Ряд Ліуві́лля — Не́ймана в інтегральному численні — нескінченний ряд, що відповідає розв'язку інтегрального рівняння Фредгольма з неперервним малим ядром. Названий за іменами Жозефа Ліувілля і Карла Неймана.
Шукатимемо розв'язок рівняння Фредгольма
![{\displaystyle u(x)=\lambda \int \limits _{G}K(x,\;y)u(y)\,dy+f(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7846182db7bbad8a6603af9d4ef3c1ff46123839)
методом послідовних наближень, поклавши
:
![{\displaystyle u^{(p)}(x)=\lambda \int \limits _{G}K(x,\;y)u^{(p-1)}(y)\,dy+f(x)=\lambda (Ku^{(p-1)})(x)+f(x),\quad p=1,\;2,\;\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ac6a4995aa1480df3222ed2cdb164fd76452773)
Останній вираз у формулі є операторним записом інтеграла. Методом математичної індукції перевіряється така рівність:
![{\displaystyle u^{(p)}=\sum _{k=0}^{p}\lambda ^{k}(K^{k}f)(x),\quad p=0,\;1,\;\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/67e25a0c9fd12d0c50b4383887859d7df4135cdb)
Функція
називають ітераціями. Можна показати, що всі ітерації неперервні й обмежені на
:
![{\displaystyle \|K^{p}f\|_{C}=\|K(K^{p-1}f)\|_{C}\leqslant M\mathrm {mes} \,G\|K^{p-1}f\|_{C}\leqslant \ldots \leqslant (M\mathrm {mes} \,G)^{p}\|f\|_{C},\quad p=0,\;1,\;\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ee1e49124d2830d4d957367102591d34c5327933)
де
— міра множини
, а
.
З цієї оцінки випливає, що ряд
![{\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }\lambda ^{k}(K^{k}f)(x),\quad x\in G,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a4dcb900ede98c726714896612aa47b310ec1358)
називаний рядом Ліувілля — Неймана, мажорується числовим рядом
![{\displaystyle \|f\|_{C}\sum _{k=0}^{\infty }|\lambda |^{k}(M\mathrm {mes} \,G)^{k}={\frac {\|f\|_{C}}{1-|\lambda |M\mathrm {mes} \,G}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5d6436b66132b3c4e4fb581a589e5dbdba6c107e)
який збігається в крузі
, тому за таких
ряд Ліувілля — Неймана збігається регулярно (абсолютно і рівномірно). Це означає, що послідовні наближення
при
рівномірно прямують до шуканої функції
.
- Mathews, Jon; Walker, Robert L. (1970), Mathematical methods of physics (2nd ed.), New York: W. A. Benjamin, ISBN 0-8053-7002-1
- Fredholm, Erik I. (1903), Sur une classe d'equations fonctionnelles (PDF), Acta Mathematica, 27: 365—390, doi:10.1007/bf02421317