Ортогональні поліноми Якобі Відкриті Карла Густава Якоба Якобі в 1859 році Формула P n ( α , β ) ( z ) = Γ ( α + n + 1 ) n ! Γ ( α + β + n + 1 ) ∑ m = 0 n ( n m ) Γ ( α + β + n + m + 1 ) Γ ( α + m + 1 ) ( z − 1 2 ) m {\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(z)={\frac {\Gamma (\alpha +n+1)}{n!\,\Gamma (\alpha +\beta +n+1)}}\sum _{m=0}^{n}{n \choose m}{\frac {\Gamma (\alpha +\beta +n+m+1)}{\Gamma (\alpha +m+1)}}\left({\frac {z-1}{2}}\right)^{m}} Диференціальне рівняння ( 1 − x 2 ) y ″ + ( β − α − ( α + β + 2 ) x ) y ′ + n ( n + α + β + 1 ) y = 0. {\displaystyle (1-x^{2})y''+(\beta -\alpha -(\alpha +\beta +2)x)y'+n(n+\alpha +\beta +1)y=0.\,} Визначені на [ − 1 , 1 ] {\displaystyle \ [-1,1]} Вага ( 1 − x ) α ( 1 + x ) β {\displaystyle (1-x)^{\alpha }(1+x)^{\beta }\,\!} Норма 2 α + β + 1 2 n + α + β + 1 Γ ( n + α + 1 ) Γ ( n + β + 1 ) Γ ( n + α + β + 1 ) n ! {\displaystyle {\frac {2^{\alpha +\beta +1}}{2n+\alpha +\beta +1}}{\frac {\Gamma (n+\alpha +1)\Gamma (n+\beta +1)}{\Gamma (n+\alpha +\beta +1)n!}}} Примітки
Поліноми Якобі — це клас ортогональних поліномів . Вони названі на честь Карла Густава Якоба Якобі .
Вони походять з гіпергеометричних функцій у тих випадках, коли наступні ряди кінцеві:
P n ( α , β ) ( z ) = ( α + 1 ) n n ! 2 F 1 ( − n , 1 + α + β + n ; α + 1 ; 1 − z 2 ) , {\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(z)={\frac {(\alpha +1)_{n}}{n!}}\,_{2}F_{1}\left(-n,1+\alpha +\beta +n;\alpha +1;{\frac {1-z}{2}}\right),} де ( α + 1 ) n {\displaystyle (\alpha +1)_{n}} є символом Похгаммера (для зростаючого факторіалу), (Абрамович і Стегун стор.561 [Архівовано 17 серпня 2005 у Wayback Machine .] ) і, таким чином, явний вираз
P n ( α , β ) ( z ) = Γ ( α + n + 1 ) n ! Γ ( α + β + n + 1 ) ∑ m = 0 n ( n m ) Γ ( α + β + n + m + 1 ) Γ ( α + m + 1 ) ( z − 1 2 ) m , {\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(z)={\frac {\Gamma (\alpha +n+1)}{n!\,\Gamma (\alpha +\beta +n+1)}}\sum _{m=0}^{n}{n \choose m}{\frac {\Gamma (\alpha +\beta +n+m+1)}{\Gamma (\alpha +m+1)}}\left({\frac {z-1}{2}}\right)^{m},} Звідки одне з кінцевих значень наступне.
P n ( α , β ) ( 1 ) = ( n + α n ) . {\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(1)={n+\alpha \choose n}.} Для цілих n {\displaystyle n\,}
( z n ) = Γ ( z + 1 ) Γ ( n + 1 ) Γ ( z − n + 1 ) , {\displaystyle {z \choose n}={\frac {\Gamma (z+1)}{\Gamma (n+1)\Gamma (z-n+1)}},} де Γ ( z ) {\displaystyle \Gamma (z)\,} — звичайна Гамма-функція , і
( z n ) = 0 for n < 0. {\displaystyle {z \choose n}=0\quad {\hbox{for}}\quad n<0.} Ці поліноми задовольняють умові ортогональності.
∫ − 1 1 ( 1 − x ) α ( 1 + x ) β P m ( α , β ) ( x ) P n ( α , β ) ( x ) d x = 2 α + β + 1 2 n + α + β + 1 Γ ( n + α + 1 ) Γ ( n + β + 1 ) Γ ( n + α + β + 1 ) n ! δ n m {\displaystyle \int _{-1}^{1}(1-x)^{\alpha }(1+x)^{\beta }P_{m}^{(\alpha ,\beta )}(x)P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(x)\;dx={\frac {2^{\alpha +\beta +1}}{2n+\alpha +\beta +1}}{\frac {\Gamma (n+\alpha +1)\Gamma (n+\beta +1)}{\Gamma (n+\alpha +\beta +1)n!}}\delta _{nm}} для α > − 1 {\displaystyle \alpha >-1} і β > − 1 {\displaystyle \beta >-1} .
Існує відношення сіметрії для поліномів Якобі.
P n ( α , β ) ( − z ) = ( − 1 ) n P n ( β , α ) ( z ) ; {\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(-z)=(-1)^{n}P_{n}^{(\beta ,\alpha )}(z);} а тому інше значення поліномів:
P n ( α , β ) ( − 1 ) = ( − 1 ) n ( n + β n ) . {\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(-1)=(-1)^{n}{n+\beta \choose n}.} Для дійсного x {\displaystyle x} поліном Якобі може бути записаний наступним чином.
P n ( α , β ) ( x ) = ∑ s ( n + α s ) ( n + β n − s ) ( x − 1 2 ) n − s ( x + 1 2 ) s {\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(x)=\sum _{s}{n+\alpha \choose s}{n+\beta \choose n-s}\left({\frac {x-1}{2}}\right)^{n-s}\left({\frac {x+1}{2}}\right)^{s}} де s ≥ 0 {\displaystyle s\geq 0\,} і n − s ≥ 0 {\displaystyle n-s\geq 0\,} . У спеціальному випадку, коли n {\displaystyle n} , n + α {\displaystyle n+\alpha } , n + β {\displaystyle n+\beta } і n + α + β {\displaystyle n+\alpha +\beta } — невід'ємні цілі, поліном Якобі може приймати наступний вигляд
P n ( α , β ) ( x ) = ( n + α ) ! ( n + β ) ! ∑ s [ s ! ( n + α − s ) ! ( β + s ) ! ( n − s ) ! ] − 1 ( x − 1 2 ) n − s ( x + 1 2 ) s . {\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(x)=(n+\alpha )!(n+\beta )!\sum _{s}\left[s!(n+\alpha -s)!(\beta +s)!(n-s)!\right]^{-1}\left({\frac {x-1}{2}}\right)^{n-s}\left({\frac {x+1}{2}}\right)^{s}.} Сума береться по всім цілим значенням s {\displaystyle s} , для яких множники є невід'ємними.
Ця формула дозволяє виразити d-матрицю Вігнера d m ′ m j ( ϕ ) {\displaystyle d_{m'm}^{j}(\phi )\;} ( 0 ≤ ϕ ≤ 4 π {\displaystyle 0\leq \phi \leq 4\pi } ) у термінах поліномів Якобі[1]
d m ′ m j ( ϕ ) = [ ( j + m ) ! ( j − m ) ! ( j + m ′ ) ! ( j − m ′ ) ! ] 1 / 2 ( sin ϕ 2 ) m − m ′ ( cos ϕ 2 ) m + m ′ P j − m ( m − m ′ , m + m ′ ) ( cos ϕ ) . {\displaystyle d_{m'm}^{j}(\phi )=\left[{\frac {(j+m)!(j-m)!}{(j+m')!(j-m')!}}\right]^{1/2}\left(\sin {\frac {\phi }{2}}\right)^{m-m'}\left(\cos {\frac {\phi }{2}}\right)^{m+m'}P_{j-m}^{(m-m',m+m')}(\cos \phi ).} k -та похідна явного виразу призводить до
d k d z k P n ( α , β ) ( z ) = Γ ( α + β + n + 1 + k ) 2 k Γ ( α + β + n + 1 ) P n − k ( α + k , β + k ) ( z ) . {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{k}}{\mathrm {d} z^{k}}}P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(z)={\frac {\Gamma (\alpha +\beta +n+1+k)}{2^{k}\Gamma (\alpha +\beta +n+1)}}P_{n-k}^{(\alpha +k,\beta +k)}(z).} ↑ L. C. Biedenharn and J. D. Louck, Angular Momentum in Quantum Physics , Addison-Wesley, Reading, (1981) Andrews, George E.; Askey, Richard; Roy, Ranjan (1999), Special functions , Encyclopedia of Mathematics and its Applications, т. 71, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-62321-6; 978-0-521-78988-2 , MR 1688958 Koornwinder, Tom H.; Wong, Roderick S. C.; Koekoek, Roelof; Swarttouw, René F., Orthogonal Polynomials , NIST Handbook of Mathematical Functions, Cambridge University Press, ISBN 978-0521192255