Перетворення Гільберта

Перетворення Гільберта
Названо на честь	Давид Гільберт
Підтримується Вікіпроєктом	Вікіпедія:Проєкт:Математика
Перетворення Гільберта у Вікісховищі

У математиці та при обробці сигналів перетворення Гільберта — специфічний лінійний оператор, який функцію ${\displaystyle u(t)}$ дійсної змінної відображає в іншу функцію дійсної змінної ${\displaystyle H(u)(t)}$. Такий лінійний оператор визначається згорткою з функцією ${\displaystyle {\dfrac {1}{\pi t}}}$ (див. нижче Означення). Перетворення Гільберта має особливо просте представлення в частотній області: воно визначає фазовий зсув на ${\displaystyle \pm 90^{\circ }}$ (${\displaystyle {\dfrac {\pi }{2}}}$ радіан) для кожного частотного компоненту функції, при цьому знак зсуву залежить від знаку частоти (див. нижче Зв'язок з перетвореннями Фур'є). Перетворення Гільберта важливе для обробки сигналів, де воно є компонентою аналітичного представлення^[en] дійснозначного сигналу ${\displaystyle u(t)}$. Перетворення Гільберта було вперше введено Давидом Гільбертом у такій постановці при розв'язанні частинного випадку задачі Рімана—Гільберта^[en] для аналітичних функцій.

Перетворення Гільберта функції ${\displaystyle u}$ можна розглядати як згортку функції ${\displaystyle u(t)}$ з функцією ${\displaystyle h(t)={\dfrac {1}{\pi t}}}$, відомою як ядро Коші. Оскільки функція ${\displaystyle {\dfrac {1}{t}}}$ неінтегрована в околі ${\displaystyle t=0}$, то інтеграл, який визначає згортку, не завжди є збіжним. Замість цього, перетворення Гільберта визначається з використанням головного значення інтеграла за Коші (яке позначається тут як ${\displaystyle \operatorname {p.v.} }$). У явному вигляді, перетворення Гільберта функції (чи сигналу) ${\displaystyle u(t))}$ визначається як

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {H} (u)(t)={\frac {1}{\pi }}\operatorname {p.v.} \int _{-\infty }^{+\infty }{\frac {u(\tau )}{t-\tau }}\,{\rm {d}}\tau ,\end{aligned}}}$

за умови, що цей інтеграл існує у сенсі головного значення. Це і є в точності згортка функції ${\displaystyle u}$ із помірним розподілом ${\displaystyle \operatorname {p.v.} {\frac {1}{\pi m}}}$.^[1] Також, за допомогою заміни змінних, головне значення інтеграла за Коші можна записати явно як ^[2]

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {H} (u)(t)={-{\frac {1}{\pi }}}\lim _{\varepsilon \to 0}\int _{\varepsilon }^{\infty }{\frac {u(t+\tau )-u(t-\tau )}{\tau }}\,{\rm {d}}\tau .\end{aligned}}}$

Якщо перетворення Гільберта послідовно двічі застосувати до функції ${\displaystyle u}$, то в результаті функція ${\displaystyle u}$ змінює знак:

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {H} (\operatorname {H} (u))(t)=-u(t),\end{aligned}}}$

за умови, що інтеграли в обох ітерації є збіжними у відповідному сенсі. Зокрема, оберненим перетворенням є ${\displaystyle -\operatorname {H} }$. Цей факт найлегше побачити, розглянувши дію перетворення Гільберта на перетворення Фур'є функції ${\displaystyle u(t)}$ (див. нижче Зв'язок з перетворенням Фур'є).

Для аналітичної функції у верхній півплощині, перетворення Гільберта описує зв'язок між дійсною та уявною частинами граничних значень. Тобто, якщо функція ${\displaystyle f(z)}$ є аналітичною у верхній півплощині комплексної площини ${\displaystyle \{z\colon \operatorname {Im} \{z\}>0\}}$ і ${\displaystyle u(t)=\operatorname {Re} \{f(t+0{\rm {i}})\})}$, то ${\displaystyle \operatorname {Im} \{f(t+0{\rm {i}})\}=\operatorname {H} (u)(t)}$ з точністю до адитивної константи, за умови, що перетворення Гільберта існує.

У теорії обробки сигналів перетворення Гільберта функції ${\displaystyle u(t)}$ зазвичай позначають як ${\displaystyle {\hat {u}}(t)}$.^[3] Проте в математиці це позначення вже широко використовують для перетворення Фур'є функції ${\displaystyle u(t)}$. Інколи для перетворення Гільберта використовують позначення ${\displaystyle {\tilde {u}}(t)}$.^[4] Крім того, багато джерел визначають перетворення Гільберта як від'ємне до одного з визначених тут.^[5]

Перетворення Гільберта виникло у 1905 році в роботі Гільберта про проблему Рімана щодо аналітичних функцій,^[6][7] яка стала відома як задача Рімана—Гільберта^[en]. Робота Гільберта в основному стосується перетворення Гільберта для функцій, що визначені на колі.^[8][9] Деякі з його попередніх робіт, що пов'язані з дискретним перетворенням Гільберта, базуються на лекціях, які він читав в Геттінгені. Ці результати пізніше були опубліковані у дисертації ^[10] Германа Вейля. Шур покращив результати Гільберта про дискретне перетворення Гільберта і розширив їх на інтегральний випадок.^[11] Ці результати були послаблені для просторів ${\displaystyle L^{2}}$ та ${\displaystyle l^{2}}$. В 1928 році Марсель Ріс^[en] довів, що перетворення Гільберта можна визначити для функції ${\displaystyle u}$ у просторі ${\displaystyle L^{p}(\mathbb {R} )}$ при ${\displaystyle 1<p<\infty }$. Ріс також довів, що перетворення Гільберта є обмеженим оператором у просторі ${\displaystyle L^{p}(\mathbb {R} )}$ при ${\displaystyle 1<p<\infty )}$, і, що аналогічні результати справедливі для перетворення Гільберта на колі, а також для дискретного перетворення Гільберта.^[12] Перетворення Гільберта було мотиваційним прикладом для Антонія Зигмунда та Альберта Кальдерона^[en] при дослідженні синулярних інтегралів^[en][13]. Ці дослідження зіграли фундаментальну роль в сучасному гармонійному аналізі. Різноманітні узагальнення перетворень Гільберта, такі як білінійне і трилінійне перетворення, і сьогодні залишаються активними областями досліджень.

Перетворення Гільберта — це оператор множення.^[14] Множником оператора ${\displaystyle \operatorname {H} }$ є ${\displaystyle \sigma _{\rm {H}}=-{\rm {i}}\operatorname {sgn} (\omega )}$, де ${\displaystyle \operatorname {sgn} }$ — це функція знаку. Отже,

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {F}}(\operatorname {H} (u))(t)(\omega )=-{\rm {i}}\operatorname {sgn} (\omega )\cdot {\mathcal {F}}(u)(\omega ),\end{aligned}}}$

де ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ — перетворення Фур'є.Оскільки ${\displaystyle \operatorname {sgn} (x)=\operatorname {sgn} (2\pi x)}$, то цей результат можна використовувати для трьох загально відомих означень для перетворення Фур'є ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$. Згідно з формулою Ейлера

${\displaystyle -i\,\operatorname {sgn} (\omega )={\begin{cases}{\rm {i}}={\rm {e}}^{+{\frac {{\rm {i}}\pi }{2}}},&{\text{при}}\ \omega <0,\\0,&{\text{при}}\ \omega =0,\\-{\rm {i}}={\rm {e}}^{-{\frac {{\rm {i}}\pi }{2}}},&{\text{при}}\ \omega >0.\end{cases}}}$

Таким чином, перетворення Гільберта ${\displaystyle \operatorname {H} (u)(t)}$ має ефект зсуву фази для компонент з від'ємною частотою функції ${\displaystyle u(t)}$ на ${\displaystyle 90^{\circ }}$ (${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}}$) і для компонент з додатною частотою — на ${\displaystyle -90^{\circ }}$, а ${\displaystyle {\rm {i}}\operatorname {H} (u)(t)}$ має ефект відновлення компонент з додатною частотою при зсуві компонент з від'ємною частотою додатково на ${\displaystyle +90^{\circ }}$, що приводить у результаті до зміни знаку (тобто множення на ${\displaystyle -1}$). Якщо перетворення Гільберта застосовується двічі, то фаза для компонент від'ємної та додатної частот функції ${\displaystyle u(t)}$ відповідно зміщуються на ${\displaystyle +180^{\circ }}$ та ${\displaystyle -180^{\circ }}$, які є еквівалентними сумами.Сигнал змінює знак, тобто ${\displaystyle \operatorname {H} (\operatorname {H} (u))=-u}$, оскільки

${\displaystyle {\begin{aligned}(\sigma _{\rm {H}}(\omega ))^{2}=e^{\pm {\rm {i}}\pi }=-1\quad {\text{для}}\quad \omega =0.\end{aligned}}}$

У наступній таблиці, параметр частоти ${\displaystyle \omega }$ — є дійсним.

Сигнал ${\displaystyle u(t)\,}$	Перетворення Гільберта [fn 1] ${\displaystyle H(u)(t)\,}$
${\displaystyle \sin(\omega t)}$ [fn 2]	${\displaystyle {\begin{array}{ll}\sin \left(\omega t-{\dfrac {\pi }{2}}\right),&\omega >0\\\sin \left(\omega t+{\dfrac {\pi }{2}}\right),&\omega <0\end{array}}}$
${\displaystyle \cos(\omega t)}$,[fn 2]	${\displaystyle {\begin{array}{ll}\cos \left(\omega t-{\dfrac {\pi }{2}}\right),&\omega >0\\\cos \left(\omega t+{\dfrac {\pi }{2}}\right),&\omega <0\end{array}}}$
${\displaystyle {\rm {e}}^{{\rm {i}}\omega t}}$	${\displaystyle {\begin{array}{ll}{\rm {e}}^{{\rm {i}}\left(\omega t-{\frac {\pi }{2}}\right)},&\omega >0\\{\rm {e}}^{{\rm {i}}\left(\omega t-{\frac {\pi }{2}}\right)},&\omega >0\end{array}}}$
${\displaystyle {\rm {e}}^{{-{\rm {i}}}\omega t}}$	${\displaystyle {\begin{array}{ll}{\rm {e}}^{{-{\rm {i}}}\left(\omega t-{\frac {\pi }{2}}\right)},&\omega >0\\{\rm {e}}^{{-{\rm {i}}}\left(\omega t-{\frac {\pi }{2}}\right)},&\omega >0\end{array}}}$
${\displaystyle 1 \over t^{2}+1}$	${\displaystyle t \over t^{2}+1}$
Функція sinc ${\displaystyle \sin(t) \over t}$	${\displaystyle 1-\cos(t) \over t}$
Дельта-функція Дірака ${\displaystyle \delta (t)\,}$	${\displaystyle {1 \over \pi t}}$
Характеристична функція ${\displaystyle \chi _{[a,b]}(x)\,}$	${\displaystyle {\frac {1}{\pi }}\ln \left\vert {\frac {x-a}{x-b}}\right\vert \,}$

Примітки

1. ↑ Деякі автори (наприклад, Брейсвелл) використовують оператор ${\displaystyle -\operatorname {H} }$, як означення прямого перетворення. Звідси випливає, що у правому стовпчик цієї таблиці необхідно змінити знак.
2. ↑ ^{а б} Перетворення Гільберта для функцій синуса та косинуса можна визначити, взявши головне значення інтеграла на нескінченності. Таке означення узгоджується з дистрибутивністю означення перетворення Гільберта.

Доступна ^[15] достатньо велика таблиця перетворень Гільберта. Зауважимо, що перетворення Гільберта для константи дорівнює нулю

Зовсім не очевидно, що перетворення Гільберта взагалі є добре визначеним, оскільки відповідний невласний інтеграл має збігатися у відповідному сенсі. Проте перетворення Гільберта добре визначене для широкого класу функцій, а саме у просторі ${\displaystyle L^{p}(\mathbb {R} )}$, ${\displaystyle 1<p<\infty }$.

Точніше, якщо функція ${\displaystyle u}$ з простору ${\displaystyle L^{p}(\mathbb {R} )}$, ${\displaystyle 1<p<\infty }$, тоді границя, що визначає цей невласний інтеграл

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {H} (u)(t)={-{\frac {1}{\pi }}}\lim _{\varepsilon \to 0}\int _{\varepsilon }^{\infty }{\frac {u(t+\tau )-u(t-\tau )}{\tau }}\,{\rm {d}}\tau ,\end{aligned}}}$

існує для майже всіх ${\displaystyle t}$. Границя функції також існує в просторі ${\displaystyle L^{p}(\mathbb {R} )}$ і фактично є границею в середньому для невласного інтеграла. А саме

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {H} (u)(t)={-{\frac {1}{\pi }}}\lim _{\varepsilon \to 0}\int _{\varepsilon }^{\infty }{\frac {u(t+\tau )-u(t-\tau )}{\tau }}\,{\rm {d}}\tau \rightarrow \operatorname {H} (u)(t),\end{aligned}}}$

у нормі ${\displaystyle L^{p}}$ при ${\displaystyle \varepsilon \rightarrow 0}$. Збіжність є поточковою майже всюди за теоремою Тітчмарша.^[16]

У випадку ${\displaystyle p=1}$ перетворення Гільберта все ще збігається поточково майже всюди, але саме по собі може бути неінтегровним, навіть локально.^[17] Зокрема, збіжність у середньому, у цьому випадку загалом негарантоване. Перетворення Гільберта для функції з ${\displaystyle L^{1}}$ є збіжним, але ${\displaystyle L^{1}}$ — у слабкому сенсі, і перетворення Гільберта є обмеженим оператором з простору ${\displaystyle L^{1}}$ у простір ${\displaystyle L^{1,w}}$.^[18] (Зокрема, оскільки перетворення Гільберта також є оператором множення в просторі ${\displaystyle L^{2}}$, то інтерполяційна теорема Марцинкевича та аргумент дуальності надають альтернативне доведення того, що оператор ${\displaystyle \operatorname {H} }$ є обмеженим у просторі ${\displaystyle L^{p}}$.)

Якщо ${\displaystyle 1<p<\infty }$, то перетворення Гільберта в просторі ${\displaystyle L^{p}(\mathbb {R} )}$ є обмеженим лінійним оператором, тобто існує константа ${\displaystyle C_{p}}$ така, що

${\displaystyle {\begin{aligned}\|\operatorname {H} u\|_{p}\leq C_{p}\|u\|_{p},\end{aligned}}}$

для всіх ${\displaystyle u\in L^{p}(\mathbb {R} )}$.^[19] Найкраще константа ${\displaystyle C_{p}}$^[19] визначається як ^[20]

${\displaystyle C_{p}={\begin{cases}\operatorname {tg} {\dfrac {\pi }{2p}},&{\text{якщо}}~1<p\leq 2,\\\operatorname {ctg} {\dfrac {\pi }{2p}},&{\text{якщо}}~2<p<\infty .\end{cases}}}$

Найпростіший спосіб знаходження найкращої константи ${\displaystyle C_{p}}$ для ${\displaystyle p}$, яке є степенем ${\displaystyle 2}$, через так звану рівність Котлара

${\displaystyle {\begin{aligned}(\operatorname {H} f)^{2}=f^{2}+2\operatorname {H} (f\operatorname {H} f)\end{aligned}}}$

для всіх дійснозначних функцій ${\displaystyle f}$. Ті самі найкращі константи мають місце для періодичного перетворення Гільберта.

З обмеженості перетворення Гільберта випливає ${\displaystyle L^{p}(\mathbb {R} )}$ збіжність симетричного оператора частинної суми

${\displaystyle {\begin{aligned}S_{R}f=\int \limits _{-R}^{R}{\hat {f}}(\xi ){\rm {e}}^{2\pi {\rm {i}}x\xi }{\rm {d}}\xi \end{aligned}}}$

для функції ${\displaystyle f}$ з простору ${\displaystyle L^{p}(\mathbb {R} )}$.^[21]

Перетворення Гільберта є антисамоспряженим^[en] оператором відносно дуального утворення пар між простором ${\displaystyle L^{p}(\mathbb {R} )}$ та дуальним простором ${\displaystyle L^{q}(\mathbb {R} )}$, де ${\displaystyle p}$ та ${\displaystyle q}$ — спряжені за Гельдером і ${\displaystyle 1<p}$, ${\displaystyle q<\infty }$. У символьній формі

${\displaystyle {\begin{aligned}\left\langle \operatorname {H} u,v\right\rangle =\left\langle u,-\operatorname {H} v\right\rangle \end{aligned}}}$

для ${\displaystyle u\in L^{p}(\mathbb {R} )}$ та ${\displaystyle v\in L^{q}(\mathbb {R} )}$.^[22]

Перетворення Гільберта є антиінволюцією^[23], тобто

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {H} (\operatorname {H} (u))=-u\end{aligned}}}$

за умови, що кожне перетворення є добре визначеним. Оскільки оператор ${\displaystyle \operatorname {H} }$ зберігає простір ${\displaystyle L^{p}(\mathbb {R} )}$, то перетворення Гільберта є оборотне в просторі ${\displaystyle L^{p}(\mathbb {R} )}$ і

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {H} ^{-1}=-\operatorname {H} .\end{aligned}}}$

Оскільки ${\displaystyle \operatorname {H} ^{2}=-\operatorname {I} }$ (${\displaystyle \operatorname {I} }$ — тотожний оператор у дійсному банаховому просторі дійснозначних функцій у просторі ${\displaystyle L^{p}(\mathbb {R} )}$, то перетворення Гільберта визначає лінійну комплексну структуру^[en] в банаховому просторі. Зокрема, при ${\displaystyle p=2}$ перетворення Гільберта надає гільбертовому простору дійснозначних функцій в просторі ${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} )}$ структуру \emph{комплексного} гільбертового простору.

Квантові стани (зокрема, комплексні) перетворення Гільберта допускають за теоремою Пелі—Вінера^[en] представлення у вигляді голоморфних функцій у верхній та в нижній півплощинах у просторі Гарді ${\displaystyle \operatorname {H} ^{2}}$^[en].

Перетворення Гільберта можна формально реалізувати як згортку з узагальненою функцією повільного росту^[24]

${\displaystyle {\begin{aligned}h(t)=\operatorname {p.v.} {\frac {1}{\pi \,t}}.\end{aligned}}}$

Таким чином, формально можна записати

${\displaystyle \operatorname {H} (u)=h*u.}$

Однак, апріорі можна визначити лише для узагальненої функції ${\displaystyle u}$ з компактним носієм. З цим можна працювати дещо строгіше, оскільки функції з компактними носіями(які очевидно є узагальненими) є щільними в просторі ${\displaystyle L^{p}}$. Як альтернативу можна використати той факт, що ${\displaystyle h(t)}$ є узагальненою похідною від функції ${\displaystyle \log {\dfrac {|t|}{\pi }}}$, а саме

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {H} (u)(t)={\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}t}}\left({\frac {1}{\pi }}\left(u*\log {\bigl |}\cdot {\bigr |}\right)(t)\right).\end{aligned}}}$

Для більшості обчислювальних задач Перетворення Гільберта можна розглядати як згортку. Наприклад, у формальному сенсі перетворення Гільберта згортки — це згортка перетворення Гільберта, що застосована лише до одного з множників:

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {H} (u*v)=\operatorname {H} (u)*v=u*\operatorname {H} (v).\end{aligned}}}$

Це строго коректно, якщо ${\displaystyle u}$ і ${\displaystyle v}$ — це узагальнені функції з компактними носіями, оскільки в цьому випадку

${\displaystyle {\begin{aligned}h*(u*v)=(h*u)*v=u*(h*v).\end{aligned}}}$

Таким чином, переходячи до відповідної границі, з теореми Тічмарша ^[25] випливає також коректність для ${\displaystyle u\in L^{p}}$ і ${\displaystyle v\in L^{q}}$ за умови, що

${\displaystyle {\begin{aligned}1<{\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}.\end{aligned}}}$

У просторі ${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} )}$ перетворення Гільберта має наступні інваріантні властивості:

• Воно комутує зі зсувами, тобто з операторами ${\displaystyle \operatorname {T} _{a}f(x)=f(x+a)}$ для всіх ${\displaystyle \alpha \in \mathbb {R} }$.
• Воно комутує з додатніми розтягами, тобто з операторами ${\displaystyle \operatorname {M} _{\lambda }f(x)=f(\lambda x)}$ для всіх ${\displaystyle \lambda >0}$.
• Воно антикомутує з віддзеркаленням ${\displaystyle Rf(x)=f(-x)}$. Таким чином, з точністю до мультиплікативної константи перетворення Гільберта — це єдиний обмежений оператор у просторі ${\displaystyle L^{2}}$, який володіє вищезгаданими властивостями.^[26] Насправді існує ширша множина операторів, що комутують з перетворенням Гільберта. Група ${\displaystyle {\rm {SL}}(2,\mathbb {R} )}$ дія якої у просторі ${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} )}$ за допомогою унітарних операторів ${\displaystyle \operatorname {U} _{g}}$ визначається формулою

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {U} _{g}^{-1}f(x)={\frac {1}{cx+d}}f\left({\frac {ax+b}{cx+d}}\right),\quad g={\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}},\quad {\text{для}}\quad ad-bc=\pm 1.\end{aligned}}}$

Унітарне представлення^[en] — це приклад головного представлення ряду^[en] групи ${\displaystyle {\rm {SL}}(2,\mathbb {R} )}$. У цьому випадку унітарне представлення є звідним, розщепленим як ортогональна сума два інваріантних підпросторів: простору Гарді ${\displaystyle \operatorname {H} ^{2}}$ і його дуального простору. Це простори ${\displaystyle L^{2}}$ граничних значень голоморфних функцій на верхній та нижній півплощинах. Простір ${\displaystyle H^{2}(\mathbb {R} )}$ і його дуальний простір у точності складаються з функцій простору ${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} )}$, що зануляються перетвореннями Фур'є відповідно на від'ємній та додатній частинах дійсної осі. Оскільки перетворення Гільберта дорівнює оператору ${\displaystyle \operatorname {H} =-{\rm {i}}(2P-\operatorname {I} )}$, де ${\displaystyle P}$ — це ортогональна проєкція з простору ${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} )}$ у простір ${\displaystyle H^{2}(\mathbb {R} )}$, ${\displaystyle \operatorname {I} }$ — тотожний оператор, то з цього випливає, що простір ${\displaystyle H^{2}(\mathbb {R} )}$ і його ортогональний простір є власними просторами оператора ${\displaystyle \operatorname {H} }$ для власних значень ${\displaystyle \pm {\rm {i}}}$. Іншими словами оператор ${\displaystyle \operatorname {H} }$ комутує з унітарним оператором ${\displaystyle \operatorname {U} _{g}}$. Обмеження операторів ${\displaystyle \operatorname {U} _{g}}$ на простір ${\displaystyle H^{2}(\mathbb {R} )}$ і його дуальний простір визначає незвідні представлення групи ${\displaystyle {\rm {SL}}(2,\mathbb {R} )}$ — так названа границя представлень дискретних рядів^[en][27].

Перетворення Гільберта можна узагальнити на деякі простори узагальнених функцій (Pandey, 1996, Chapter 3). Оскільки перетворення Гільберта комутує з диференціюванням і є обмеженим оператором на просторі ${\displaystyle L^{p}}$, то оператор ${\displaystyle \operatorname {H} }$ звужується і отримуємо неперервне перетворення на проєктивній границіпросторів Соболєва:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {D}}_{L^{p}}={\underset {n\to \infty }{\underset {\longleftarrow }{\lim }}}W^{n,p}(\mathbb {R} ).\end{aligned}}}$

Перетворення Гільберта можна визначити в дуальному просторі простору ${\displaystyle {\mathcal {D}}_{L}^{p}}$, позначається як ${\displaystyle {\mathcal {D}}'_{L^{p}}}$ і складається з ${\displaystyle L^{p}}$ узагальнених функцій. Це досягається за допомогою двоїстості: для всіх ${\displaystyle u\in {\mathcal {D}}'_{L^{p}}}$ перетворення Гільберта визначається як

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {H} (u)\in {\mathcal {D}}'={L^{p}}=\langle \operatorname {H} u,v\rangle \ \triangleq \ \langle u,-\operatorname {H} v\rangle ,\quad {\text{для всіх}}\ v\in {\mathcal {D}}_{L^{p}}.\end{aligned}}}$

Перетворення Гільберта можна визначити на просторі узагальнених функцій повільного росту за допомогою підходу Гельфанда і Шилова,^[28] але необхідно значно більше уваги через сингулярність інтегралу.

Перетворення Гільберта можна також визначити для функцій з простору ${\displaystyle L^{\infty }(\mathbb {R} )}$, але це потребує деяких модифікацій та застережень. При правильному розумінні перетворення Гільберта відображає простір ${\displaystyle L^{\infty }(\mathbb {R} )}$ у банаховий простіркласів функцій з обмеженими середніми коливаннями^[en]. При наївній інтерпретації перетворення Гільберта для обмежених функцій очевидно погано визначене. Наприклад, для функції ${\displaystyle u=\operatorname {sgn} (x)}$ інтеграл, що визначає перетворення Гільберта ${\displaystyle \operatorname {H} (u)}$ є розбіжним майже всюди до ${\displaystyle \pm \infty }$. Щоб уникнути таких складнощів, перетворення Гільберта для функцій з простору ${\displaystyle L^{\infty }}$ визначається наступною регуляризованою інтегральною формулою

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {H} (u)(t)=\operatorname {p.v.} \int _{-\infty }^{\infty }u(\tau )\left\{h(t-\tau )-h_{0}(-\tau )\right\}\,{\rm {d}}\tau ,\end{aligned}}}$

де як і вище ${\displaystyle h(x)={\dfrac {1}{\pi x}}}$ і

${\displaystyle {\begin{aligned}h_{0}(x)={\begin{cases}0&{\text{для}}~|x|<1,\\{\dfrac {1}{\pi x}}&{\text{для}}~|x|\geq 1.\end{cases}}\end{aligned}}}$

Модифіковане перетворення Гільберта узгоджується з оригінальним перетворенням Гільберта для функції з компактним носієм виходячи із загального результату Кальдерона і Зигмунда ^[29]. Більше того, розглядуваний інтеграл збігається поточково і майже всюди (відносно норми для функцій з обмеженими середніми коливаннями) до функції з обмеженими середніми коливаннями. Глибокий результат^[en] роботи Вефермана ^[30] полягає в тому, що функція є функцією з обмеженими середніми коливаннями тоді й лише тоді, коли вона має вигляд ${\displaystyle +\operatorname {H} (g)}$ для деяких ${\displaystyle f,g\in L^{\infty }(\mathbb {R} )}$

Перетворення Гільберта можна зрозуміти в термінах пари функцій ${\displaystyle f(x)}$ і ${\displaystyle g(x)}$ таких, що функція

${\displaystyle {\begin{aligned}F(x)=f(x)+{\rm {i}}g(x)\end{aligned}}}$

є розв'язком крайової задачі голоморфної функції ${\displaystyle F(z)}$ у верхній півплощині.^[31] За цих умов, якщо функції ${\displaystyle f}$ і ${\displaystyle g}$ є достатньо інтегровані, тоді одна є перетворенням Гільберта іншої. Нехай ${\displaystyle f\in L^{p}(\mathbb {R} )}$, тоді згідно теорії інтеграла Пуассона, функція ${\displaystyle f}$ допускає єдине гармонічне продовження у верхній півплощині, і це продовження визначається як

${\displaystyle {\begin{aligned}u(x+{\rm {i}}y)=u(x,y)={\frac {1}{\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }f(s){\frac {y}{(x-s)^{2}+y^{2}}}\,{\rm {d}}s,\end{aligned}}}$

тобто згорткою функції ${\displaystyle f}$ з ядром Пуассона

${\displaystyle {\begin{aligned}P(x,y)={\frac {y}{\pi \left(x^{2}+y^{2}\right)}}.\end{aligned}}}$

Більше того, це єдина гармонічна функція ${\displaystyle f}$ визначена у верхній півплощині така, що ${\displaystyle F(z)=u(z)+{\rm {i}}v(z)}$ є голоморфною і

${\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{y\to \infty }v(x+{\rm {i}}y)=0.\end{aligned}}}$

Гармонічна функція отримується з функції ${\displaystyle f}$ за допомогою згортки зі спряженим ядром Пуассона

${\displaystyle {\begin{aligned}Q(x,y)={\frac {x}{\pi \left(x^{2}+y^{2}\right)}}.\end{aligned}}}$

Отже,

${\displaystyle {\begin{aligned}v(x,y)={\frac {1}{\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }f(s){\frac {x-s}{(x-s)^{2}+y^{2}}}\,{\rm {d}}s.\end{aligned}}}$

Справді, дійсна та уявна частини ядра Коші мають вигляд

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\rm {i}}{\pi z}}=P(x,y)+{\rm {i}}Q(x,y).\end{aligned}}}$

Таким чином, ${\displaystyle F=u+{\rm {i}}v}$ є голоморфною за інтегральною формулою Коші. Функція ${\displaystyle v}$ одержана з функції ${\displaystyle u}$ таким чином, називається гармонічно спряженою^[en] до функції ${\displaystyle u}$. (Недотична) границя на межі для функції ${\displaystyle v(x,y)}$ при ${\displaystyle y\rightarrow 0}$ є перетворенням Гільберта функції ${\displaystyle f}$. Таким чином,

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {H} (f)=\lim _{y\to 0}Q(-,y)\star f.\end{aligned}}}$

Теорема Тітчмарша (названа на честь Е.Ч. Тітчмарша^[en], який включив її у свою роботу 1937 року) уточнює зв'язок між граничними значеннями голоморфних функцій у верхній півплощині та перетворенням Гільберта.^[32] Теорема дає необхідні та достатні умови, щоб комплекснозначна квадратично інтегрована^[en] функція ${\displaystyle F(x)}$ на дійсній прямій була граничним значенням функції в просторі Гарді ${\displaystyle H^{2}(U)}$ голоморфних функцій у верхній півплощині ${\displaystyle U}$. Теорема стверджує, що наступні умови для комплекснозначної квадратично інтегрованої функції ${\displaystyle F\colon \mathbb {R} \to \mathbb {C} }$ еквівалентні:

• Функція ${\displaystyle F(x)}$ є границею при ${\displaystyle z\rightarrow x}$ голоморфної функції ${\displaystyle F(z)}$ у верхній півплощині такої, що

${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{-\infty }^{\infty }|F(x+{\rm {i}}y)|^{2}\,{\rm {d}}x<K.\end{aligned}}}$

• Дійсна і уявна частини функції ${\displaystyle F(x)}$ є перетвореннями Гільберта одна одної.
• Перетворення Фур'є ${\displaystyle {\mathcal {F}}(F)(x)}$ дорівнює нулю при ${\displaystyle x<0}$.

Більш слабший результат справедливий для функцій з класу Простір Lp при ${\displaystyle p>1}$^[33]. Зокрема, якщо ${\displaystyle F(z)}$ голоморфна функція така, що

${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{-\infty }^{\infty }|F(x+{\rm {i}}y)|^{p}\,{\rm {d}}x<K\end{aligned}}}$

для всіх ${\displaystyle y}$, то існує комплекснозначна функція ${\displaystyle F(x)}$ з простору ${\displaystyle L^{p}(\mathbb {R} )}$ така, що ${\displaystyle F(x+{\rm {i}}y)\rightarrow F(x)}$ в нормі простору ${\displaystyle L^{p}}$ при ${\displaystyle y\rightarrow 0}$ (а також збігається поточково майже скрізь. Крім того,

${\displaystyle {\begin{aligned}F(x)=f(x)-{\rm {i}}g(x),\end{aligned}}}$

де ${\displaystyle f}$ — це дійснозначна функція в просторі ${\displaystyle L^{p}(\mathbb {R} )}$ і ${\displaystyle g}$ — перетворення Гільберта функції ${\displaystyle f}$ (із класу ${\displaystyle L^{p}}$). Це не вірно у випадку ${\displaystyle p=1}$. Фактично, перетворення Гільберта функції ${\displaystyle f}$ з простору ${\displaystyle L^{1}}$ необов'язково збігається в середньому до іншої функції з простору ${\displaystyle L^{1}}$. Тим не менш,^[34] перетворення Гільберта функції ${\displaystyle f}$ збігається майже всюди до скінченної функції ${\displaystyle g}$ такої, що

${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {|g(x)|^{p}}{1+x^{2}}}\,{\rm {d}}x<\infty .\end{aligned}}}$

Цей результат прямо аналогічний результату Андрія Колмогорова для функцій Гарді на диску.^[35] Хоча цей результат зазвичай називають теоремою Тітчмарша, але він об'єднує багато інших робіт, включаючи роботи Гарді, Пелі і Вінера (див. теорему Пелі—Вінера^[en], а також роботи Ріса, Хілле і Тамаркіна.^[36]

Одне з формулювань задачі Рімана—Гільберта спрямована на знаходження пар функцій ${\displaystyle F_{+}}$ та ${\displaystyle F_{-}}$ таких, що ${\displaystyle F_{+}}$ є голоморфною у верхній півплощині, а ${\displaystyle F_{-}}$ є голоморфною в нижній півплощині, таких, що для значень ${\displaystyle x}$ вздовж дійсної осі має місце співвідношення

${\displaystyle {\begin{aligned}F_{+}(x)-F_{-}(x)=f(x),\end{aligned}}}$

де ${\displaystyle f(x)}$ — деяка задана дійснозначна функція при ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$. Ліву частину цього співвідношення можна розуміти або як різницю границь функцій ${\displaystyle F_{\pm }}$ з відповідних півплощин, або як гіперфункції^[en] розподілу. Дві функції такого вигляду — розв'язки задачі Рімана — Гільберта. Формально, якщо ${\displaystyle F_{\pm }}$ є розв'язками задачі Рімана—Гільберта

${\displaystyle {\begin{aligned}f(x)=F_{+}(x)-F_{-}(x),\end{aligned}}}$

то перетворення Гільберта функції ${\displaystyle f(x)}$ визначається як ^[37]

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {H} (f)(x)=-{\rm {i}}{\big (}F_{+}(x)+F_{-}(x){\big )}.\end{aligned}}}$

Див. також: Простір Гарді Для періодичної функції ${\displaystyle f}$ визначено кругове перетворення Гільберта:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\tilde {f}}(x)\triangleq {\frac {1}{2\pi }}\operatorname {p.v.} \int _{0}^{2\pi }f(t)\operatorname {ctg} \left({\frac {x-t}{2}}\right)\,{\rm {d}}t.\end{aligned}}}$

Кругове перетворення Гільберта використовується для характеристики простору Гарді та для дослідженні спряженої функції в рядах Фур'є. Ядро

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {ctg} \left({\frac {x-t}{2}}\right)\end{aligned}}}$

відоме як ядро Гільберта, оскільки саме у такому вигляді спочатку досліджувалося перетворення Гільберта.^[8] Ядро Гільберта (для кругового перетворення Гільберта) можна отримати, зробивши ядро Коші ${\displaystyle {\dfrac {1}{x}}}$ періодичним. Точніше, для ${\displaystyle x\neq 0}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{2}}\operatorname {ctg} \left({\frac {x}{2}}\right)={\frac {1}{x}}+\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {1}{x+2n\pi }}+{\frac {1}{x-2n\pi }}\right).\end{aligned}}}$

Багато результатів про кругове перетворення Гільберта можна отримати завдяки цьому співвідношенню з відповідних результатів для перетворення Гільберта. Інший більш прямий зв'язок забезпечується за допомогою перетворення Келі ${\displaystyle C(x)={\dfrac {x-{\rm {i}}}{x+{\rm {i}}}}}$, яке переводить дійсну пряму у коло, а верхню півплощину — у одиничний диск. Перетворення Келі породжується унітарним відображенням

${\displaystyle {\begin{aligned}Uf(x)={\frac {1}{(x+{\rm {i}}){\sqrt {\pi }}}}f(C(x))\end{aligned}}}$

з ${\displaystyle L^{2}(\mathbb {T} )}$ в ${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} )}$. Оператор переводить простір Гарді ${\displaystyle H^{2}(\mathbb {T} )}$ в простір Гарді ${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} )}$.^[38]

Теорема Бедросяна стверджує, що перетворення Гільберта добутку низькочастотного і високочастотного сигналу зі спектрами, що не перекриваються, задається добутком низькочастотного сигналу і перетворення Гільберта високочастотного сигналу або

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {H} \left(f_{\rm {LP}}(t)\cdot f_{\rm {HP}}(t)\right)=f_{\rm {LP}}(t)\cdot \operatorname {H} \left(f_{\rm {HP}}(t)\right),\end{aligned}}}$

де ${\displaystyle f_{\rm {LP}}}$ і ${\displaystyle f_{\rm {HP}}}$ — відповідно низько та високочастотні сигнали.^[39]Категорія сигналів зв'язку, до якої це відноситься, називається вузькосмуговою моделлю сигналу. Членом цієї категорії є амплітудна модуляція високочастотної синусоїдального носія

${\displaystyle {\begin{aligned}u(t)=u_{m}(t)\cdot \cos(\omega t+\phi ),\end{aligned}}}$

де ${\displaystyle u_{m}(t)}$ — вузькосмуговий сигнал повідомлення, наприклад, голос або музика. Тоді за теоремою Бедросяна^[40]

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {H} (u)(t)=u_{m}(t)\cdot \sin(\omega t+\phi ).\end{aligned}}}$

Основна стаття: Аналітичний сигнал^[en] Специфічним типом спряженої функції є

${\displaystyle {\begin{aligned}u_{a}(t)\triangleq u(t)+{\rm {i}}\cdot \operatorname {H} (u)(t),\end{aligned}}}$

відомий як аналітичне представлення функції ${\displaystyle u(t)}$. Назва відображає його математичну придатність, здебільшого завдяки формулі Ейлера. Застосовуючи теорему Бедросяна до вузькосмугової моделі, аналітичне представлення набуває вигляду^[41]

Властивість перетворення Фур'є вказує, що ця складна гетеродина операція може зсунути всі від'ємні частотні компоненти ${\displaystyle u_{m}(t)}$ вище ${\displaystyle 0}$ Гц. У цьому випадку уявна частина результату є перетворенням Гільберта дійсної частини. Це непрямий спосіб отримання перетворення Гільберта.

Форма^[41]

${\displaystyle {\begin{aligned}u(t)=A\cdot \cos(\omega t+\phi _{m}(t))\end{aligned}}}$

називається кутовою модуляцією, який включає як фазову модуляціяю так і частотну модуляцію. Миттєва частота^[en] дорівнює ${\displaystyle \omega +\phi '_{m}(t)}$. Для досить великих ${\displaystyle \omega }$ порівняно з ${\displaystyle \phi '_{m}}$:

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {H} (u)(t)\approx A\cdot \sin(\omega t+\phi _{m}(t))\end{aligned}}}$

і

${\displaystyle {\begin{aligned}u_{a}(t)\approx A\cdot {\rm {e}}^{{\rm {i}}(\omega t+\phi _{m}(t))}.\end{aligned}}}$

Основна стаття: Односмугова модуляція Якщо ${\displaystyle u_{m}(t)}$ в рівнянні Eq.1 є також аналітичним представленням (форма сигналу повідомлення), тобто

${\displaystyle {\begin{aligned}u_{m}(t)=m(t)+{\rm {i}}\cdot {\widehat {m}}(t),\end{aligned}}}$

то результат Односмуговою модуляцією:

${\displaystyle {\begin{aligned}u_{a}(t)=(m(t)+{\rm {i}}\cdot {\widehat {m}}(t))\cdot e^{{\rm {i}}(\omega t+\phi )},\end{aligned}}}$

передана компонента якої дорівнює^[42][43]

${\displaystyle {\begin{aligned}{\begin{aligned}u(t)&=\operatorname {Re} \{u_{a}(t)\}\\&=m(t)\cdot \cos(\omega t+\phi )-{\widehat {m}}(t)\cdot \sin(\omega t+\phi ).\end{aligned}}\end{aligned}}}$

Функція ${\displaystyle h(t)={\dfrac {1}{\pi t}}}$ представляє дві проблеми до практичної реалізації у вигляді згортки

• Її тривалість нескінченна (технічно нескінчений носій). Замість цього необхідно використовувати наближення скінченної довжини.

Але віконна довжина також зменшує ефективний частотний діапазон перетворення. Чим менше вікно, тим більші втрати на низьких і високих частотах. Див. також квадратурний фільтр^[en].

• Це некаузальний фільтр^[en]. Отже, необхідна версія із запізненням, ${\displaystyle h(t-\tau )}$. Відповідний вихід згодом затримується на ${\displaystyle \tau }$. При створенні уявної частини аналітичного сигналу^[en], джерело (дійсна частина) має мати запізнення на еквівалентну величину.

Для дискретної функції ${\displaystyle u[n]}$ з дискретним за часом перетворенням Фур'є^[en] (DTFT), ${\displaystyle U(\omega )}$, і дискретне перетворення Гільберта ${\displaystyle {\hat {u}}[n]}$, DTFT функції ${\displaystyle {\hat {u}}[n]}$ в області ${\displaystyle -\pi <\omega <\pi }$ визначається як

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {DTFT} ({\hat {u}})=U(\omega )\cdot (-{\rm {i}}\cdot \operatorname {sgn} (\omega )).\end{aligned}}}$

Обернене DTFT, використовуючи теорему про згортки^[en], має вигляд:^[44]