Критерій мінімальної дисперсії

Крите́рій мінімальної дисперсії. Розглянемо ситуацію, коли особа, що приймає рішення зацікавлена не стільки у максимізації функції корисності, стільки у стабільності рішень, їх якомога більшої незалежності від станів. Введемо позначення: ${\displaystyle u(x,s)}$  — функція рішень, визначена на ${\displaystyle X\times S}$, де ${\displaystyle X}$ — множина альтернатив, ${\displaystyle S}$ — множина станів, а ${\displaystyle p(x,s)}$  — ймовірнісна міра ситуації ${\displaystyle {\mathcal {f}}x,s{\mathcal {g}}}$.

${\displaystyle D(x)=\int _{s\in S}[u(x,s)-E(x)]^{2}p(x,s)ds\;\;\forall \;x\in X}$, (1)

де ${\displaystyle E(x)=\int _{s\in S}u(x,s)p(x,s)ds}$.

У скінченно-вимірному випадку, якщо ${\displaystyle \mathbf {U} =[u_{kj}]_{M\times N}}$  — матриця рішень, а ${\displaystyle \mathbf {P} =[p_{kj}]_{M\times N}}$  — стохастична матриця то (1) записується так:

${\displaystyle D(x_{k})=\sum \limits _{j=1}^{N}[u_{kj}-E(x_{k})]^{2}p_{xj}\;\forall \;k={\overline {1,M}}}$, (2)

де ${\displaystyle E(x_{k})=\int _{s\in S}u(x,s)p(x,s)ds}$

Множина оптимальних альтернатив за критерієм мінімальної дисперсії формується так:

${\displaystyle X_{MV}=\arg \min _{x\in X}D(x)}$. (3)

${\displaystyle X_{MV}=\arg \min _{x_{k}\;k={\overline {1,M}}}D(x)}$. (4)

${\displaystyle \mathbf {U} ={\begin{bmatrix}4&1&5&4\\6&7&8&3\\9&1&2&4\\\end{bmatrix}}}$

${\displaystyle \mathbf {P} ={\begin{bmatrix}0.1&0.3&0.6&0\\0.2&0.5&0&0.3\\0.6&0.2&0.2&0\\\end{bmatrix}}}$

${\displaystyle E(x_{1})=4\cdot 0.1+1\cdot 0.3+5\cdot 0.6+4\cdot 0=3.7}$

${\displaystyle E(x_{2})=6\cdot 0.2+7\cdot 0.5+8\cdot 0+3\cdot 0.3=5.6}$

${\displaystyle E(x_{3})=9\cdot 0.6+1\cdot 0.2+2\cdot 0.2+4\cdot 0=6}$

${\displaystyle D(x_{1})=(4-3.7)^{2}\cdot 0.1+(1-3.7)^{2}\cdot 0.3+(5-3.7)^{2}\cdot 0.6+(4-3.7)^{2}\cdot 0=3.21}$

${\displaystyle D(x_{2})=(6-6.5)^{2}\cdot 0.2+(7-6.5)^{2}\cdot 0.5+(8-6.5)^{2}\cdot 0+(3-6.5)^{2}\cdot 0.3=3.04}$

${\displaystyle D(x_{3})=(9-6)^{2}\cdot 0.6+(1-6)^{2}\cdot 0.2+(2-6)^{2}\cdot 0.2+(4-6)^{2}\cdot 0=13.6}$

${\displaystyle X_{MV}=\arg \;\min _{x_{k}\;k={\overline {1,M}}}D(x)=\arg \;\min _{x_{k}\;k={\overline {1,M}}}\{3.21,3.04,13.6\}=\{x_{2}\}}$

Ця стаття не містить посилань на джерела. Ви можете допомогти поліпшити цю статтю, додавши посилання на надійні (авторитетні) джерела. Матеріал без джерел може бути піддано сумніву та вилучено. (липень 2022)