Рівностепенева неперервність — властивість сім'ї неперервних функцій, яка полягає в тому, що всі функції змінюються однаково в межах заданого околу.
Рівностепенева неперервність і рівномірна рівностепенева неперервність
[ред. | ред. код] Нехай
![{\displaystyle {\mathcal {F}}=\{f_{i}(x):X\rightarrow \mathbb {R} ,i\in I\},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4eb2e2aff2ac0a537c302173ebd2eafd2401dc00)
деяка сім'я неперервних функцій, де
— деяка підмножина дійсної осі,
— множина індексів.
Множина функцій
— рівностепенево неперервна в точці
, якщо
![{\displaystyle \forall \varepsilon >0\quad \exists \delta =\delta (\varepsilon )>0\quad \forall x\in X\quad |x-x_{0}|<\delta }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/60864d8ba22f00c2abb47fe0dae4b03c85ee2719)
![{\displaystyle \qquad \forall f_{i}\in {\mathcal {F}},\quad |f_{i}(x)-f_{i}(x_{0})|<\varepsilon .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/31fb011dfb7c25d5deac113b5ab2be13f01fc78f)
Множина функцій
— рівностепенево неперервна, якщо вона рівностепенево неперервна в кожній точці з
. Іншими словами, для довільного
знайдеться таке
, яке залежить від
та
, що для довільних
таких, що
випливає, що нерівність
виконується одночасно для всіх функцій з
.
Множина функцій
— рівномірно рівностепенево неперервна, якщо
![{\displaystyle \forall \varepsilon >0\quad \exists \delta =\delta (\varepsilon )>0\quad \forall x_{1},x_{2}\in X\quad |x_{1}-x_{2}|<\delta }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/063503f7c4ceb5f54cf4f1c3cdc96c1db1c8071e)
![{\displaystyle \qquad \forall f_{i}\in {\mathcal {F}},\quad |f_{i}(x_{1})-f_{i}(x_{2})|<\varepsilon .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7eb82c352166f02981bfcbdfdae496f9a5af9705)
Іншими словами, для довільного
знайдеться таке
, яке залежить тільки від
, що для довільних
таких, що
випливає, що нерівність
виконується одночасно для всіх функцій з
.
Різниця між рівностепеневою неперервністью і рівномірною рівностепеневою неперервністю в тому, що у першому випадку вибір
залежить і від
, і від
. У випадку рівномірної рівностепенової неперервності
залежить тільки від
. Часто коли говорять про рівностепеневу неперервність, то під нею розуміють рівномірну рівностепеневу неперервність.
Наведені означення безпосередньо переносяться на випадок метричних просторів [1]
Нехай
,
— метричні простори і
— множина всіх неперервних відображень з
в
.
Підмножина відображень
— рівностепенево неперервна в точці
, якщо
![{\displaystyle \forall \varepsilon >0\quad \exists \delta =\delta (\varepsilon )>0\quad \forall x\in X\quad d_{X}(x,x_{0})<\delta }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ef557fc2d8ca2bffaa33fd2ff9cf03c6a100531a)
![{\displaystyle \qquad \forall f_{i}\in {\mathcal {F}},\quad d_{Y}(f(x),f(x_{0}))<\varepsilon .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9141c9e8930424263a2d7b7bac5d4bd449dbd9e3)
Множина
— рівностепенево неперервна, якщо вона рівностепенево неперервна в кожній точці з
.
Підмножина відображень
називається рівномірно рівностепенево неперервною, якщо
![{\displaystyle \forall \varepsilon >0\quad \exists \delta =\delta (\varepsilon )>0\quad \forall x_{1},x_{2}\in X\quad d_{X}(x_{1},x_{2})<\delta }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/689bd9fe82c88a9ba57ed4bed61f1b06b2136f26)
![{\displaystyle \qquad \forall f\in C(X,\;Y),\quad d_{Y}(f(x_{1}),f(x_{2}))<\varepsilon .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/db4db2f4bbeffef98feb07ffc5b2f4bcceaecb2d)
Більш загально, якщо
— топологічний простір, то множина
відображень з
в
називається рівностепенево неперервною в точці
, якщо
![{\displaystyle \forall \varepsilon >0\quad \exists U_{x_{0}}\quad \forall x\in U_{x_{0}}\quad \forall f\in F,\quad d_{Y}(f(x),f(x_{0}))<\varepsilon ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eaaaf4520d2473efc923d1983947e300c588bcb7)
де
позначає деякий окіл точки
.
- Якщо
— компактний простір, то множина функцій рівномірно рівностепенево неперервна тоді і тільки тоді, коли вона рівностепенево неперервна. - Кожна з функцій рівномірно рівностепеневої множини функцій рівномірно неперервна.
- Будь-яка скінченна множина рівномірно неперервних функцій рівномірно рівностепенево неперервна.
- Нехай
— рівностепенево неперервна сім'я функцій і
поточково для довільного
, тоді
— неперервна [2].
- Нехай
— рівностепенево неперервна сім'я функцій з
в повний метричний простір
і
для всіх
з деякої щільної в
підмножини, тоді
для всіх
.
- Нехай
— компактний простір і
— рівномірно рівностепенево неперервна сім'я функцій і
поточково для довільного
, тоді
рівномірно.
- Згідно узагальненої теореми Арцела якщо
— компактні простори, то підмножина
компактна в
як метричному просторі наділеному рівномірною метрикою
тоді і тільки тоді, коли
рівностепенево неперервна.
- Послідовність функцій з однаковою константою Ліпшица утворюють (рівномірно) рівностепеневу множину функцій. В частковому випадку такою є множина функцій похідні яких є рівномірно обмеженими.
- Нехай
— неперервна на
функція. Розглянемо відображення
, яке задається формулою
![{\displaystyle (G\cdot f)(x)=\int _{a}^{b}F(x,y)f(y)dy.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f0aabe891e18c80bc560d67544d9b73305928bd)
Тоді множина
рівностепенево неперервна [3].
Рівностепенева неперервність узагальнюється для відображень між топологічними просторами, які наділені так званою рівномірною структурою (у топологічному просторі
вводиться спеціальна топологія — сім'я підмножин з декартового добутку
наділена певними властивостями).
- ↑ Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики. Т.1. Функциональный анализ. — М. : Мир, 1977. — С. 42-43.
- ↑ Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики. Т.1. Функциональный анализ. — М. : Мир, 1977. — С. 43.
- ↑ Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики. Т.1. Функциональный анализ. — М. : Мир, 1977. — С. 49.
- Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики. Т.1. Функциональный анализ. — Москва : Мир, 1977. — 355 с.