В диференціальній геометрії дужками Лі векторних полів або комутатором векторних полів називається оператор, що для двох векторних полів X і Y на гладкому многовиді M , визначає третє векторне поле, що позначається як [X , Y ].
Векторне поле [X ,Y ] можна визначити як похідну поля Y в напрямку потоку визначеного полем X . Узагальненням дужки Лі є похідна Лі , яка є диференціюванням тензорного поля в напрямку потоку векторного поля X .
Дужки Лі є білінійним оператором і простір векторних полів на многовиді разом з цією операцією є нескінченновимірною алгеброю Лі .
Дужки Лі відіграють значну роль в диференціальній геометрії і диференціальній топології.
Дужки Лі векторних полів можна визначити кількома еквівалентними способами:
Векторне поле X на гладкому многовиді M можна визначити як оператор диференціювання на множині гладких функцій визначених на M (деталі у статтях дотичний простір і дотичний вектор ). Окрім цього кожен оператор диференціювання задається через однозначно визначене векторне поле. Для гладких векторного поля X і функції f значення X(f) теж є гладкою функцією і тому для векторного поля Y має зміст вираз Y(X(f)) . Дужка Лі, [X,Y ], для векторних полів X і Y визначається як
[ X , Y ] ( f ) = X ( Y ( f ) ) − Y ( X ( f ) ) , ∀ f ∈ C ∞ ( M ) . {\displaystyle [X,Y](f)=X(Y(f))-Y(X(f)),\;\;\forall f\in C^{\infty }(M).} Визначений так оператор [X,Y ] є диференціюванням. Адитивність є очевидною, а правило добутку отримується з рівностей:
[ X , Y ] ( f g ) = X ( Y ( f g ) ) − Y ( X ( f g ) ) = X ( f Y ( g ) ) + X ( g Y ( f ) ) − Y ( f X ( g ) ) − Y ( g X ( f ) ) = f X ( Y ( g ) ) + X ( f ) Y ( g ) + X ( g ) Y ( f ) + g X ( Y ( f ) ) − f Y ( X ( g ) ) − Y ( f ) X ( g ) − Y ( g ) X ( f ) − g Y ( X ( f ) ) = f [ X , Y ] ( g ) + g [ X , Y ] ( f ) . {\displaystyle {\begin{aligned}[][X,Y](fg)=&X(Y(fg))-Y(X(fg))=X(fY(g))+X(gY(f))-Y(fX(g))-Y(gX(f))=\\&fX(Y(g))+X(f)Y(g)+X(g)Y(f)+gX(Y(f))-fY(X(g))-Y(f)X(g)-Y(g)X(f)-gY(X(f))=\\&f[X,Y](g)+g[X,Y](f).\end{aligned}}} Відповідно [X,Y ] є гладким векторним полем.
Нехай Φ t X {\displaystyle \Phi _{t}^{X}} потік для векторного поля X , а d позначатиме диференціал відображення. Тоді дужка Лі векторних полів X і Y в точці p ∈M може бути визначена як
[ X , Y ] p := lim t → 0 Y p − ( d Φ t X ) Y Φ − t X ( p ) t = d d t | t = 0 ( d Φ t X ) Y Φ − t X ( p ) {\displaystyle [X,Y]_{p}:=\lim _{t\to 0}{\frac {Y_{p}-(\mathrm {d} \Phi _{t}^{X})Y_{\Phi _{-t}^{X}(p)}}{t}}=\left.{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\right|_{t=0}(\mathrm {d} \Phi _{t}^{X})Y_{\Phi _{-t}^{X}(p)}} або еквівалентно:
[ X , Y ] p := 1 2 d 2 d t 2 | t = 0 ( Φ − t Y ∘ Φ − t X ∘ Φ t Y ∘ Φ t X ) ( p ) = d d t | t = 0 ( Φ − t Y ∘ Φ − t X ∘ Φ t Y ∘ Φ t X ) ( p ) {\displaystyle [X,Y]_{p}:=\left.{\frac {1}{2}}{\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {dt} ^{2}}}\right|_{t=0}(\Phi _{-t}^{Y}\circ \Phi _{-t}^{X}\circ \Phi _{t}^{Y}\circ \Phi _{t}^{X})(p)=\left.{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\right|_{t=0}(\Phi _{-{\sqrt {t}}}^{Y}\circ \Phi _{-{\sqrt {t}}}^{X}\circ \Phi _{\sqrt {t}}^{Y}\circ \Phi _{\sqrt {t}}^{X})(p)}
Для доведення еквівалентності двох означень, спершу слід зауважити, що якщо f ( t , p ) {\displaystyle f(t,p)} є функцією на I ε × M {\displaystyle I_{\varepsilon }\times M} , де I ε {\displaystyle I_{\varepsilon }} є відкритий інтервал ( − ε , ε ) {\displaystyle (-\varepsilon ,\varepsilon )} і f ( 0 , p ) = 0 {\displaystyle f(0,p)=0} для всіх p ∈ M {\displaystyle p\in M} , то функція g ( t , p ) = ∫ 0 1 f ′ ( t s , p ) d s {\displaystyle g(t,p)=\int _{0}^{1}f'(ts,p)ds} задовольняє властивості f ( t , p ) = t ⋅ g ( t , p ) {\displaystyle f(t,p)=t\cdot g(t,p)} і g ( 0 , p ) = f ′ ( 0 , p ) , {\displaystyle g(0,p)=f'(0,p),} де використані позначення f ′ = d f / d t {\displaystyle f'=df/dt} , для p ∈ M {\displaystyle p\in M} . Звідси випливає, що якщо Φ t X {\displaystyle \Phi _{t}^{X}} є потоком векторного поля X то для будь-якої функції f на М існує функція g t ( p ) = g ( t , p ) {\displaystyle g_{t}(p)=g(t,p)} така, що f ∘ Φ t X = f + t g t {\displaystyle f\circ \Phi _{t}^{X}=f+tg_{t}} і g 0 = X f {\displaystyle g_{0}=Xf} . Ця функція визначається для кожного фіксованого p ∈ M {\displaystyle p\in M} для | t | < ε {\displaystyle |t|<\varepsilon } для деякого ε {\displaystyle \varepsilon } . Дійсно, якщо ввести функцію F ( t , p ) = f ( Φ t X ( p ) ) − f ( p ) {\displaystyle F(t,p)=f(\Phi _{t}^{X}(p))-f(p)} то f ( 0 , p ) = 0 {\displaystyle f(0,p)=0} для всіх p ∈ M {\displaystyle p\in M} і з попереднього існує функція g t ( p ) = g ( t , p ) {\displaystyle g_{t}(p)=g(t,p)} для якої f ∘ Φ t X = f + t g t {\displaystyle f\circ \Phi _{t}^{X}=f+tg_{t}} і X f ( p ) = lim t → 0 f ( Φ t X ( p ) ) − f ( p ) t = lim t → 0 F ( t , p ) t = lim t → 0 g t ( p ) = g 0 ( p ) . {\displaystyle Xf(p)=\lim _{t\to 0}{\frac {f(\Phi _{t}^{X}(p))-f(p)}{t}}=\lim _{t\to 0}{\frac {F(t,p)}{t}}=\lim _{t\to 0}g_{t}(p)=g_{0}(p).} Позначимо тепер p ( t ) = Φ − t X ( p ) {\displaystyle p(t)=\Phi _{-t}^{X}(p)} . Тоді ( ( d Φ t X ) Y ) p f = Y ( f ∘ Φ t X ) p ( t ) = Y p ( t ) f + t Y p ( t ) g t {\displaystyle ((\mathrm {d} \Phi _{t}^{X})Y)_{p}f=Y(f\circ \Phi _{t}^{X})_{p(t)}=Y_{p(t)}f+tY_{p(t)}g_{t}} і звідси lim t → 0 Y p − ( d Φ t X ) Y p ( t ) t f = lim t → 0 Y p f − Y p ( t ) f t − lim t → 0 ( Y p ( t ) g t ) = X p ( Y f ) − Y p g 0 = [ X , Y ] p f . {\displaystyle \lim _{t\to 0}{\frac {Y_{p}-(\mathrm {d} \Phi _{t}^{X})Y_{p(t)}}{t}}f=\lim _{t\to 0}{\frac {Y_{p}f-Y_{p(t)}f}{t}}-\lim _{t\to 0}(Y_{p(t)}g_{t})=X_{p}(Yf)-Y_{p}g_{0}=[X,Y]_{p}f.} що і доводить наше твердження. Вибравши локальну координатну систему на многовиді M з координатними функціями { x i } {\displaystyle \{x_{i}\}} і позначивши ∂ i = ∂ ∂ x i {\displaystyle \partial _{i}={\frac {\partial }{\partial x_{i}}}} асоційований локальний базис дотичного розшарування , локально векторні поля можна записати як
X = ∑ i = 1 n X i ∂ i {\displaystyle X=\sum _{i=1}^{n}X_{i}\partial _{i}} Y = ∑ i = 1 n Y i ∂ i {\displaystyle Y=\sum _{i=1}^{n}Y_{i}\partial _{i}} де X i : M → R {\displaystyle X_{i}:M\to \mathbb {R} } and Y i : M → R {\displaystyle Y_{i}:M\to \mathbb {R} } — деякі гладкі функції . Тоді дужки Лі в цих координатах визначаються як
[ X , Y ] := ∑ i = 1 n ( X ( Y i ) − Y ( X i ) ) ∂ i = ∑ i = 1 n ∑ j = 1 n ( X j ∂ j Y i − Y j ∂ j X i ) ∂ i {\displaystyle [X,Y]:=\sum _{i=1}^{n}\left(X(Y^{i})-Y(X^{i})\right)\partial _{i}=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}\left(X^{j}\partial _{j}Y^{i}-Y^{j}\partial _{j}X^{i}\right)\partial _{i}} Сама форма запису показує, що [X,Y ] є векторним полем.
Якщо M є евклідовим простором R n або його відкритою підмножиною то векторні поля X і Y можна записати як гладкі відображення X : M → R n {\displaystyle X:M\to \mathbb {R} ^{n}} і Y : M → R n {\displaystyle Y:M\to \mathbb {R} ^{n}} , а дужка Лі [ X , Y ] : M → R n {\displaystyle [X,Y]:M\to \mathbb {R} ^{n}} може бути визначена як
[ X , Y ] := J Y X − J X Y {\displaystyle [X,Y]:=J_{Y}X-J_{X}Y} де J Y {\displaystyle J_{Y}} і J X {\displaystyle J_{X}} — матриці Якобі відображень Y {\displaystyle Y} і X {\displaystyle X} відповідно.
Разом з операцією дужок Лі векторний простій V = Γ ( T M ) {\displaystyle V=\Gamma (TM)} всіх гладких векторних полів на M (тобто гладких перерізів дотичного розшарування T M {\displaystyle TM} многовида M {\displaystyle M} ) є алгеброю Лі, тобто [·,·] є відображенням V × V → V {\displaystyle V\times V\to V} з такими властивостями:
[ ⋅ , ⋅ ] {\displaystyle [\cdot ,\cdot ]} is R -білінійним відображенням, тобто [ X + Y , Z ] = [ X , Z ] + [ Y , Z ] , [ X , Y + Z ] = [ X , Y ] + [ X , Z ] {\displaystyle [X+Y,Z]=[X,Z]+[Y,Z],\;[X,Y+Z]=[X,Y]+[X,Z]} для всіх векторних полів X ,Y , Z ; [ X , Y ] = − [ Y , X ] {\displaystyle [X,Y]=-[Y,X]\,} і, еквівалентно, [ X , X ] = 0 {\displaystyle [X,X]=0} для всіх векторних полів X {\displaystyle X} ; [ X , [ Y , Z ] ] + [ Z , [ X , Y ] ] + [ Y , [ Z , X ] ] = 0. {\displaystyle [X,[Y,Z]]+[Z,[X,Y]]+[Y,[Z,X]]=0.\,} Ця властивість називається тотожністю Якобі; Для гладкої функції f визначеної на M дужка Лі векторних полів X і fY задовольняє рівність [ X , f Y ] = X ( f ) Y + f [ X , Y ] {\displaystyle [X,fY]=X(f)Y+f[X,Y]} [ X , Y ] = 0 {\displaystyle [X,Y]=0\,} тоді й лише тоді коли X і Y локально комутують, тобто для всіх x ∈M і достатньо малих дійсних чисел s , t виконується рівність ( Φ t Y Φ s X ) ( x ) = ( Φ s X Φ t Y ) ( x ) {\displaystyle (\Phi _{t}^{Y}\Phi _{s}^{X})(x)=(\Phi _{s}^{X}\,\Phi _{t}^{Y})(x)} . Нехай тепер M , N — гладкі многовиди, F — гладке відображення між ними, dF — диференціал цього відображення, а X і Y — векторні поля на M . Тоді виконується рівність: d F ( [ X , Y ] ) = [ d F ( X ) , d F ( Y ) ] {\displaystyle \operatorname {d} F([X,Y])=[\operatorname {d} F(X),\operatorname {d} F(Y)]\,} Для точки p ∈ M {\displaystyle p\in M} диференціал dF є відображенням з дотичного простору T p ( M ) {\displaystyle T_{p}(M)} в дотичний простір T F ( p ) ( N ) , {\displaystyle T_{F(p)}(N),} таким що для функції g ∈ C ∞ ( N ) {\displaystyle g\in C^{\infty }(N)} за визначенням d F ( X ) ( g ) ( F ( p ) ) = X ( g ∘ F ) ( p ) {\displaystyle \operatorname {d} F(X)(g)(F(p))=X(g\circ F)(p)} і тому d F ( X ) ( g ) ∘ F = X ( g ∘ F ) {\displaystyle \operatorname {d} F(X)(g)\circ F=X(g\circ F)} Тож для довільних гладких векторних полів X , Y {\displaystyle X,Y} і всіх функцій g ∈ C ∞ ( N ) {\displaystyle g\in C^{\infty }(N)} d F [ X , Y ] F ( p ) ( g ) = [ X , Y ] p ( g ∘ F ) = X p ( Y ( g ∘ F ) ) − Y p ( X ( g ∘ F ) ) = X p ( d F ( Y ) ( g ) ∘ F ) − Y p ( d F ( X ) ( g ) ∘ F ) = d F ( X ) F ( p ) ( d F ( Y ) ( g ) ) − d F ( Y ) F ( p ) ( d F ( X ) ( g ) ) = [ d F ( X ) , d F ( Y ) ] F ( p ) ( g ) {\displaystyle {\begin{aligned}&\operatorname {d} F[X,Y]_{F(p)}(g)=[X,Y]_{p}(g\circ F)\\&=X_{p}(Y(g\circ F))-Y_{p}(X(g\circ F))\\&=X_{p}(\operatorname {d} F(Y)(g)\circ F)-Y_{p}(\operatorname {d} F(X)(g)\circ F)\\&=\operatorname {d} F(X)_{F(p)}(\operatorname {d} F(Y)(g))-\operatorname {d} F(Y)_{F(p)}(\operatorname {d} F(X)(g))\\&=[\operatorname {d} F(X),\operatorname {d} F(Y)]_{F(p)}(g)\end{aligned}}} Звідси і отримується необхідна рівність. Голод П. І. , Клімик А. У. Математичні основи теорії симетрії. — : Наукова думка, 1992. — 368 с. (укр.) Hazewinkel, Michiel, ред. (2001), Lie bracket , Математична енциклопедія , Springer , ISBN 978-1-55608-010-4 Hicks, Noel (1965), Notes on Differential Geometry , Van Nostrand, Princeton, N. J, ISBN 0442034105 (англ.) Kolar, I., Michor, P., and Slovak, J. (1993), Natural operations in differential geometry , Springer-Verlag, архів оригіналу за 14 лютого 2021, процитовано 2 грудня 2016 Lang, S. (1995), Differential and Riemannian manifolds , Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-94338-1 Warner, Frank (1983) [1971], Foundations of differentiable manifolds and Lie groups , New York-Berlin: Springer-Verlag, ISBN 0-387-90894-3