Меллерівське розсіяння або розсіяння Меллера (англ. Møller scattering ) — процес пружнього розсіювання електрона на електроні, що описуєть найнижчим порядком теорії збурень в квантовій електродинаміці . Названий на честь данського фізика та математика Крістіана Меллера . Вказаний процес зображується двома діаграмами Фейнмана (u- і t- канали). У цьому наближені не враховуються радіаційні поправки , а також випромінювання м'яких фотонів , якими завжди супроводжується процес розсіювання заряджених частинок.
Релятивістськи-інваріантний вираз для диференціального перерізу Меллерівського розсіяння отримується згідно з відомими правилами обчислення елементів S-матриці в КЕД (в системі одиниць, в якій c = 1 {\displaystyle c=1}
d σ = r e 2 4 π m 2 ⋅ ( d t ) s ( s − 4 m 2 ) { 1 t 2 [ s 2 + u 2 2 + 4 m 2 ( t − m 2 ) ] + 1 u 2 [ s 2 + t 2 2 + 4 m 2 ( u − m 2 ) ] + 4 t u ( s 2 − m 2 ) ( s 2 − 3 m 2 ) } {\displaystyle d\sigma =r_{e}^{2}{\frac {4\pi m^{2}\cdot (dt)}{s(s-4m^{2})}}{\Bigg \{}{\frac {1}{t^{2}}}{\Big [}{\frac {s^{2}+u^{2}}{2}}+4m^{2}(t-m^{2}){\Big ]}+{\frac {1}{u^{2}}}{\Big [}{\frac {s^{2}+t^{2}}{2}}+4m^{2}(u-m^{2}){\Big ]}+{\frac {4}{tu}}({\frac {s}{2}}-m^{2})({\frac {s}{2}}-3m^{2}){\Bigg \}}} s = ( p 1 + p 2 ) 2 , t = ( p 1 − q 1 ) 2 , u = ( p 1 − q 2 ) 2 {\displaystyle s=(p_{1}+p_{2})^{2},\qquad t=(p_{1}-q_{1})^{2},\qquad u=(p_{1}-q_{2})^{2}} p 1 + p 2 = q 1 + q 2 , p 1 2 = p 2 2 = q 1 2 = q 2 2 = m 2 {\displaystyle p_{1}+p_{2}=q_{1}+q_{2},\qquad p_{1}^{2}=p_{2}^{2}=q_{1}^{2}=q_{2}^{2}=m^{2}} У цих виразах використано позначення:
p 1 , p 2 , q 1 , q 2 {\displaystyle p_{1},p_{2},q_{1},q_{2}} m {\displaystyle m} r e = e 2 4 π m = α m ≃ 2.82 ⋅ 10 − 15 {\displaystyle r_{e}={\frac {e^{2}}{4\pi m}}={\frac {\alpha }{m}}\simeq 2.82\cdot 10^{-15}} класичний радіус електрона ( d t ) {\displaystyle (dt)} t {\displaystyle t} Вводячи кут розсіяння θ {\displaystyle \theta } ϵ {\displaystyle \epsilon } системі центра мас , де
p 1 = − p 2 {\displaystyle \mathbf {p_{1}} =-\mathbf {p_{2}} } ( p 1 q 1 ) = p 2 cos θ {\displaystyle (p_{1}q_{1})=p^{2}\cos {\theta }} ϵ = p 2 + m 2 {\displaystyle \epsilon =p^{2}+m^{2}} s = 4 p 2 {\displaystyle s=4p^{2}} t = − 4 p 2 sin 2 θ / 2 {\displaystyle t=-4p^{2}\sin ^{2}{\theta /2}} u = − 4 p 2 cos 2 θ / 2 {\displaystyle u=-4p^{2}\cos ^{2}{\theta /2}} отримаємо формулу Меллера (K.Møller, 1932):
d σ = r e 2 1 + β 2 4 β 4 γ 2 [ 4 sin 4 θ − 3 sin 2 θ + ( β 2 1 + β 2 ) 2 ( 1 + 4 sin θ ) ] d Ω {\displaystyle d\sigma =r_{e}^{2}{\frac {1+\beta ^{2}}{4\beta ^{4}\gamma ^{2}}}{\bigg [}{\frac {4}{\sin ^{4}{\theta }}}-{\frac {3}{\sin ^{2}{\theta }}}+{\bigg (}{\frac {\beta ^{2}}{1+\beta ^{2}}}{\bigg )}^{2}{\bigg (}1+{\frac {4}{\sin {\theta }}}{\bigg )}{\bigg ]}d\Omega } де
γ = ϵ m = 1 1 − β 2 {\displaystyle \gamma ={\frac {\epsilon }{m}}={\frac {1}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}} β = p m {\displaystyle \beta ={\frac {p}{m}}} d Ω = sin θ d θ d ϕ {\displaystyle d\Omega =\sin {\theta }d\theta d\phi } У нерелятивістській границі ( β ≪ 1 {\displaystyle \beta \ll 1} формулу Резерфорда з врахуванням обмінної взаємодії (через тотожність електронів) у Борнівському наближені .
d σ = e 4 ( 16 π m v 2 ) 2 [ 1 sin 4 θ + 1 cos 4 θ − 1 sin 2 θ / 2 cos 2 θ / 2 ] {\displaystyle d\sigma ={\frac {e^{4}}{(16\pi mv^{2})^{2}}}{\bigg [}{\frac {1}{\sin ^{4}{\theta }}}+{\frac {1}{\cos ^{4}{\theta }}}-{\frac {1}{\sin ^{2}{\theta /2}\cos ^{2}{\theta /2}}}{\bigg ]}} Для переходу до лабораторної системи відліку, в якій один із електронів перебуває в стані спокою, потрібно ввести відповідні змінні ( θ ′ , γ ′ , β ′ {\displaystyle \theta ',\gamma ',\beta '}
cos θ = 2 − ( γ ′ + 3 ) sin 2 θ ′ ) 2 + ( γ ′ + 1 ) sin 2 θ ′ ) , 2 γ 2 = γ ′ + 1 , 4 β 2 γ 2 1 + β 2 = ( β ′ ) 2 γ ′ {\displaystyle \cos {\theta }={\frac {2-(\gamma '+3)\sin ^{2}{\theta '})}{2+(\gamma '+1)\sin ^{2}{\theta '})}},\qquad 2\gamma ^{2}=\gamma '+1,\qquad {\frac {4\beta ^{2}\gamma ^{2}}{1+\beta ^{2}}}=(\beta ')^{2}\gamma '} У рамках моделі електрослабкої взаємодії , крім діаграм однофотонного обміну, є також діаграми з проміжним векторним бозоном Z° . Проте їхній внесок у переріз розсіяння електронів дуже малий за рахунок дуже великої маси бозона.
Теоретичні концепти Явища Частинки
![{\displaystyle d\sigma =r_{e}^{2}{\frac {4\pi m^{2}\cdot (dt)}{s(s-4m^{2})}}{\Bigg \{}{\frac {1}{t^{2}}}{\Big [}{\frac {s^{2}+u^{2}}{2}}+4m^{2}(t-m^{2}){\Big ]}+{\frac {1}{u^{2}}}{\Big [}{\frac {s^{2}+t^{2}}{2}}+4m^{2}(u-m^{2}){\Big ]}+{\frac {4}{tu}}({\frac {s}{2}}-m^{2})({\frac {s}{2}}-3m^{2}){\Bigg \}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b31b5e30d60b37cde6df9e717eb72366e017c640)
![{\displaystyle d\sigma =r_{e}^{2}{\frac {1+\beta ^{2}}{4\beta ^{4}\gamma ^{2}}}{\bigg [}{\frac {4}{\sin ^{4}{\theta }}}-{\frac {3}{\sin ^{2}{\theta }}}+{\bigg (}{\frac {\beta ^{2}}{1+\beta ^{2}}}{\bigg )}^{2}{\bigg (}1+{\frac {4}{\sin {\theta }}}{\bigg )}{\bigg ]}d\Omega }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e26a1077a434c0dd4221d21fd1a1ebd8d0bb60c3)
![{\displaystyle d\sigma ={\frac {e^{4}}{(16\pi mv^{2})^{2}}}{\bigg [}{\frac {1}{\sin ^{4}{\theta }}}+{\frac {1}{\cos ^{4}{\theta }}}-{\frac {1}{\sin ^{2}{\theta /2}\cos ^{2}{\theta /2}}}{\bigg ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d522052f7cc06d2b39844e76d28302d22ab9bb5c)
