Лінійне диференціальне рівняння

Диференціальні рівняння
Види рівнянь Звичайні З частинними похідними Лінійні Нелінійні Автономні Алгебраїчні[en] Диференціально-алгебраїчні[en] Інтегро-диференціальні[en] Однорідні Рівняння в повних диференціалах Стохастичні З запізненням[en]
Загальні теми Фазовий простір Інтегральна крива Теорема Пікара — Лінделефа Фазовий портрет Диференціальний оператор Визначник Вронського Стійкість Чисельне інтегрування Фундаментальна матриця
Методи розв'язання Метод характеристик Розділення змінних Знижування порядку Інтегрувальний множник Метод невизначених коефіцієнтів Метод варіації параметрів Метод Ейлера Метод Рунге — Кутти Метод Адамса Метод скінченних різниць Метод Кранка-Ніколсон Метод скінченних елементів Метод Гальоркіна Інтегральне перетворення Теорія збурень
Відомі рівняння Рівняння Лотки-Вольтерри Дивний атрактор Лоренца Рівняння Дуффінга Осцилятор Ван дер Поля Система Хенона-Гейлса Рівняння Ріккаті Хвильове рівняння Рівняння Лапласа Рівняння дифузії Рівняння Бюргерса Рівняння Нав'є — Стокса Рівняння Гамільтона — Якобі Рівняння Коші-Ейлера Рівняння Бернуллі Модель Годжкіна — Гакслі Схема Чуа Атрактор Рьослера[en] Модель Курамото[en]
Математики Ісаак Ньютон Ґотфрід Лейбніц Леонард Ейлер П'єр-Симон Лаплас Жозеф Ліувілль Жозеф-Луї Лагранж Анрі Пуанкаре Рудольф Ліпшиц Олександр Ляпунов Еміль Пікар Карл Рунге Джон Кранк
п о р

Лінійне диференціальне рівняння — звичайне диференціальне рівняння, в яке невідома функція та її похідні входять лінійно, тобто рівняння вигляду

${\displaystyle y^{(n)}(x)+g_{(n-1)}(x)y^{(n-1)}(x)+\ldots +g_{1}(x)y(x)=f(x)}$

де ${\displaystyle g_{i}(x)}$ та ${\displaystyle f(x)}$ — функції, що залежать тільки від аргументу x.

Важливий підклас лінійних диференційних рівнянь складають лінійні диференційні рівняння зі сталими коефіцієнтами, для яких ${\displaystyle g_{i}(x)=c_{i}}$.

Рівняння

${\displaystyle y^{(n)}(x)+g_{(n-1)}(x)y^{(n-1)}(x)+\ldots +g_{1}(x)y(x)=0}$

називається однорідним лінійним диференційним рівнянням.

Однорідне диференційне рівняння n-го порядку має n лінійно незалежних розв'язків.

Якщо відомий хоча б один частковий розв'язок лінійного диференційного рівняння, то його загальний розв'язок є сумою часткового розв'язку та лінійної комбінації n розв'язків однорідного диференційного рівняння.

Операторний запис[ред. | ред. код]

Лінійні диференціальні рівняння мають вигляд

${\displaystyle Ly=f\,}$

де диференціальний оператор L — лінійний оператор, у — невідома функція (наприклад, від часу ${\displaystyle y(t)}$), а функція праворуч — ƒ є даною функцією такого ж характеру, як у . Для такої функції ми можемо записати рівняння явно

${\displaystyle Ly(t)=f(t)\,}$

і, навіть точніше,

${\displaystyle L[y(t)]=f(t)\,}$

Лінійний оператор можна розглядати у формі

${\displaystyle L_{n}(y)\equiv {\frac {d^{n}y}{dt^{n}}}+A_{1}(t){\frac {d^{n-1}y}{dt^{n-1}}}+\cdots +A_{n-1}(t){\frac {dy}{dt}}+A_{n}(t)y\,}$

Лінійність умови на L виключає такі операції, як піднесення до квадрату похідної від у, але дозволяє, наприклад, брати другу похідну у. Зручно переписати це рівняння в операторній формі

${\displaystyle L_{n}(y)\equiv \left[\,D^{n}+A_{1}(t)D^{n-1}+\cdots +A_{n-1}(t)D+A_{n}(t)\right]y}$

де D є диференціальним оператором д / д (тобто Dy = у ', D ² у = у ", …), і _я  — задані функції.

Таке рівняння має порядок п, індекс старшої похідної у, у рівнянні.

Типовим простим прикладом лінійного диференціального рівняння є, наприклад, те, що використовуються для моделювання радіоактивного розпаду. Нехай N (т) позначає число радіоактивних атомів в деякому зразку матеріалу у час t. Тоді для деякої сталої А> 0, кількість радіоактивних атомів, що розпадається, може бути записана як

${\displaystyle {\frac {dN}{dt}}=-kN\,}$

Якщо у вважається функцією тільки однієї змінної, то говорять про звичайне диференціальне рівняння, в іншому разі похідні та їх коефіцієнти слід розуміти як вектори, матриці або тензори, тож одержимо (лінійне) рівняння в частинних похідних.

Випадок, коли ƒ = 0, називається однорідним рівнянням . Воно особливо важливе для розв'язання у загального випадку, оскільки його розв'язки можна додавати до розв'язку неоднорідного рівняння, щоб дістати інший розв'язок (методом часткового і однорідного розв'язків). Коли _я  — це числа, рівняння, називається рівнянням зі сталими коефіцієнтами.

Однорідні рівняння зі сталими коефіцієнтами[ред. | ред. код]

Історично перший метод розв'язування звичайних лінійних диференціальних рівнянь зі сталими коефіцієнтами пов'язаний з іменем Ейлера, який зрозумів, що розв'язки мають вигляд e^{${\displaystyle z}$x}, де ${\displaystyle z}$,- (в загальному випадку)-комплексні значення ${\displaystyle z}$. Щоб сума кількох похідних функції дорівнювала нулю, похідні повинні врівноважувати одна одну, тож єдиний спосіб досягнути цього — похідні мусять мати ту ж форму, що й вихідна функція. Міркуючи так, для розв'язання

${\displaystyle y^{(n)}+A_{1}y^{(n-1)}+\cdots +A_{n}y=0}$

покладемо ${\displaystyle y=e^{zx}}$, що дає

${\displaystyle z^{n}e^{zx}+A_{1}z^{n-1}e^{zx}+\cdots +A_{n}e^{zx}=0.}$

Діленням на ${\displaystyle e^{zx}}$ многочлен n-го порядку

${\displaystyle F(z)=z^{n}+A_{1}z^{n-1}+\cdots +A_{n}=0.\,}$

Це алгебраїчне рівняння ${\displaystyle F(t)=0}$, характеристичне рівняння, було розглянуто пізніше Ґаспаром Монжем і Оґюстеном-Луї Коші.

Формально, члени

${\displaystyle y^{(k)}\quad \quad (k=1,2,\dots ,n).}$

вихідних диференціальних рівнянь замінюються на ${\displaystyle z^{k}}$. Розв'язок алгебраїчного рівняння дає n значень ${\displaystyle z_{1},z_{2},...z_{n}}$. Підстановка будь-якого з цих значень z в ${\displaystyle zx}$ дає розв'язок ${\displaystyle e^{zx}}$ Оскільки однорідні лінійні диференціальні рівняння підпорядковані принципу суперпозиції, будь-яка лінійна комбінація цих функцій також задовольняє дане диференціальне рівняння.

Коли всі корені різні, ми маємо n різних розв'язків диференціального рівняння. Застосовуючи визначник Вандермонда, можна показати, що вони лінійно незалежні і разом утворюють базис в просторі всіх розв'язків диференціального рівняння.

Вищесказане дає розв'язок в разі, коли всі корені різні, тобто кожен з них має кратність 1. У загальному випадку, якщо z (можливо, комплексний) нуль (=корінь) Р(x), що має кратність m, то ${\displaystyle y=x^{k}e^{zx}\,}$ є розв'язками ЛОР (де ${\displaystyle k\in \{0,1,\dots ,m-1\}\,}$). Застосування цього до всіх коренів дає набір з n різних і лінійно незалежних функцій, де n-степінь F(x). Як і раніше, ці функції утворюють базис простору розв'язків.

Якщо коефіцієнти диференціального рівняння дійсні, то перевагу віддаємо дійснозначним розв'язкам. Оскільки комплексні (не дійсні) корені сполучені в пари спряжених, як і відповідні базисні функції, x^ke^zx, то бажаний результат одержимо заміною кожної пари дійсною лінійною комбінацією з ${\displaystyle Re(y)}$ і ${\displaystyle Im(y)}$, де y — одна з функцій пари.

Випадки, що включають комплексні корені, можуть бути розглянуті за допомогою формули Ейлера.

Приклад

${\displaystyle y''''-2y'''+2y''-2y'+y=0\,}$

має характеристичне рівняння

${\displaystyle z^{4}-2z^{3}+2z^{2}-2z+1=0.\,}$

Його корені i, -i, й 1 (кратності 2). Базис розв'язків

${\displaystyle e^{ix},\,e^{-ix},\,e^{x},\,xe^{x}\,.}$

Відповідний дійснозначний базис

${\displaystyle \cos x,\,\sin x,\,e^{x},\,xe^{x}\,.}$

Приклади[ред. | ред. код]

Дано, ${\displaystyle y''-4y'+5y=0\,}$ . Характеристичне рівняння ${\displaystyle z^{2}-4z+5=0\,}$ має корені 2 + і і 2 — і. Таким чином, базис розв'язків ${\displaystyle \{y_{1},y_{2}\}}$ є ${\displaystyle \{e^{(2+i)x},e^{(2-i)x}\}\,}$ . Тепер у є розв'язком тоді і тільки тоді ${\displaystyle y=c_{1}y_{1}+c_{2}y_{2}\,}$ для ${\displaystyle c_{1},c_{2}\in \mathbb {C} }$ .

Оскільки коефіцієнти дійсні,

• ми, ймовірно, не зацікавлені в комплексних розв'язках
• наші базисні елементи взаємно спряжені

Лінійні комбінації

${\displaystyle u_{1}={\mbox{Re}}(y_{1})={\frac {y_{1}+y_{2}}{2}}=e^{2x}\cos(x)\,}$ і

${\displaystyle u_{2}={\mbox{Im}}(y_{1})={\frac {y_{1}-y_{2}}{2i}}=e^{2x}\sin(x)\,}$

дають нам дійсний базис ${\displaystyle \{u_{1},u_{2}\}}$ .

Простий гармонічний осцилятор[ред. | ред. код]

Диференціальне рівняння другого порядку

${\displaystyle D^{2}y=-k^{2}y,}$

що описує простий гармонічний осцилятор, можна переформулювати

${\displaystyle (D^{2}+k^{2})y=0.}$

Вираз в дужках може бути факторизований, що дає

${\displaystyle (D+ik)(D-ik)y=0,}$

це рівняння має пару лінійно незалежних розв'язків, один для

${\displaystyle (D-ik)y=0\,}$

інший для

${\displaystyle (D+ik)y=0.}$

Розв'язки, відповідно,

${\displaystyle y_{0}=A_{0}e^{ikx}}$

та

${\displaystyle y_{1}=A_{1}e^{-ikx}.}$

Ці розв'язки є базисом двовимірного «простору розв'язків» диференціального рівняння другого порядку. Крім того, для

${\displaystyle y_{0'}={A_{0}e^{ikx}+A_{1}e^{-ikx} \over 2}=C_{0}\cos(kx)}$

та

${\displaystyle y_{1'}={A_{0}e^{ikx}-A_{1}e^{-ikx} \over 2i}=C_{1}\sin(kx).}$

-останні тригонометричні розв'язки лінійно незалежні, а тому можуть слугувати іншим базисом простору розв'язків, що дає таку загальну форму розв'язку:

${\displaystyle y_{H}=C_{0}\cos(kx)+C_{1}\sin(kx).}$

Затухаючий гармонічний осцилятор[ред. | ред. код]

Враховуючи рівняння затухаючого гармонічного осцилятора:

${\displaystyle \left(D^{2}+{b \over m}D+\omega _{0}^{2}\right)y=0,}$

отримаємо спочатку характеристичне рівняння формальною заміною D на λ. Це рівняння має виконуватися для всіх у, наступним чином:

${\displaystyle \lambda ^{2}+{b \over m}\lambda +\omega _{0}^{2}=0.}$

Розв'яжемо:

${\displaystyle \lambda ={-b/m\pm {\sqrt {b^{2}/m^{2}-4\omega _{0}^{2}}} \over 2}.}$

Використаємо ці дані для розкладу вихідного диференціального рівняння:

${\displaystyle \left(D+{b \over 2m}-{\sqrt {{b^{2} \over 4m^{2}}-\omega _{0}^{2}}}\right)\left(D+{b \over 2m}+{\sqrt {{b^{2} \over 4m^{2}}-\omega _{0}^{2}}}\right)y=0.}$

Це визначає пару рішень, з яких одне відповідає

${\displaystyle \left(D+{b \over 2m}-{\sqrt {{b^{2} \over 4m^{2}}-\omega _{0}^{2}}}\right)y=0}$

а інше

${\displaystyle \left(D+{b \over 2m}+{\sqrt {{b^{2} \over 4m^{2}}-\omega _{0}^{2}}}\right)y=0}$

Розв'язки, відповідно,

${\displaystyle y_{0}=A_{0}e^{-\omega x+{\sqrt {\omega ^{2}-\omega _{0}^{2}}}x}=A_{0}e^{-\omega x}e^{{\sqrt {\omega ^{2}-\omega _{0}^{2}}}x}}$

та

${\displaystyle y_{1}=A_{1}e^{-\omega x-{\sqrt {\omega ^{2}-\omega _{0}^{2}}}x}=A_{1}e^{-\omega x}e^{-{\sqrt {\omega ^{2}-\omega _{0}^{2}}}x}}$

де ω = B / 2 . З цієї пари лінійно незалежних рішень можна побудувати іншу лінійно незалежну пару, що таким чином, слугуватиме базисом для двовимірного простору рішень:

${\displaystyle y_{H}(A_{0},A_{1})(x)=\left(A_{0}\sinh {\sqrt {\omega ^{2}-\omega _{0}^{2}}}x+A_{1}\cosh {\sqrt {\omega ^{2}-\omega _{0}^{2}}}x\right)e^{-\omega x}.}$

Однак, якщо | ω | <| ω ₀ |, то бажано позбутися уявних частин, виражаючи загальний розв'язок як

${\displaystyle y_{H}(A_{0},A_{1})(x)=\left(A_{0}\sin {\sqrt {\omega _{0}^{2}-\omega ^{2}}}x+A_{1}\cos {\sqrt {\omega _{0}^{2}-\omega ^{2}}}x\right)e^{-\omega x}.}$

Останній розв'язок відповідає слабко затухаючому випадку, тоді як попередній відповідає сильно затухаючому разі: розв'язок для слабко загальмованого випадку коливатиметься, а для розв'язку сильно загальмованого випадку це не так.

Неоднорідні рівняння зі сталими коефіцієнтами[ред. | ред. код]

Щоб отримати розв'язок неоднорідного рівняння , слід знайти частковий розв'язок неоднорідного рівняння або методом невизначених коефіцієнтів, або методом варіації сталих; загальний розв'язок лінійного диференціального рівняння є сумою загального розв'язку відповідного однорідного рівняння і часткового інтеграла. Якщо ж задані початкові умови, можна застосувати перетворення Лапласа для отримання конкретного розв'язку безпосередньо.

Припустимо, нам дано

${\displaystyle {\frac {d^{n}y(x)}{dx^{n}}}+A_{1}{\frac {d^{n-1}y(x)}{dx^{n-1}}}+\cdots +A_{n}y(x)=f(x).}$

Для подальших обчислень, виділимо характеристичний многочлен

${\displaystyle P(v)=v^{n}+A_{1}v^{n-1}+\cdots +A_{n}.}$

Ми знайдемо базис розв'язків ${\displaystyle \{y_{1}(x),y_{2}(x),\ldots ,y_{n}(x)\}}$ як і в однорідному (F (X) = 0) випадку. Частковий розв'язок у _р (х) одержимо методом варіації сталих. Нехай коефіцієнти лінійної комбінації є функціями від х:

${\displaystyle y_{p}(x)=u_{1}(x)y_{1}(x)+u_{2}(x)y_{2}(x)+\cdots +u_{n}(x)y_{n}(x).}$

Для зручності позначень будемо опускати залежність від х (тобто, частини звичного запису вигляду (х)). Використовуючи операторний запис ${\displaystyle D=d/dx}$ і вільно використовуючи позначення, дане рівняння набуде вигляду ${\displaystyle P(D)y=f}$ , тож

${\displaystyle f=P(D)y_{p}=P(D)(u_{1}y_{1})+P(D)(u_{2}y_{2})+\cdots +P(D)(u_{n}y_{n}).}$

З обмеженнями

${\displaystyle 0=u'_{1}y_{1}+u'_{2}y_{2}+\cdots +u'_{n}y_{n}}$

${\displaystyle 0=u'_{1}y'_{1}+u'_{2}y'_{2}+\cdots +u'_{n}y'_{n}}$

${\displaystyle \cdots }$

${\displaystyle 0=u'_{1}y_{1}^{(n-2)}+u'_{2}y_{2}^{(n-2)}+\cdots +u'_{n}y_{n}^{(n-2)}}$

параметри виносяться, після чого залишається дещо «зайве»:

${\displaystyle f=u_{1}P(D)y_{1}+u_{2}P(D)y_{2}+\cdots +u_{n}P(D)y_{n}+u'_{1}y_{1}^{(n-1)}+u'_{2}y_{2}^{(n-1)}+\cdots +u'_{n}y_{n}^{(n-1)}.}$

Але ${\displaystyle P(D)y_{j}=0}$ , тому

${\displaystyle f=u'_{1}y_{1}^{(n-1)}+u'_{2}y_{2}^{(n-1)}+\cdots +u'_{n}y_{n}^{(n-1)}.}$

Це, з обмеженнями, дає лінійну система за ${\displaystyle u'_{j}}$ . ЇЇ, насправді, завжди можна розв'язати поєднуючи методи Крамера і Вронського,

${\displaystyle u'_{j}=(-1)^{n+j}{\frac {W(y_{1},\ldots ,y_{j-1},y_{j+1}\ldots ,y_{n})_{0 \choose f}}{W(y_{1},y_{2},\ldots ,y_{n})}}.}$

Решта зводиться до інтегрування ${\displaystyle u'_{j}.}$

частковий розв'язок не є єдиним, ${\displaystyle y_{p}+c_{1}y_{1}+\cdots +c_{n}y_{n}}$ також задовольняє рівняння для будь-якого набору констант з основного поля.

Приклад[ред. | ред. код]

Покладемо, ${\displaystyle y''-4y'+5y=sin(kx)}$ . Ми візьмемо базис розв'язку, знайдений вище ${\displaystyle \{e^{(2+i)x},e^{(2-i)x}\}}$ .

${\displaystyle W\,}$	${\displaystyle ={\begin{vmatrix}e^{(2+i)x}&e^{(2-i)x}\\(2+i)e^{(2+i)x}&(2-i)e^{(2-i)x}\end{vmatrix}}}$
	${\displaystyle =e^{4x}{\begin{vmatrix}1&1\\2+i&2-i\end{vmatrix}}}$
	${\displaystyle =-2ie^{4x}\,}$

${\displaystyle u'_{1}\,}$	${\displaystyle ={\frac {1}{W}}{\begin{vmatrix}0&e^{(2-i)x}\\\sin(kx)&(2-i)e^{(2-i)x}\end{vmatrix}}}$
	${\displaystyle =-{\frac {i}{2}}\sin(kx)e^{(-2-i)x}}$

${\displaystyle u'_{2}\,}$	${\displaystyle ={\frac {1}{W}}{\begin{vmatrix}e^{(2+i)x}&0\\(2+i)e^{(2+i)x}&\sin(kx)\end{vmatrix}}}$
	${\displaystyle ={\frac {i}{2}}\sin(kx)e^{(-2+i)x}.}$

Використовуючи список інтегралів від експоненціальних функцій,

${\displaystyle u_{1}\,}$	${\displaystyle =-{\frac {i}{2}}\int \sin(kx)e^{(-2-i)x}\,dx}$
	${\displaystyle ={\frac {ie^{(-2-i)x}}{2(3+4i+k^{2})}}\left((2+i)\sin(kx)+k\cos(kx)\right)}$

${\displaystyle u_{2}\,}$	${\displaystyle ={\frac {i}{2}}\int \sin(kx)e^{(-2+i)x}\,dx}$
	${\displaystyle ={\frac {ie^{(i-2)x}}{2(3-4i+k^{2})}}\left((i-2)\sin(kx)-k\cos(kx)\right).}$

І тому

${\displaystyle y_{p}\,}$	${\displaystyle ={\frac {i}{2(3+4i+k^{2})}}\left((2+i)\sin(kx)+k\cos(kx)\right)+{\frac {i}{2(3-4i+k^{2})}}\left((i-2)\sin(kx)-k\cos(kx)\right)}$
	${\displaystyle ={\frac {(5-k^{2})\sin(kx)+4k\cos(kx)}{(3+k^{2})^{2}+16}}.}$

Задля інтересу зазначимо, це рівняння має фізичний зміст, описує вимушений гармонічний осцилятор, з тертям; у _р представляє стійкий стан, а ${\displaystyle c_{1}y_{1}+c_{2}y_{2}}$ є перехідним станом.

Рівняння зі змінними коефіцієнтами[ред. | ред. код]

Лінійне диференціальне рівняння порядку n зі змінними коефіцієнтами має загальний вигляд

${\displaystyle p_{n}(x)y^{(n)}(x)+p_{n-1}(x)y^{(n-1)}(x)+\cdots +p_{0}(x)y(x)=r(x).}$

Приклади[ред. | ред. код]

Простим прикладом є рівняння Коші-Ейлера, що часто використовуються в машинобудуванні

${\displaystyle x^{n}y^{(n)}(x)+a_{n-1}x^{n-1}y^{(n-1)}(x)+\cdots +a_{0}y(x)=0.}$

Рівняння першого порядку[ред. | ред. код]

Лінійне диференціальне рівняння 1-го порядку зі змінними коефіцієнтами має загальний вигляд

${\displaystyle Dy(x)+f(x)y(x)=g(x).}$

Тут D — диференціальний оператор. Рівняння такого виду може бути розв'язане множенням на інтегрувальний множник

${\displaystyle e^{\int f(x)\,dx}}$,

що дає

${\displaystyle Dy(x)e^{\int f(x)\,dx}+f(x)y(x)e^{\int f(x)\,dx}=g(x)e^{\int f(x)\,dx},}$

спрощуючи за правилом добутку, дістанемо

${\displaystyle D(y(x)e^{\int f(x)\,dx})=g(x)e^{\int f(x)\,dx}}$

Звідси інтегруванням

${\displaystyle y(x)e^{\int f(x)\,dx}=\int g(x)e^{\int f(x)\,dx}\,dx+c~,}$

${\displaystyle y(x)={\int g(x)e^{\int f(x)\,dx}\,dx+c \over e^{\int f(x)\,dx}}~.}$

Отже, розв'язком лінійного диференціального рівняння першого порядку

${\displaystyle y'(x)+f(x)y(x)=g(x),}$

з коефіцієнтами, які можуть залежати від х, є:

${\displaystyle y=e^{-a(x)}\left(\int g(x)e^{a(x)}\,dx+\kappa \right)}$

Зазначимо, що ${\displaystyle \kappa }$ — стала інтегрування, і

${\displaystyle a(x)=\int {f(x)\,dx}.}$

Компактна форма загального розв'язку

${\displaystyle y(x)=\int _{a}^{x}\!{[y(a)\delta (t-a)+g(t)]e^{-\int _{t}^{x}\!f(u)du}\,dt}\,.}$

${\displaystyle \delta (x)}$ — узагальнена дельта-функція Дірака.

Приклади[ред. | ред. код]

Розглянемо диференціальне рівняння першого порядку із сталими коефіцієнтами:

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}+by=1.}$

Це рівняння має особливе значення для систем першого порядку на кшталт RC-схем (ємність-опір) і систем маса-демпфер.

В цьому випадку f(х) = b, g(х) = 1.

Тож розв'язком є

${\displaystyle y(x)=e^{-bx}\left(e^{bx}/b+C\right)=1/b+Ce^{-bx}.}$

Див. також[ред. | ред. код]

• Перетворення Фур'є
• Перетворення Лапласа

Посилання[ред. | ред. код]

• Лінійне диференціальне рівняння першого порядку // Вища математика в прикладах і задачах / Клепко В.Ю., Голець В.Л.. — 2-ге видання. — К. : Центр учбової літератури, 2009. — С. 475. — 594 с.
• [1] напівлінійних диференціальних рівнянь (в диспергуючих PDE Wiki)
• [2] квазілінійного диференціального рівняння (в диспергуючих PDE Wiki)
• [3] повністю нелінійних диференціальних рівнянь (в диспергуючих PDE Wiki)
• http://eqworld.ipmnet.ru/en/solutions/ode.htm [Архівовано 30 червня 2007 у Wayback Machine.]

Примітки[ред. | ред. код]

Література[ред. | ред. код]

• Jack K. Hale; Joseph P. LaSalle (1963). Differential Equations: Linearity vs. Nonlinearity (PDF). SIAM Review (англ. ) . 5 (3): 249—272. Архів оригіналу (PDF) за 4 жовтня 2015. Процитовано 4 грудня 2015.