Куб

Куб (від лат. cubus і далі від дав.-гр. κύβος, первісно — «кубічна кістка для гри»)^[1] або гекса́едр (від дав.-гр. ἑξα- — «шість» + ἕδρα — «грань, поверхня») — правильний многогранник, кожна грань якого є квадратом. Окремий випадок паралелепіпеда і призми.

У різних дисциплінах використовуються значення терміну, що мають відношення до тих або інших властивостей геометричного прототипу. Зокрема, в алгебрі кубом числа називають значення цього числа, піднесене до 3-го степеня. В аналітиці (OLAP-аналіз) застосовуються так звані аналітичні багатовимірні куби, що дозволяють в наочному вигляді зіставити дані з різних таблиць.

Декартові координати[ред. | ред. код]

Якщо центр куба сумістити з початком координат, а ребра зорієнтувати паралельно осям, тоді вершини куба з ребрами довжини 2 матимуть координати (±1,±1,±1).

Вміст куба буде відповідати умовам на координати (x₀, x₁, x₂) де −1 < x_i < 1.

Формули[ред. | ред. код]

Для куба, довжина ребер якого дорівнює ${\displaystyle a}$:

Площа поверхні	${\displaystyle 6a^{2}\,}$	Об'єм	${\displaystyle a^{3}\,}$
Діагональ грані	${\displaystyle {\sqrt {2}}a}$	Просторова діагональ	${\textstyle {\sqrt {3}}a}$
Радіус описаної сфери	${\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{2}}a}$	Радіус сфери, що дотична до ребер	${\displaystyle {\frac {a}{\sqrt {2}}}}$
радіус вписаної сфери	${\displaystyle {\frac {a}{2}}}$	кут між гранями (у радіанах)	${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}}$

Куб має найбільший об'єм серед прямокутних паралелепіпедів із такою ж площею поверхні. А також куб, має найбільший об'єм серед прямокутних паралелепіпедів із такими ж загальними лінійними розмірами (довжина+висота+ширина).

Властивості куба[ред. | ред. код]

• У куб можна вписати тетраедр двома способами, притому чотири вершини тетраедра будуть суміщено з чотирма вершинами куба. Всі шість ребер тетраедра лежатимуть на всіх шести гранях куба і дорівнюватимуть діагоналі грані-квадрата.
• Чотири перетини куба є правильними шестикутниками — ці перетини проходять через центр куба перпендикулярно чотирьом його діагоналям.
• У куб можна вписати октаедр, притому всі шість вершин октаедра будуть суміщено з центрами шести граней куба.
• Куб можна вписати в октаедр, притому всі вісім вершин куба будуть розташовано в центрах восьми гранях октаедра.
• У куб можна вписати ікосаедр, при цьому, шість взаємно паралельних ребер ікосаедра будуть розташовані відповідно на шести гранях куба, решта 24 ребра всередині куба, всі дванадцять вершин ікосаедра лежатимуть на шести гранях куба.

Ортогональні проєкції[ред. | ред. код]

Куб має чотири спеціальні ортогональні проєкції, із центом, на одній з вершин, ребрі, грані і нормалі відносно її фігури вершин. Перша і друга відповідають A₂ і B₂ площинам Коксетера.

Ортогональні проєкції

Із центом в	Грані	Вершині
Площини Коксетера	B2	A2
Проєктивна симетрія	[4]	[6]
Вигляд під нахилом

Інші геометричні особливості[ред. | ред. код]

Куб має одинадцять різних розгорток: тобто, існує одинадцять способів зробити із куба пласку розгортку розрізаючи його по семи ребрах.^[2] Для того, щоб зафарбувати куб так, що сусідні грані не матимуть однакового кольору, необхідно принаймні три кольори.

Інші виміри[ред. | ред. код]

Аналог куба в чотиривимірному евклідовому просторі має спеціальну назву — тесеракт, або не так визначено — гіперкуб. Аналог куба в n-вимірному евклідовому просторі називається n-вимірним гіперкубом, або просто n-кубом.

В математичній теорії також для повноти розглядають куби менших розмірностей. Так, 0-вимірний куб — це просто точка. 1-вимірний куб — це відрізок. 2-вимірний куб — це квадрат.

Пов'язані многогранники та мозаїки[ред. | ред. код]

n32 симетрії кирпатих мозаїк: 3.3.3.3.n

Симетрія n32	Сферична				Евклідова	Компактна гіперболічна		Паракомп.
	232	332	432	532	632	732	832	∞32
Кирпаті фігури
Конфігурація	3.3.3.3.2	3.3.3.3.3	3.3.3.3.4	3.3.3.3.5	3.3.3.3.6	3.3.3.3.7	3.3.3.3.8	3.3.3.3.∞
Фігури
Конфігурація	V3.3.3.3.2	V3.3.3.3.3	V3.3.3.3.4	V3.3.3.3.5	V3.3.3.3.6	V3.3.3.3.7	V3.3.3.3.8	V3.3.3.3.∞

Однорідні октаедричні многогранники
Симетрія: [4,3], (*432)[en]							[4,3]+ (432)	[1+,4,3] = [3,3] (*332)[en]		[3+,4] (3*2)
{4,3}	t{4,3}	r{4,3} r{31,1}	t{3,4} t{31,1}	{3,4} {31,1}	rr{4,3} s2{3,4}	tr{4,3}	sr{4,3}	h{4,3} {3,3}	h2{4,3} t{3,3}	s{3,4} s{31,1}
		=	=	=				= or	= or	=
Двоїсті многогранники
V43	V3.82	V(3.4)2	V4.62	V34	V3.43	V4.6.8	V34.4	V33	V3.62	V35

Примітки[ред. | ред. код]

Див. також[ред. | ред. код]

• Шестигранники
• Блазенський ковпак
• Кубічна піраміда

Посилання[ред. | ред. код]

• Куб // Термінологічний словник-довідник з будівництва та архітектури / Р. А. Шмиг, В. М. Боярчук, І. М. Добрянський, В. М. Барабаш ; за заг. ред. Р. А. Шмига. — Львів, 2010. — С. 114. — ISBN 978-966-7407-83-4.
• The Uniform Polyhedra [Архівовано 11 лютого 2008 у Wayback Machine.]
• Virtual Reality Polyhedra [Архівовано 23 лютого 2008 у Wayback Machine.]
• Paper Models of Polyhedra [Архівовано 26 лютого 2013 у Wayback Machine.]
• https://www.mathros.net.ua/cube-definition.html

Це незавершена стаття з математики. Ви можете допомогти проєкту, виправивши або дописавши її.