Простір петель — конструкція у топології, особливо важлива у теорії гомотопії.
Нехай
є топологічним простором із виділеною точкою. Нехай
є простором усіх неперервних функцій
, із компактно-відкритою топологією. Простором петель
називається підпростір
![{\displaystyle \Omega (X,x_{0}):=\{w\in C([0,1],X)\,\mid \,w(0)=w(1)=x_{0}\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8d22ce0badcf83a7dc5e15e5efc1f33a78c5fe42)
з топологією підпростору.
Еквівалентно можна розглянути одиничне коло
із деякою виділеною точкою
і тоді задати
![{\displaystyle \Omega (X,x_{0}):=\{w\in C(S^{1},X)\,\mid \,w(s_{0})=x_{0}\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba23a0fd5e3a80394bac1a5f1ae39d0460f63f6a)
Елементами простору
є замкнуті контури
із початковою та кінцевою точкою
.
Простір петель
є топологічним простором із виділеною точкою, за яку можна взяти петлю
для всіх
.
Іноді також розглядається вільний простір петель, який є аналогом для просторів без виділеної точки. Такий простір часто позначається
і за означенням є множиною усіх неперервних відображень із
у
із компактно-відкритою топологією.
Якщо
і
є топологічними просторами із виділеними точками і
є неперервним відображенням, воно породжує неперервне відображення між просторами петель
.
Якщо
є третім топологічним простором із виділеною точкою і
є неперервним відображенням то
.
Таким чином одержується функтор на категорії топологічних просторів із виділеною точкою.[1]
Гомотопією між двома петлями
називається неперервне відображення
, для якого
для всіх ![{\displaystyle s\in [0,1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aff1a54fbbee4a2677039524a5139e952fa86eb9)
для всіх ![{\displaystyle s\in [0,1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aff1a54fbbee4a2677039524a5139e952fa86eb9)
для всіх ![{\displaystyle t\in [0,1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/31a5c18739ff04858eecc8fec2f53912c348e0e5)
Можна уявити, що петлі
і
за допомогою відображення
постійно «деформуються» одна в іншу. Остання з вищезазначених умов забезпечує, що всі
також є петлями з виділеною точкою
. Такі гомотопії, які фіксують виділену точку топологічного простору називаються також точковими гомотопіями.
Гомотопія між петлями — відношення еквівалентності, множина класів еквівалентності на
позначається
. Клас еквівалентності петлі
позначається
і називається класом гомотопії.
Якщо задано дві петлі
, для них можна дати означення добутку
, як петлі, яка спочатку пробігає петлю
, а потім
. Точніше
.
Цей добуток сумісний з гомотопією петель, індукує добуток на множині
класів гомотопії:
. Разом із цим добутком
є групою, яка називається фундаментальною групою для
Нейтральним елементом цієї групи є
, клас гомотопії постійної петлі.
За означенням редукована надбудова
топологічного простору із виділеною точкою
є фактор-простором
.
Нехай
позначає відображення на фактор-простір і образ підпростору
є виділеною точкою у
. Якщо
є ще одним топологічним простором із виділеною точкою то для неперервного відображення
![{\displaystyle f:\Sigma (X,x_{0})\rightarrow (Y,y_{0})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/06956129521473e9c820aa8df1ebbbd444da2c3f)
одержується неперервне відображення
![{\displaystyle f\circ q:X\times [0,1]\rightarrow Y}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a3bedf548ca125577f3e82453dcbf2210267a21b)
і також неперервне відображення
.
Оскільки образами
і
при відображенні
є виділена точка у
і
є відображенням просторів із виділеною точкою, то
, тобто
є елементом простору петель
.
Таким чином існує бієктивне відображення
.
у категорії топологічних просторів із виділеною точкою це відображення є сумісним із точковими гомотопіями, і тому індукує бієкцію між множинами класів гомотопії. У цьому сенсі функтори
і
є спряженими. Цей зв'язок між функторами простору петель і редукованої надбудови часто називають двоїстістю Екмана — Хілтона.
Аналогічно функтор вільного простору петель є правим спряженим до функтора добутку топологічного простору із простором
.
Додатково також оскільки редукована надбудова завжди є асоціативним H'-простором із оберненими елементами (в сенсі гомотопії), а простір петель є асоціативним H-простором із оберненими елементами (в сенсі гомотопії), то на класах гомотопій
і
можна задати стандартні групові структури і тоді породжена бієкція між цими множинами також є ізоморфізмом груп.
Важливим частковим випадком є коли
тобто є n-гіперсферою із виділеною точкою. Тоді за означенням
є гомотопічною групою
, а редукована надбудова
є гомеоморфною гіперсфері
. Тому із попереднього випливає для будь якого простору із виділеною точкою
ізоморфізм:
.
- ↑ Tammo tom Dieck: Algebraic Topology, European Mathematical Society (2008), ISBN 978-3-03719-048-7, Розділ 4.4: Loop Space
- Maunder, Charles Richard Francis (1980), Algebraic topology, Cambridge University Press, ISBN 9780521231619
- Tammo tom Dieck: Algebraic Topology, European Mathematical Society (2008), ISBN 978-3-03719-048-7