Площа круга

У геометрії, площа, що замикає коло радіусом $r$ дорівнює $π r 2$ . У цій формулі грецька літера $π$ є математичною сталою, що приблизно дорівнює числу 3,14159…, і яке дорівнює відношенню довжини окружності кола до його діаметра.

Одним із методів отримання цієї формули, що бере початок із роботи Архімеда, у якій коло розглядається як границя послідовності правильних багатокутників. Площа правильного багатокутника дорівнює половині його периметру помноженого на відстань від його центру до сторін, а відповідна формула (що площа є половиною периметру помноженого на радіус, тобто. $1 ⁄ 2 \times 2 π r \times r$ ) полягає в знаходженні границі для кола.

Хоча, часто в не формальному контексті вживають вислів площа кола, строго кажучи до внутрішньої частини кола вживають термін круг (диск), у той час як коло це лише межа описана довкола, і яка по суті є кривою, що не займає ніякої власної площі. Тому, площа круга є більш точним висловом, якщо йдеться про площу, що обмежена колом.

Історія[ред. | ред. код]

Сучасні математики можуть отримати площу за допомогою методів інтегральних обчислень або з складнішої гілки цих методів, аналізу функцій дійсних змінних. Однак, площу круга вивчали в Стародавній Греції. Евдокс Кнідський у V столітті до н. е. знайшов, що площа круга є пропорційна квадрату його радіуса.^[1] Архімед у своїй книзі Вимірювання кола^[en] використовував засоби евклідової геометрії аби показати, що площа в середині кола, дорівнює площі прямокутного трикутника основа якого має довжину, що дорівнює окружності кола і висоту, що дорівнює його радіусу. Довжина окружності дорівнює 2 $π$ r, а площа трикутника є половиною добутку довжини основи трикутника на висоту, що в результаті дорівнює площі круга $π$ r².

Історія аргументування[ред. | ред. код]

Різні докази історично використовували аби встановити рівняння $A=\pi r^{2}$ із різною ступеня математичної строгості. Найвідоміший з них є архімедовий метод вичерпування, що є одним із ранніх використань математичного поняття границі, а також основою Аксіоми Архімеда, що залишається частиною стандартного аналітичного пояснення системи дійсних чисел. Оригінальний доказ, який робив Архімед не є настільки суворим за сучасними стандартами, оскільки він припускає можливим порівнювати довжину дуги кола до довжини січної і дотичної лінії, і подібними твердженнями про площу, як геометрично очевидне.

Використання багатокутників[ред. | ред. код]

Площа правильного багатокутника є половиною добутку його периметру на апофему. Зі збільшенням кількості сторін правильного багатокутника, він наближується до кола, а апофема наближується до радіуса. Таким чином створюється припущення що площа круга є половиною довжини окружності, що обмежує круг помноженої на його радіус.^[2]

Доказ Архімеда[ред. | ред. код]

Відповідно до архімедових тверджень Archimedes, (c. 260 BCE), порівняємо площу, яка замикається колом, із прямокутним трикутником, основа якого має довжину рівну окружності кола і висоту рівну його радіусу. Якщо площа кола не дорівнює площі трикутника, тоді вона повинна бути або більшою або меншою. Відкидаємо кожен з цих випадків як суперечні, отже, рівність єдиний можливий варіант.

Не більше[ред. | ред. код]

Припустимо, що площа C, яка замикається колом, більша ніж площа T = ¹⁄₂cr трикутника. Тоді нехай E позначає ту площу, що є надлишком. Впишемо в коло квадрат, так, що його чотири кута лежать на колі. Між квадратом і колом існує чотири сегменти. Якщо загальна площа цих областей, G₄, більша ніж E, розділимо кожну дугу навпіл. Між колом і квадратом утворюється вписаний восьмикутник, що утворює вісім сегментів із меншою загальною площею, G₈. Продовжимо розбивати доки площа довкола, G_n, не стане меншою ніж E. Тепер площа вписаного багатокутника, P_n = C − G_n, має бути більшою за площу трикутника.

{\begin{aligned}E&{}=C-T\\&{}>G_{n}\\P_{n}&{}=C-G_{n}\\&{}>C-E\\P_{n}&{}>T\end{aligned}}

Але це приводить до суперечності, що пояснюється наступним чином. Проведемо перпендикуляр із центру кола до середньої точки сторони багатокутника; його довжина, h, менша за радіус кола. Також, нехай кожна сторона багатокутника має довжину s; тоді сума сторін дорівнюватиме, ns, є меншою за окружність кола. Площа багатокутника складається з n рівних трикутників із висотою h і основою s, і таким чином дорівнює ¹⁄₂nhs. Але, оскільки h < r і ns < c, площа багатокутника повинна бути меншою за площу трикутника, ¹⁄₂cr, що є суперечним. Отже, початкове припущення, що C більше за T, є не правильним.

Не менше[ред. | ред. код]

Припустимо, що площа охоплена колом є меншою ніж площа T трикутника. Нехай D задає ту кількість, якої не вистачає. Опишемо квадрат довкола кола, так що середні точки кожної з його граней лежать на колі. Якщо загальна площа областей між колом і квадратом, G₄, є більшою за D, відріжемо кути квадрата за допомогою дотичних до кола аби утворився описаний восьмикутник, і продовжимо відкидати кути доки площа між цим багатокутником і колом не стане меншою ніж D. Площа багатокутника, P_n, повинна бути меншою за T.

{\begin{aligned}D&{}=T-C\\&{}>G_{n}\\P_{n}&{}=C+G_{n}\\&{}<C+D\\P_{n}&{}<T\end{aligned}}

Це, також приводить до суперечності. Оскільки, перпендикуляр до точки, що є серединою кожної із сторін багатокутника є радіусом кола, з довжиною r. А оскільки загальна довжина сторін більша за окружність кола, багатокутник, що складається з n однакових трикутників, має загальну площу більшу за T. Знову маємо суперечність, тому наше припущення, що C може бути меншим за T, є також неправильним.

Таким чином, має залишитися випадок коли площа, окреслена колом, точно дорівнює площі трикутника. Таким чином доказ завершено.

Доказ із перегрупуванням[ред. | ред. код]

Площа кола встановлена перегрупуванням його частин

Відповідно до Сато Мошун (Satō Moshun) (Smith та Mikami, 1914, pp. 130–132) і Леонардо да Вінчі (Beckmann, 1976, p. 19), зможемо використати вписані правильні багатокутники іншим способом. Допустимо ми впишемо у коло шестикутник. Розділимо цей шестикутник на шість трикутників від центру фігури. Два протилежні трикутники обидва є прилеглими до двох спільних діаметрів; перемістимо їх так щоб їх сторони, що дорівнюють радіусу стали прилеглими одна до одної. Тепер вони утворюють паралелограм, і сторони шестикутника тепер утворюють дві протилежні ребра, кожне з яких є основою, s. Два інших ребра є радіусами, а висота дорівнює h (як у доказі Архімеда). Таким чином ми можемо зібрати всі трикутники в один великий паралелограм помістивши відповідні пари одна до одної. Так само ми можемо зробити якщо збільшимо кількість сторін до восьми та так далі. Для багатокутника з 2n сторонами, паралелограм матиме основу з довжиною ns, і висоту h. Зі збільшенням кількості сторін багатокутника, довжина основи паралелограма наближується до половини окружності кола, а його висота наближується до радіуса кола. У граничному значенні, паралелограм стає прямокутником із шириною $π$ r і висотою r.

**Площа одиничного диска шляхом перестановки n-багатокутників.**
багатокутник
n	сторона	основа	висота	площа
4	1,4142136	2,8284271	0,7071068	2,0000000
6	1,0000000	3,0000000	0,8660254	2,5980762
8	0,7653669	3,0614675	0,9238795	2,8284271
10	0,6180340	3,0901699	0,9510565	2,9389263
12	0,5176381	3,1058285	0,9659258	3,0000000
14	0,4450419	3,1152931	0,9749279	3,0371862
16	0,3901806	3,1214452	0,9807853	3,0614675
96	0,0654382	3,1410320	0,9994646	3,1393502
∞	1/∞	$π$	1	$π$

Сучасні доведення[ред. | ред. код]

Існує декілька еквівалентних визначень константи $π$ . Традиційним визначенням у геометрії до появи методів числення є відношення окружності кола до його діаметру:

\pi ={\frac {C}{D}}.

Однак, оскільки визначення окружності кола не є примітивним аналітичним поняттям, таке визначення не підходить до сучасного більш строгого розуміння. Стандартне сучасне визначення $π$ — це значення половини періоду функції синуса (або косинуса). Функцію косинуса можна визначити як степеневий ряд, або як рішення конкретного диференційного рівняння. Це дозволяє уникнути посилання на коло при визначенні $π$ , таким чином твердження про зв'язок числа $π$ із довжиною окружності і площі круга є теоремами, а не визначеннями, що випливають із аналітичного визначення понять таких як «площа» і «окружність».

Аналітичні визначення здебільшого еквівалентні, так як погоджуються з тим, що окружність кола вимірюється як довжина кривої за допомогою інтегралу

C=2\int _{-R}^{R}{\frac {R\,dx}{\sqrt {R^{2}-x^{2}}}}=2R\int _{-1}^{1}{\frac {dx}{\sqrt {1-x^{2}}}}.

Інтеграл вказаний в правій частині виразу є абелевим інтегралом, значення якого є половиною періоду функції синусу, що дорівнює $π$ . Таким чином $C=2\pi R=\pi D$ розглядається правдоподібним як теорема.

Концентричні кільця[ред. | ред. код]

Використання числення, дозволяє розраховувати площу поступовим чином, розділяючи круг на концентричні кільця, за принципом шарів цибулі. Це є методом інтеграції поверхні^[en] в двох вимірах. Для нескінченно тонкого кільця «цибулі» з радіусом t, площа яку воно займає дорівнює 2 $π$ t dt, довжина окружності кільця помножується на його нескінченно малу ширину (можна апроксимувати таке кільце прямокутником із шириною=2 $π$ t і висотою=dt). Таким чином ми отримаємо елементарний інтеграл для диску радіусом r.

{\begin{aligned}\mathrm {Area} (r)&{}=\int _{0}^{r}2\pi t\,dt\\&{}=2\pi \left[{\frac {t^{2}}{2}}\right]_{0}^{r}\\&{}=\pi r^{2}.\end{aligned}}

Строго це виправдано правилом заміщення багатьох змінних в полярних координатах. Тобто, площа задається подвійним інтегралом константної функції 1 здовж самого диску. Якщо диск позначити як D, тоді у полярних координатах подвійний інтеграл буде розраховуватися наступним чином:

{\begin{aligned}\mathrm {Area} (r)&{}=\iint _{D}1\ d(x,y)\\&{}=\iint _{D}t\ dt\ d\theta \\&{}=\int _{0}^{r}\int _{0}^{2\pi }t\ d\theta \ dt\\&{}=\int _{0}^{r}\left[t\theta \right]_{0}^{2\pi }dt\\&{}=\int _{0}^{r}2\pi t\,dt,\\\end{aligned}}

що приводить то того ж результату, який було отримано вище.

Література[ред. | ред. код]

Archimedes (1897), Measurement of a circle, у Heath, T. L. (ред.), The Works of Archimedes, Cambridge University Press
(Originally published by Cambridge University Press, 1897, based on J. L. Heiberg's Greek version.)
Beckmann, Petr (1976), A History of Pi, St. Martin's Griffin, ISBN 978-0-312-38185-1
Gerretsen, J.; Verdenduin, P. (1983), Chapter 8: Polygons and Polyhedra, у H. Behnke; F. Bachmann; K. Fladt; H. Kunle (ред.), Fundamentals of Mathematics, Volume II: Geometry, переклад: S. H. Gould, MIT Press, с. 243—250, ISBN 978-0-262-52094-2
(Originally Grundzüge der Mathematik, Vandenhoeck & Ruprecht, Göttingen, 1971,)
Laczkovich, Miklós (1990), Equidecomposability and discrepancy: A solution to Tarski's circle squaring problem, Journal für die reine und angewandte Mathematik, 404: 77—117, MR 1037431^{[недоступне посилання з 01.07.2017]}
Lange, Serge (1985), The length of the circle, Math! : Encounters with High School Students, Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-96129-3
Smith, David Eugene; Mikami, Yoshio (1914), A history of Japanese mathematics, Chicago: Open Court Publishing, с. 130—132, ISBN 978-0-87548-170-8
Thijsse, J. M. (2006), Computational Physics, Cambridge University Press, с. 273, ISBN 978-0-521-57588-1

Примітки[ред. | ред. код]

↑ Stewart, James (2003). Single variable calculus early transcendentals (вид. 5th.). Toronto ON: Brook/Cole. с. 3. ISBN 0-534-39330-6. However, by indirect reasoning, Eudoxus (fifth century B.C.) used exhaustion to prove the familiar formula for the area of a disk: $A=\pi r^{2},$
↑ Hill, George. Lessons in Geometry: For the Use of Beginners, page 124 (1894).

Посилання[ред. | ред. код]

Area of a Circle Calculator (англ.)
Area enclosed by a circle [Архівовано 4 грудня 2008 у Wayback Machine.] (з інтерактивною анімацією) (англ.)
Science News on Tarski problem [Архівовано 13 квітня 2008 у Wayback Machine.] (англ.)
Calculate disk area on fxSolver [Архівовано 1 грудня 2017 у Wayback Machine.] (англ.)

[1] Stewart, James (2003). Single variable calculus early transcendentals (вид. 5th.). Toronto ON: Brook/Cole. с. 3. ISBN 0-534-39330-6. However, by indirect reasoning, Eudoxus (fifth century B.C.) used exhaustion to prove the familiar formula for the area of a disk: $A=\pi r^{2},$

[2] Hill, George. Lessons in Geometry: For the Use of Beginners, page 124 (1894).

[1]

[2]