Періодична функція

Періоди́чна фу́нкція ― функція, яка повторює свої значення через деякий ненульовий період, тобто не змінює свого значення при додаванні до аргумента фіксованого ненульового числа (періоду).

Означення[ред. | ред. код]

Нехай ${\displaystyle M}$ — абелева група (зазвичай вважається, що ${\displaystyle M=(\mathbb {R} ,+)}$ — дійсні числа з операцією додавання або ${\displaystyle (\mathbb {C} ,+)}$ — комплексні числа). Функція ${\displaystyle \ f:M\to N}$ називається періодичною з пері́одом ${\displaystyle \ T\neq 0}$ , якщо виконується

${\displaystyle f(x+T)=f(x-T)=f(x),\quad \forall x\in M}$.

Якщо ця рівність не виконується для всіх ${\displaystyle T\in M,\,T\not =0}$ , то функція ${\displaystyle f}$ називається аперіоди́чною.

Якщо для функції ${\displaystyle f:\mathbb {C} \to N}$ існують два періоди ${\displaystyle T_{1},T_{2}\not =0}$, відношення яких не рівне дійсному числу, тобто є ${\displaystyle {\frac {T_{1}}{T_{2}}}\not \in \mathbb {R} }$, то ${\displaystyle f}$ називається двоперіоди́чною фу́нкцією. В цьому випадку значення ${\displaystyle f}$ на всій площині визначаються значеннями в паралелограмі, натягнутому на ${\displaystyle T_{1},T_{2}}$.

Примітка[ред. | ред. код]

Період функції визначається неоднозначно. Так, якщо ${\displaystyle T}$ — період, то і довільний елемент ${\displaystyle T'}$ вигляду ${\displaystyle T'=\underbrace {T+\cdots +T} _{n}}$ , де ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ — довільне натуральне число, теж є періодом.

Але якщо серед множини періодів ${\displaystyle \{T,T>0,T\in \mathbb {R} \}}$ є найменше значення, то воно називається головним (або основним) періодом функції.

Дії над періодичними функціями[ред. | ред. код]

Виконуються наступні твердження стосовно суми періодичних функцій:

• Сума двох функцій зі співрозмірними (тобто, такими, що їх відношення є раціональним числом) періодами ${\displaystyle T_{1}}$ і ${\displaystyle T_{2}}$ є функцією з основним періодом НСК${\displaystyle (T_{1},T_{2})}$.
• Сума двох функцій із неспіврозмірними періодами є неперіодичною функцією.
• Не існує періодичних функцій, не рівних константі, у яких періодами є неспіврозмірні числа.

Приклади[ред. | ред. код]

• Дійсні функції синус і косинус є періодичними з основним періодом ${\displaystyle 2\pi }$ , оскільки

${\displaystyle \sin(x+2\pi )=\sin x,\;\cos(x+2\pi )=\cos x,\quad \forall x\in \mathbb {R} .}$

• Функція рівна константі ${\displaystyle f(x)=\mathrm {const} }$ є періодичною, і довільне дійсне число є її періодом. Головного періоду вона не має.

• Функція ${\displaystyle f(x)=x^{2},\;x\in \mathbb {R} }$ є аперіодичною.

Див. також[ред. | ред. код]

• Майже періодична функція
• Ряд Фур'є
• Коливання
• Гармонічний аналіз

Посилання[ред. | ред. код]

• Функція періодична // Універсальний словник-енциклопедія. — 4-те вид. — К. : Тека, 2006.
• Вирченко Н. А., Ляшко И. И., Швецов К. И. Графики функций : справочник. — К. : Наукова думка, 1979. — С. 18—20.(рос.)
• Періодичні функції на MathWorld [Архівовано 26 лютого 2020 у Wayback Machine.]

Ця стаття потребує додаткових посилань на джерела для поліпшення її перевірності. Будь ласка, допоможіть удосконалити цю статтю, додавши посилання на надійні (авторитетні) джерела. Зверніться на сторінку обговорення за поясненнями та допоможіть виправити недоліки. Матеріал без джерел може бути піддано сумніву та вилучено. (лютий 2016)

Це незавершена стаття з математики. Ви можете допомогти проєкту, виправивши або дописавши її.