Визначник Вандермонда

Визна́чником Вандермонда називається визначник:

.

Він дорівнює нулю тоді і тільки тоді, коли існує хоч одна пара така, що .

Доведення

Індукція за розміром матриці .

База

. Матриця має вигляд

Зрозуміло, її визначник дорівнює .

Індукційне припущення

Індукційний перехід

Віднімемо від останнього стовпця передостанній, помножений на , від -ого — -й, помножений на , від -ого — -й, помножений на і так далі для всіх стовпців. Ці перетворення не змінюють визначник матриці. Отримаємо

Розкладаючи цей визначник по елементах першого рядка, отримаємо, що він дорівнює наступному визначнику:

Для всіх від 2 до винесемо з -го рядка множник . Отримаємо

Підставимо значення з індукційного припущення:

, що й треба було довести.
{{{footer}}}

Див. також

[ред. | ред. код]

Джерела

[ред. | ред. код]