Повна категорія

Категорія називається повною у малому, якщо у ній будь-яка (мала) діаграма має границю. Дуальне поняття — коповна у малому категорія, тобто та, у якій будь-яка мала діаграма має кограницю. Аналогічно визначається кінцева повнота і взагалі α-повнота для будь-якого регулярного кардинала α. З них усіх найбільш використовуваною є повнота у малому, тому категорії, повні у малому, називаються просто повними. Відзначимо, що це не означає існування границь взагалі усіх (не обов'язково малих) діаграм, бо така категорія з необхідністю була б передпорядком.

Категорія, яка є одночасно повною і коповною, називається біповною.

• Наступні категорії біповні:
  • категорія множин ${\displaystyle {\mathcal {S}}et}$;
  • категорія груп ${\displaystyle {\mathcal {G}}rp}$;
  • категорія кілець ${\displaystyle {\mathcal {R}}ing}$;
  • категорія абелевих груп ${\displaystyle {\mathcal {A}}b}$;
  • категорія топологічних просторів ${\displaystyle {\mathcal {T}}op}$;
  • категорія компактних хаусдорфових просторів ${\displaystyle {\mathcal {C}}omp{\mathcal {H}}}$;
  • категорія малих категорій ${\displaystyle {\mathcal {C}}at}$;
• Наступні категорії скінченно біповні, але не є повними або коповними:
  • категорія скінченних множин ${\displaystyle f{S}et}$;
  • категорія скінченновимірних векторних просторів над полем ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle fd-{\mathcal {V}}ect_{K}}$;
  • категорія скінченних груп ${\displaystyle f{\mathcal {G}}rp}$;
• Взагалі, якщо ${\displaystyle \mathrm {Mod} _{\mathcal {T}}}$ — категорія моделей деякої алгебраїчної теорії ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$, то ${\displaystyle \mathrm {Mod} _{\mathcal {T}}}$ повна і коповна, так як вона рефлективна у ${\displaystyle \mathrm {Func} ({\mathcal {T}},{\mathcal {S}}et)}$. Нагадаємо, що алгебраїчна теорія допускає лише умову на операції, які є тотожностями (жодних кванторів!). Скажімо, категорія полів не є категорією моделей алгебраїчної теорії, тому попереднє твердження до неї незастосовне. Вона не є повною або коповною.
• (теорема про границю з параметром) Якщо категорія ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ повна (коповна), то категорія ${\displaystyle \mathrm {Func} ({\mathcal {A}},{\mathcal {C}})}$ повна (коповна) для будь-якої категорії ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$, при чому границі обраховуються поточково.
• Передпорядок повний, якщо у ньому існує найбільший елемент і будь-яка множина елементів має точну верхню грань. Аналогічно, він коповний, якщо має найменший елемент і будь-яка множина елементів має точну нижню грань.
• Категорія метричних просторів ${\displaystyle {\mathcal {M}}etr}$ скінченно повна, але не є повною і не має навіть скінченних кодобутків.

• Якщо у категорії існує термінальний об'єкт, будь-яка пара паралельних морфізмів ${\displaystyle f,g:a\to b}$ має урівнювач і для будь-яких двох об'єктів існує добуток, то категорія є скінченно повною. Якщо крім того інсують усі малі добутки об'єктів, то категорія повна у малому.
• Дуально, якщо у категорії існує початковий об'єкт, для будь-яких двох паралельних морфізмів існує коурівнювач та існує [кодобуток]] усіх пар об'єктів, то категорія є скінченно коповною.
• (Фрейд) Якщо мала категорія повна у малому, то вона є передпорядком.
• Якщо категорія ${\displaystyle C}$ повна у малому, то для будь-якої малої категорії ${\displaystyle A}$ будь-який функтор ${\displaystyle F\colon A\to C}$ має праве розширення Кана ${\displaystyle \mathrm {Ran} _{K}F}$ за будь-яким функтором ${\displaystyle K\colon A\to B}$, при чому будь-яке таке розширення Кана є поточковим. Твердження явно випливає з подання поточкового розширення Кана як границі.

• С. Маклейн Категории для работающего математика, — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. — 352 с — ISBN 5-9221-0400-4.
• Р. Голдблатт Топосы. Категорный анализ логики, — М.: Мир, 1983. — 487 с.
• F. Borceux. Handbook of Categorical Algebra 1. Basic Category Theory. — Encyclopaedia of Mathematics and its Applications. — Cambridge : Cambridge University Press, 1994. — Т. 1. — 345 p. — ISBN 0 521 44178 1.