7)+2\cdot 8+3\cdot 9=36}$,

тобто для того, щоб отримати значення скалярного добутку, матрицю-стовпчик, яка відповідає першому зі співмножників треба транспонувати й помножити на матрицю-стовпчик другого вектора за правилами множення матриць.

Норма векторів[ред. | ред. код]

Завдяки скалярному добутку, можна так обчислити норму вектора:

${\displaystyle ||{\vec {x}}||={\sqrt {{\vec {x}}\cdot {\vec {x}}}}}$.

Якщо простір евклідів, то:

${\displaystyle ||{\vec {x}}||={\sqrt {{\vec {x}}\cdot {\vec {x}}}}={\sqrt {{x_{1}}^{2}+{x_{2}}^{2}+\dots +{x_{n}}^{2}}}}$.

Обчислення кута[ред. | ред. код]

В евклідовому просторі виконується така рівність:

${\displaystyle {\vec {x}}\cdot {\vec {y}}=|{\vec {x}}||{\vec {y}}|\cos \measuredangle \left({\vec {x}},{\vec {y}}\right)}$.

На основі цього можна обчислити кут між векторами:

${\displaystyle \measuredangle \left({\vec {x}},{\vec {y}}\right)=\arccos {\frac {{\vec {x}}\cdot {\vec {y}}}{\left|{\vec {x}}\right|\,\left|{\vec {y}}\right|}}}$.

Визначення стандартного скалярного добутку в просторі комплексних векторів[ред. | ред. код]

Для ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ векторного простору над полем комплексних чисел стандартний скалярний добуток векторів ${\displaystyle {\vec {x}},{\vec {y}}\in \mathbb {C} ^{n}}$ визначається як відображення, що задовільняє наступним умовам:

${\displaystyle {\vec {x}}\cdot {\vec {y}}:=\sum _{i=1}^{n}x_{i}{\overline {y_{i}}}={x_{1}}{\overline {y_{1}}}+{x_{2}}{\overline {y_{2}}}+\dotsb +{x_{n}}{\overline {y_{n}}},}$

де риска над комплексним числом позначає комплексно-спряжене число.

Інший варіант скалярного добутку можна визначити як

${\displaystyle {\vec {x}}\cdot {\vec {y}}:=\sum _{i=1}^{n}{\overline {x_{i}}}y_{i}={\overline {x_{1}}}{y_{1}}+{\overline {x_{2}}}{y_{2}}+\dotsb +{\overline {x_{n}}}{y_{n}}}$.

Таке визначення здебільшого використовується в фізиці.

Результати обох визначень є взаємно-спряженими комплексними числами. Для скалярного добутку вектора на самого себе, який визначає норму вектора, обидва визначення дають однаковий результат.

Властивості[ред. | ред. код]

• Попри те, що у випадку дійсних чисел є симетричним, тобто ${\displaystyle {\vec {x}}\cdot {\vec {y}}={\vec {y}}\cdot {\vec {x}}}$, у випадку комплексних чисел є ермітовим, тобто ${\displaystyle {\vec {x}}\cdot {\vec {y}}={\overline {{\vec {y}}\cdot {\vec {x}}}}}$.
• Скалярний добуток не асоціативний (і не може бути, оскільки результатом скалярного добутку є скаляр, а не вектор).
• Скалярний добуток дистрибутивний стосовно додавання та віднімання.
• В евклідовому просторі спряженим стосовно лінійного оператора ${\displaystyle A}$ називається оператор ${\displaystyle A^{*}}$, для якого виконується рівність: ${\displaystyle \langle A\cdot x,y\rangle =\langle x,A^{*}\cdot y\rangle }$ для довільних ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle y}$.^[1]

Узагальнене визначення[ред. | ред. код]

Якщо ${\displaystyle L}$ — лінійний простір над полем ${\displaystyle {\mathcal {K}}}$, а ${\displaystyle {\overline {L}}}$ — комплексно спряжений до ${\displaystyle L}$ то білінійне відображення ${\displaystyle L\times L\to {\mathcal {K}}}$, або, при ${\displaystyle {\mathcal {K}}=\mathbb {C} }$ відображення ${\displaystyle L\times {\overline {L}}\to {\mathcal {K}}}$ називається скалярним добутком.^[2]

• Скалярний добуток в дійсному векторному просторі ${\displaystyle V}$, це симетричне додатньовизначене білінійне відображення ${\displaystyle \langle {\cdot },{\cdot }\rangle \colon V\times V\to \mathbb {R} }$, тобто, для ${\displaystyle x,y,z\in V}$ та ${\displaystyle \lambda \in \mathbb {R} }$ виконуються такі умови:
  1. білінійність:
     • ${\displaystyle \langle x+y,z\rangle =\langle x,z\rangle +\langle y,z\rangle }$
     • ${\displaystyle \langle x,y+z\rangle =\langle x,y\rangle +\langle x,z\rangle }$
     • ${\displaystyle \langle x,\lambda y\rangle =\lambda \langle x,y\rangle =\langle \lambda x,y\rangle }$
  2. симетричність: ${\displaystyle \langle x,y\rangle =\langle y,x\rangle }$
  3. додатньовизначеність: ${\displaystyle \langle x,x\rangle \geq 0,}$ та ${\displaystyle \langle x,x\rangle =0}$ якщо ${\displaystyle x=0}$
• Скалярний добуток в комплексному векторному просторі ${\displaystyle V}$, це ермітове додатньовизначене півторалінійне відображення ${\displaystyle \langle {\cdot },{\cdot }\rangle \colon V\times V\to \mathbb {C} }$, тобто, для ${\displaystyle x,y,z\in V}$ і ${\displaystyle \lambda \in \mathbb {C} }$ виконуються такі умови:
  1. півторалінійність:
     • ${\displaystyle \langle x+y,z\rangle =\langle x,z\rangle +\langle y,z\rangle }$
     • ${\displaystyle \langle x,y+z\rangle =\langle x,y\rangle +\langle x,z\rangle }$
     • ${\displaystyle \langle \lambda x,y\rangle =\lambda \langle x,y\rangle =\langle x,{\bar {\lambda }}y\rangle }$
  2. ермітовість: ${\displaystyle \langle x,y\rangle ={\overline {\langle y,x\rangle }}}$
  3. додатньовизначеність: ${\displaystyle \langle x,x\rangle \geq 0}$ і ${\displaystyle \langle x,x\rangle =0}$, якщо ${\displaystyle x=0}$. (те, що ${\displaystyle \langle x,x\rangle }$ дійсний, витікає з умови 2)

Дійсний або комплексний векторний простір, в якому визначено скалярний добуток, називається прегільбертовим.

Представлення у вигляді добутку матриць[ред. | ред. код]

Стандартний скалярний добуток можна представити як добуток матриць. Водночас вектор представляється у вигляді матриці-стовпчика.

У випадку дійсних чисел, скалярний добуток представляється як:

${\displaystyle \langle x,y\rangle =x^{T}y=y^{T}x}$,

де знаком ${\displaystyle {}^{T}}$ позначається транспонування матриці.

У випадку комплексних чисел виконується:

${\displaystyle \langle x,y\rangle =x^{*}y}$,

де знаком ${\displaystyle {}^{*}}$ позначається ермітово-спряжена матриця.

Взагалі кажучи, у випадку дійсних чисел, кожна симетрична та додатноозначена матриця ${\displaystyle A}$ визначає скалярний добуток:

${\displaystyle \langle x,y\rangle _{A}=x^{T}Ay}$;

аналогічно, у випадку комплексних чисел кожна ермітова додатноозначена матриця ${\displaystyle A}$ визначає скалярний добуток:

${\displaystyle \langle x,y\rangle _{A}=x^{*}Ay}$.

Див. також[ред. | ред. код]

Примітки[ред. | ред. код]

Література[ред. | ред. код]

• Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. — 5-е. — М: : Физматлит, 2010. — 559 с. — ISBN 5-9221-0524-8.(рос.)
• Гельфанд И. М. Лекции по линейной алгебре. — 5-е. — Москва : Наука, 1998. — 320 с. — ISBN 5791300158.(рос.)
• Мальцев А. И. Основы линейной алгебры. — 3-е изд. — Новосибирск : Наука, 1970. — 400 с.(рос.)

Посилання[ред. | ред. код]

• Добуток скалярний // Універсальний словник-енциклопедія. — 4-те вид. — К. : Тека, 2006.

Це незавершена стаття з математики. Ви можете допомогти проєкту, виправивши або дописавши її.

Ця стаття потребує додаткових посилань на джерела для поліпшення її перевірності. Будь ласка, допоможіть удосконалити цю статтю, додавши посилання на надійні (авторитетні) джерела. Зверніться на сторінку обговорення за поясненнями та допоможіть виправити недоліки. Матеріал без джерел може бути піддано сумніву та вилучено. (грудень 2017)