Розглянемо інтегральне рівняння:
![{\displaystyle f(s)+\lambda \int \limits _{a}^{b}K(s,\;t)\varphi (t)\,dt=\varphi (s).\qquad (*)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/574fd393abbfb9ec48eafef5272e6a9b25124c9a)
Резольвентою інтегрального рівняння, або його розв'язним ядром називають таку функцію
змінних
,
і параметра
, що розв'язок рівняння (*) подається у вигляді:
![{\displaystyle u^{*}(s)=f(s)+\lambda \int \limits _{a}^{b}\Gamma (s,\;t,\;\lambda )f(t)\,dt.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c9f7cd416f5173a02c710295b9ec14a8ce47d729)
При цьому
не повинна бути власним числом рівняння (*).
Нехай рівняння (*) має ядро
, тобто саме рівняння має вигляд:
![{\displaystyle \varphi (s)+\lambda \int \limits _{a}^{b}(s+t)\varphi (t)\,dt=f(s).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2d68211a087cc665e9e4998ff0fe833f2c03ddce)
Тоді його резольвентою є функція
![{\displaystyle \Gamma (s,\;t,\;\lambda )={\frac {s+t-\lambda \left({\dfrac {s+t}{2}}-st-{\dfrac {1}{3}}\right)}{1-\lambda -{\dfrac {\lambda ^{2}}{12}}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/28e7aad0127ccd44da4f79f8280002d4c32e7dbf)
Нехай
— лінійний оператор. Тоді його резольвентою називають операторнозначну функцію[1]
,
де
— тотожний оператор, а
— комплексне число, з резольвентної множини, тобто такої множини, що
є обмеженим оператором.
Це поняття використовується для розв'язування неоднорідного рівняння Фредгольма другого роду.
- ↑ Операторнозначна функція — функція, значенням якої є оператор.