Мартинга́л в теорії ймовірностей — це випадковий процес, математичне сподівання якого в майбутній час рівне значенню процесу в цей час. Теорія мартингалів є одним з основних розділів сучасної теорії ймовірностей і має широке застосування у стохастичному моделюванні, зокрема у сфері фінансів.
Мартингали з дискретним часом[ред. | ред. код]
- Послідовність випадкових величин називається мартинга́лом з дискретним часом, якщо виконуються умови
- ;
- .
- Нехай задана також інша послідовність мартингалів . Тоді послідовність випадкових величин називається мартингалом відносно або -мартингалом, якщо
- ;
- .
- Найбільш загально нехай — ймовірнісний простір і задана на ньому фільтрація. Тоді послідовність випадкових величин називається мартингалом, якщо виконуються умови:
- Процес є узгодженим з фільтрацією .
- ;
- .
Виконуються також і загальніші властивості. Якщо m < n тоді:
- .
Мартингали з неперервним часом[ред. | ред. код]
Нехай задано ймовірнісний простір з заданою на ньому фільтрацією , де . Тоді випадковий процес називається мартингалом відносно , якщо
- вимірна відносно для довільного .
- .
- .
Якщо як взята природна фільтрація , то називається просто мартингалом.
Суб(супер)мартингали[ред. | ред. код]
- Нехай задана послідовність випадкових величин . Тоді послідовність випадкових величин називається су́б(су́пер)мартингалом відносно , якщо
- Випадковий процес називається суб(супер)мартингалом відносно , якщо
- вимірна відносно для довільного .
- .
- .
Якщо як взята природна фільтрація , то називається просто суб(супер)мартингалом.
- Якщо — мартингал, то .
- Якщо — субмартингал, то — супермартингал.
- Якщо є мартингалом, а — опукла функція, то — субмартингал. Якщо — вгнута функція, то — супермартингал.
- Карташов М. В. Імовірність, процеси, статистика. — Київ : ВПЦ Київський університет, 2007. — 504 с.
- Гнеденко Б. В. Курс теории вероятностей. — 6-е изд. — Москва : Наука, 1988. — 446 с.(рос.)
- Гихман И. И., Скороход А. В., Ядренко М. В. Теория вероятностей и математическая статистика. — Київ : Вища школа, 1988. — 436 с.(рос.)
- Гихман И. И., Скороход А. В. Введение в теорию случайных процессов. — 2-е. — Москва : Наука, 1977. — 567 с.(рос.)
- G. Grimmett and D. Stirzaker, Probability and Random Processes, 3rd edition, Oxford University Press, 2001, ISBN 0-19-857223-9
- David Williams, Probability with Martingales, Cambridge University Press, 1991, ISBN 0-521-40605-6
|
---|
| Ігри | |
---|
| Місця проведення | |
---|
| Наука | |
---|
| Пов'язані поняття | |
---|
| Термінологія | |
---|
| Інструменти | |
---|
| Регулятори | |
---|
| Різне | |
---|
| |
|