Подвійний маятник складається з двох маятників скріплених кінцем до кінця У фізиці і математиці , у галузі динамічних систем , подвійний маятник це маятник з іншим маятником прикріпленим до його кінця, і є простою фізичною системою , яка проявляє різноманітну динамічну поведінку зі значною залежністю від початкових умов.[1] Рух маятника керується пов'язаними звичайними диференціальними рівняннями . Для деяких енергій його рух є хаотичним .
Можна розглядати декілька варіантів подвійних маятників; два члени можуть бути однакові чи різні завдовжки та за вагою, вони можуть бути простими маятниками або фізичними маятниками і рух може бути у трьох вимірах або обмежений вертикальною площиною. В наступному аналізі, члени обрані як однакові фізичні маятники довжини ℓ {\displaystyle \ell } і маси m {\displaystyle m} , і рух обмежений двома вимірами.
Подвійний фізичний маятник У фізичного маятника, маса розподілена вздовж усієї його довжини. Якщо маса розподілена рівномірно, тоді центр мас кожного члена збігається з його геометричним центром, і член має такий момент інерції I = 1 12 m ℓ 2 {\displaystyle \textstyle I={\frac {1}{12}}m\ell ^{2}} щодо цієї точки.
Це зручно використовувати кути між кожним членом і вертикаллю як узагальнені координати визначаючи простір конфігурацій системи. Якщо покласти початок координат декартової системи координат у точці підвішування першого маятника, тоді центр мас цього маятника перебуває в:
x 1 = ℓ 2 sin θ 1 , {\displaystyle x_{1}={\frac {\ell }{2}}\sin \theta _{1},} y 1 = − ℓ 2 cos θ 1 {\displaystyle y_{1}=-{\frac {\ell }{2}}\cos \theta _{1}} і центр мас другого в
x 2 = ℓ ( sin θ 1 + 1 2 sin θ 2 ) , {\displaystyle x_{2}=\ell \left(\sin \theta _{1}+{\frac {1}{2}}\sin \theta _{2}\right),} y 2 = − ℓ ( cos θ 1 + 1 2 cos θ 2 ) . {\displaystyle y_{2}=-\ell \left(\cos \theta _{1}+{\frac {1}{2}}\cos \theta _{2}\right).} Цієї інформації достатньо, щоб записати Лагранжіан.
Лагранжіан є різницею між кінетичною енергією і потенціальною енергією :
L = 1 2 m ( v 1 2 + v 2 2 ) + 1 2 I ( θ ˙ 1 2 + θ ˙ 2 2 ) − m g ( y 1 + y 2 ) = 1 2 m ( x ˙ 1 2 + y ˙ 1 2 + x ˙ 2 2 + y ˙ 2 2 ) + 1 2 I ( θ ˙ 1 2 + θ ˙ 2 2 ) − m g ( y 1 + y 2 ) {\displaystyle {\begin{aligned}L&={\frac {1}{2}}m\left(v_{1}^{2}+v_{2}^{2}\right)+{\frac {1}{2}}I\left({{\dot {\theta }}_{1}}^{2}+{{\dot {\theta }}_{2}}^{2}\right)-mg\left(y_{1}+y_{2}\right)\\&={\frac {1}{2}}m\left({{\dot {x}}_{1}}^{2}+{{\dot {y}}_{1}}^{2}+{{\dot {x}}_{2}}^{2}+{{\dot {y}}_{2}}^{2}\right)+{\frac {1}{2}}I\left({{\dot {\theta }}_{1}}^{2}+{{\dot {\theta }}_{2}}^{2}\right)-mg\left(y_{1}+y_{2}\right)\end{aligned}}} Перший доданок це лінійна кінетична енергія центру мас тіл і другий доданок це обертова кінетична енергія центрів мас кожного стрижня. Останній доданок це потенціальна енергія тіл у однорідному гравітаційному полі.
Підставляючи координати і перегруповуючи рівняння маємо
L = 1 6 m ℓ 2 [ θ ˙ 2 2 + 4 θ ˙ 1 2 + 3 θ ˙ 1 θ ˙ 2 cos ( θ 1 − θ 2 ) ] + 1 2 m g ℓ ( 3 cos θ 1 + cos θ 2 ) . {\displaystyle L={\frac {1}{6}}m\ell ^{2}\left[{{\dot {\theta }}_{2}}^{2}+4{{\dot {\theta }}_{1}}^{2}+3{{\dot {\theta }}_{1}}{{\dot {\theta }}_{2}}\cos(\theta _{1}-\theta _{2})\right]+{\frac {1}{2}}mg\ell \left(3\cos \theta _{1}+\cos \theta _{2}\right).} Рух подвійного фізичного маятника (з чисельного інтегрування рівняння руху) Траєкторії подвійного маятника При великій витримці, подвійний маятник проявляє хаотичний рух (відстежено за допомогою світлодіодів ) Тут відбувається збереження лише однієї величини (енергії), і не збережений узагальнений імпульс . Два імпульси можна записати як
p θ 1 = ∂ L ∂ θ ˙ 1 = 1 6 m ℓ 2 [ 8 θ ˙ 1 + 3 θ ˙ 2 cos ( θ 1 − θ 2 ) ] {\displaystyle p_{\theta _{1}}={\frac {\partial L}{\partial {{\dot {\theta }}_{1}}}}={\frac {1}{6}}m\ell ^{2}\left[8{{\dot {\theta }}_{1}}+3{{\dot {\theta }}_{2}}\cos(\theta _{1}-\theta _{2})\right]} і
p θ 2 = ∂ L ∂ θ ˙ 2 = 1 6 m ℓ 2 [ 2 θ ˙ 2 + 3 θ ˙ 1 cos ( θ 1 − θ 2 ) ] . {\displaystyle p_{\theta _{2}}={\frac {\partial L}{\partial {{\dot {\theta }}_{2}}}}={\frac {1}{6}}m\ell ^{2}\left[2{{\dot {\theta }}_{2}}+3{{\dot {\theta }}_{1}}\cos(\theta _{1}-\theta _{2})\right].} Ці вирази можна обернути, щоб отримати
θ ˙ 1 = 6 m ℓ 2 2 p θ 1 − 3 cos ( θ 1 − θ 2 ) p θ 2 16 − 9 cos 2 ( θ 1 − θ 2 ) {\displaystyle {{\dot {\theta }}_{1}}={\frac {6}{m\ell ^{2}}}{\frac {2p_{\theta _{1}}-3\cos(\theta _{1}-\theta _{2})p_{\theta _{2}}}{16-9\cos ^{2}(\theta _{1}-\theta _{2})}}} і
θ ˙ 2 = 6 m ℓ 2 8 p θ 2 − 3 cos ( θ 1 − θ 2 ) p θ 1 16 − 9 cos 2 ( θ 1 − θ 2 ) . {\displaystyle {{\dot {\theta }}_{2}}={\frac {6}{m\ell ^{2}}}{\frac {8p_{\theta _{2}}-3\cos(\theta _{1}-\theta _{2})p_{\theta _{1}}}{16-9\cos ^{2}(\theta _{1}-\theta _{2})}}.} Решта рівнянь руху можна записати як
p ˙ θ 1 = ∂ L ∂ θ 1 = − 1 2 m ℓ 2 [ θ ˙ 1 θ ˙ 2 sin ( θ 1 − θ 2 ) + 3 g ℓ sin θ 1 ] {\displaystyle {{\dot {p}}_{\theta _{1}}}={\frac {\partial L}{\partial \theta _{1}}}=-{\frac {1}{2}}m\ell ^{2}\left[{{\dot {\theta }}_{1}}{{\dot {\theta }}_{2}}\sin(\theta _{1}-\theta _{2})+3{\frac {g}{\ell }}\sin \theta _{1}\right]} і
p ˙ θ 2 = ∂ L ∂ θ 2 = − 1 2 m ℓ 2 [ − θ ˙ 1 θ ˙ 2 sin ( θ 1 − θ 2 ) + g ℓ sin θ 2 ] . {\displaystyle {{\dot {p}}_{\theta _{2}}}={\frac {\partial L}{\partial \theta _{2}}}=-{\frac {1}{2}}m\ell ^{2}\left[-{{\dot {\theta }}_{1}}{{\dot {\theta }}_{2}}\sin(\theta _{1}-\theta _{2})+{\frac {g}{\ell }}\sin \theta _{2}\right].} Останні чотири рівняння є явними формулами для часової еволюції системи із заданим поточним станом. Це не виявляється можливим просунутись далі і інтегрувати ці рівняння аналітично, щоб отримати формули для θ1 і θ2 як функції від часу. Однак, можливо виконати числове інтегрування використовуючи метод Рунге — Кутти або подібну техніку.
↑ Levien RB and Tan SM. Double Pendulum: An experiment in chaos.American Journal of Physics 1993; 61 (11): 1038