Жуль Анрі́ Пуанкаре́ Група Пуанкаре , Неоднорідна група Лоренца - група, що об'єднує групу Лоренца (однорідну) та групу трансляцій. Відповідно, для 4-простору-часу група - 10-параметрична:
x α ′ = a α + Λ β α x β {\displaystyle \ x^{\alpha }{'}=a^{\alpha }+\Lambda _{\beta }^{\alpha }x^{\beta }} . Інваріантом групи є величина (трансляційно інваріантна, на відміну від інваріанта групи Лоренца)
c 2 ( t 1 − t 2 ) 2 − ( r 1 − r 2 ) 2 = inv {\displaystyle \ c^{2}(t_{1}-t_{2})^{2}-(\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2})^{2}={\text{inv}}} . Група названа на честь Анрі Пуанкаре .
Генератори та алгебра групи [ ред. | ред. код ] Перетворення можна записати у матричному вигляді фіктивного 5-вимірного простору-часу:
( t ′ x ′ y ′ z ′ 1 ) = ( Λ 0 0 Λ 1 0 Λ 2 0 Λ 3 0 a 0 Λ 0 1 Λ 1 1 Λ 2 1 Λ 3 1 a 1 Λ 0 2 Λ 1 2 Λ 2 2 Λ 3 2 a 2 Λ 0 3 Λ 1 3 Λ 2 3 Λ 3 3 a 3 0 0 0 0 1 ) ( t x y z 1 ) {\displaystyle \ {\begin{pmatrix}t'\\x'\\y'\\z'\\1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\Lambda _{0}^{0}&\Lambda _{1}^{0}&\Lambda _{2}^{0}&\Lambda _{3}^{0}&a^{0}\\\Lambda _{0}^{1}&\Lambda _{1}^{1}&\Lambda _{2}^{1}&\Lambda _{3}^{1}&a^{1}\\\Lambda _{0}^{2}&\Lambda _{1}^{2}&\Lambda _{2}^{2}&\Lambda _{3}^{2}&a^{2}\\\Lambda _{0}^{3}&\Lambda _{1}^{3}&\Lambda _{2}^{3}&\Lambda _{3}^{3}&a^{3}\\0&0&0&0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}t\\x\\y\\z\\1\end{pmatrix}}} .
Якщо використати операторний формалізм, що пов'язує інфінітезимальні оператори з генераторами виразом Y ^ i = − ( X ^ i ) α β x β ∂ α {\displaystyle \ {\hat {\mathbf {Y} }}_{i}=-({\hat {\mathbf {X} }}_{i})_{\alpha \beta }x_{\beta }\partial _{\alpha }} , то при використанні генераторів 3-поворотів та лоренцевських бустів утворюється шість наступних операторів:
L ^ x = − ( L ^ x ) 01 x 1 ∂ 0 − ( L ^ x ) 10 x 0 ∂ 1 = 1 c x ∂ t + c t ∂ x , L ^ y = c t ∂ y + 1 c y ∂ t , L ^ z = c t ∂ z + 1 c z ∂ t {\displaystyle \ {\hat {L}}_{x}=-({\hat {\mathbf {L} }}_{x})_{01}x_{1}\partial _{0}-({\hat {\mathbf {L} }}_{x})_{10}x_{0}\partial _{1}={\frac {1}{c}}x\partial _{t}+ct\partial _{x},\quad {\hat {L}}_{y}=ct\partial _{y}+{\frac {1}{c}}y\partial _{t},\quad {\hat {L}}_{z}=ct\partial _{z}+{\frac {1}{c}}z\partial _{t}} ,
R ^ x = y ∂ z − z ∂ y , R ^ y = z ∂ x − x ∂ z , R ^ z = x ∂ y − y ∂ x {\displaystyle \ {\hat {R}}_{x}=y\partial _{z}-z\partial _{y},\quad {\hat {R}}_{y}=z\partial _{x}-x\partial _{z},\quad {\hat {R}}_{z}=x\partial _{y}-y\partial _{x}} .
Далі, оператор інфінітезимального перетворення, що відповідає генератору трансляцій x α ′ = x α + a α = f α {\displaystyle \ x^{\alpha }{'}=x^{\alpha }+a^{\alpha }=f_{\alpha }} , має вигляд (множник i {\displaystyle \ i} введений для ермітовості оператора)
P ^ α = i ∂ f α ∂ a β ∂ β = i δ α β ∂ β = i ∂ α {\displaystyle \ {\hat {P}}_{\alpha }=i{\frac {\partial f_{\alpha }}{\partial a^{\beta }}}\partial _{\beta }=i\delta _{\alpha \beta }\partial _{\beta }=i\partial _{\alpha }} .
Із структури операторів видно, що вони утворюють компоненти антисиметричного 4-тензора
J ^ α β = i ( x α ∂ β − x β ∂ α ) = x α P ^ β − x β P ^ α = ( 0 L ^ x L ^ y L ^ z − L ^ x 0 − R ^ z R ^ y − L ^ y R ^ z 0 − R ^ x − L ^ z − R ^ y R ^ x 0 ) {\displaystyle \ {\hat {J}}_{\alpha \beta }=i(x_{\alpha }\partial _{\beta }-x_{\beta }\partial _{\alpha })=x_{\alpha }{\hat {P}}_{\beta }-x_{\beta }{\hat {P}}_{\alpha }={\begin{pmatrix}0&{\hat {L}}_{x}&{\hat {L}}_{y}&{\hat {L}}_{z}\\-{\hat {L}}_{x}&0&-{\hat {R}}_{z}&{\hat {R}}_{y}\\-{\hat {L}}_{y}&{\hat {R}}_{z}&0&-{\hat {R}}_{x}\\-{\hat {L}}_{z}&-{\hat {R}}_{y}&{\hat {R}}_{x}&0\end{pmatrix}}} ,
де враховано, що 4-радіус-вектор - контраваріантний, а 4-вектор похідної - коваріантний.
Тепер можна перейти до алгебри групи Пуанкаре. Генераторами алгебри є, таким чином, оператори J ^ α β , P ^ {\displaystyle \ {\hat {J}}_{\alpha \beta },{\hat {\mathbf {P} }}} . Отже, алгебра Пуанкаре - алгебра виду
[ P ^ α , P ^ β ] = 0 , [ P ^ α , J ^ β γ ] = i ( g α β P ^ γ − g α γ P ^ β ) , [ J ^ α β , J ^ γ δ ] = i ( − g α δ J ^ γ β + g β γ J ^ α δ + g α γ J ^ δ β − g β δ J ^ α γ ) {\displaystyle \ [{\hat {P}}_{\alpha },{\hat {P}}_{\beta }]=0,\quad [{\hat {P}}_{\alpha },{\hat {J}}_{\beta \gamma }]=i(g_{\alpha \beta }{\hat {P}}_{\gamma }-g_{\alpha \gamma }{\hat {P}}_{\beta }),\quad [{\hat {J}}_{\alpha \beta },{\hat {J}}_{\gamma \delta }]=i\left(-g_{\alpha \delta }{\hat {J}}_{\gamma \beta }+g_{\beta \gamma }{\hat {J}}_{\alpha \delta }+g_{\alpha \gamma }{\hat {J}}_{\delta \beta }-g_{\beta \delta }{\hat {J}}_{\alpha \gamma }\right)} .
Доведення.
[ P ^ α , P ^ β ] F = 0 {\displaystyle \ [{\hat {P}}_{\alpha },{\hat {P}}_{\beta }]F=0} ,
в силу комутативності похідних.
[ P ^ α , J ^ β γ ] F = − [ ∂ α , ( x β ∂ γ − x γ ∂ β ) ] F = − ( ∂ α ( x β ∂ γ − x γ ∂ β ) − ( x β ∂ γ − x γ ∂ β ) ∂ α ) F = | ∂ α x β = g α β | = {\displaystyle \ [{\hat {P}}_{\alpha },{\hat {J}}_{\beta \gamma }]F=-[\partial _{\alpha },(x_{\beta }\partial _{\gamma }-x_{\gamma }\partial _{\beta })]F=-(\partial _{\alpha }(x_{\beta }\partial _{\gamma }-x_{\gamma }\partial _{\beta })-(x^{\beta }\partial _{\gamma }-x^{\gamma }\partial _{\beta })\partial _{\alpha })F=|\partial _{\alpha }x_{\beta }=g_{\alpha \beta }|=}
= − ( g α β ∂ γ + x β ∂ α ∂ γ − g α γ ∂ β − x γ ∂ α ∂ β − x β ∂ γ ∂ α − x γ ∂ β ∂ α ) F = i 2 ( g α β ∂ γ − g α γ ∂ β ) = i ( g α β P ^ γ − g α γ P ^ β ) {\displaystyle \ =-(g_{\alpha \beta }\partial _{\gamma }+x_{\beta }\partial _{\alpha }\partial _{\gamma }-g_{\alpha \gamma }\partial _{\beta }-x_{\gamma }\partial _{\alpha }\partial _{\beta }-x_{\beta }\partial _{\gamma }\partial _{\alpha }-x_{\gamma }\partial _{\beta }\partial _{\alpha })F=i^{2}(g_{\alpha \beta }\partial _{\gamma }-g_{\alpha \gamma }\partial _{\beta })=i(g_{\alpha \beta }{\hat {P}}_{\gamma }-g_{\alpha \gamma }{\hat {P}}_{\beta })} .
Далі, враховуючи комутатор
[ x α , P ^ β ] F = i ( x α ∂ β − ∂ β x α ) F = − i g α β F {\displaystyle \ [x_{\alpha },{\hat {P}}_{\beta }]F=i(x_{\alpha }\partial _{\beta }-\partial _{\beta }x_{\alpha })F=-ig_{\alpha \beta }F} ,
можна отримати
[ J ^ α β , J ^ γ δ ] F = [ ( x α P ^ β − x β P ^ α ) , ( x γ P ^ δ − x δ P ^ γ ) ] F = {\displaystyle \ [{\hat {J}}_{\alpha \beta },{\hat {J}}_{\gamma \delta }]F=[(x_{\alpha }{\hat {P}}_{\beta }-x_{\beta }{\hat {P}}_{\alpha }),(x_{\gamma }{\hat {P}}_{\delta }-x_{\delta }{\hat {P}}_{\gamma })]F=}
= ( x γ [ x α , P ^ δ ] P ^ β + x α [ P ^ β , x γ ] P ^ δ − x δ [ x α , P ^ γ ] P ^ β − x α [ P ^ β , x δ ] P ^ γ − x γ [ x β , P ^ δ ] P ^ α − x β [ P ^ α , x γ ] P ^ δ + x δ [ x β , P ^ γ ] P ^ α + x β [ P ^ α , x δ ] P ^ γ ) F = {\displaystyle \ =\left(x_{\gamma }[x_{\alpha },{\hat {P}}_{\delta }]{\hat {P}}_{\beta }+x_{\alpha }[{\hat {P}}_{\beta },x_{\gamma }]{\hat {P}}_{\delta }-x_{\delta }[x_{\alpha },{\hat {P}}_{\gamma }]{\hat {P}}_{\beta }-x_{\alpha }[{\hat {P}}_{\beta },x_{\delta }]{\hat {P}}_{\gamma }-x_{\gamma }[x_{\beta },{\hat {P}}_{\delta }]{\hat {P}}_{\alpha }-x_{\beta }[{\hat {P}}_{\alpha },x_{\gamma }]{\hat {P}}_{\delta }+x_{\delta }[x_{\beta },{\hat {P}}_{\gamma }]{\hat {P}}_{\alpha }+x_{\beta }[{\hat {P}}_{\alpha },x_{\delta }]{\hat {P}}_{\gamma }\right)F=}
= i ( x γ g α δ P ^ β + x α g γ β P ^ δ + x δ g α γ P ^ β − x α g β δ P ^ γ + x γ g β δ P ^ α − x β g α γ P ^ δ − x δ g γ β P ^ α + x β g α δ P ^ γ ) F = {\displaystyle \ =i\left(x_{\gamma }g_{\alpha \delta }{\hat {P}}_{\beta }+x_{\alpha }g_{\gamma \beta }{\hat {P}}_{\delta }+x_{\delta }g_{\alpha \gamma }{\hat {P}}_{\beta }-x_{\alpha }g_{\beta \delta }{\hat {P}}_{\gamma }+x_{\gamma }g_{\beta \delta }{\hat {P}}_{\alpha }-x_{\beta }g_{\alpha \gamma }{\hat {P}}_{\delta }-x_{\delta }g_{\gamma \beta }{\hat {P}}_{\alpha }+x_{\beta }g_{\alpha \delta }{\hat {P}}_{\gamma }\right)F=}
= i ( − g α δ J ^ γ β + g β γ J ^ α δ + g α γ J ^ δ β − g β δ J ^ α γ ) F {\displaystyle \ =i\left(-g_{\alpha \delta }{\hat {J}}_{\gamma \beta }+g_{\beta \gamma }{\hat {J}}_{\alpha \delta }+g_{\alpha \gamma }{\hat {J}}_{\delta \beta }-g_{\beta \delta }{\hat {J}}_{\alpha \gamma }\right)F} ,
де знаки (а отже - і порядок індексів у тензорі J ^ μ ν {\displaystyle \ {\hat {J}}_{\mu \nu }} ) обрані довільно.
Оператори Казиміра групи. Загальні властивості алгебри [ ред. | ред. код ] Тепер можна знайти оператори Казиміра. Один із них - тривіальний і є квадратом 4-імпульсу P ^ α P ^ α {\displaystyle \ {\hat {P}}^{\alpha }{\hat {P}}_{\alpha }} : дійсно,
[ P ^ α , P ^ β P ^ β ] = 2 [ P ^ α , P ^ β ] P ^ β = 0 {\displaystyle \ [{\hat {P}}_{\alpha },{\hat {P}}_{\beta }{\hat {P}}^{\beta }]=2[{\hat {P}}_{\alpha },{\hat {P}}_{\beta }]{\hat {P}}^{\beta }=0} ,
[ J ^ α β , P ^ γ P ^ γ ] = 2 [ x α , P ^ γ ] P ^ γ P ^ β − 2 [ x β , P ^ γ ] P ^ γ P ^ α = − 2 i ( g α γ P ^ γ P ^ β − g γ β P ^ γ P ^ α ) = 0 {\displaystyle \ [{\hat {J}}_{\alpha \beta },{\hat {P}}_{\gamma }{\hat {P}}^{\gamma }]=2[x_{\alpha },{\hat {P}}_{\gamma }]{\hat {P}}^{\gamma }{\hat {P}}_{\beta }-2[x_{\beta },{\hat {P}}_{\gamma }]{\hat {P}}^{\gamma }{\hat {P}}_{\alpha }=-2i(g_{\alpha \gamma }{\hat {P}}^{\gamma }{\hat {P}}_{\beta }-g_{\gamma \beta }{\hat {P}}^{\gamma }{\hat {P}}_{\alpha })=0} .
Для знаходження іншого можна ввести оператор Паулі-Любанського:
W ^ α = 1 2 ε α β γ δ J ^ β γ P ^ δ {\displaystyle \ {\hat {W}}^{\alpha }={\frac {1}{2}}\varepsilon ^{\alpha \beta \gamma \delta }{\hat {J}}_{\beta \gamma }{\hat {P}}_{\delta }} .
громіздкі викладки дозволяють отримати
[ W ^ β , P ^ α ] = 0 , [ W ^ μ , J ^ κ λ ] = i ( W ^ λ g μ κ − W ^ κ g μ λ ) , [ W ^ α , W ^ κ ] = i ε α β κ δ W ^ β P ^ δ {\displaystyle \ [{\hat {W}}_{\beta },{\hat {P}}_{\alpha }]=0,\quad [{\hat {W}}_{\mu },{\hat {J}}_{\kappa \lambda }]=i\left({\hat {W}}_{\lambda }g_{\mu \kappa }-{\hat {W}}_{\kappa }g_{\mu \lambda }\right),\quad [{\hat {W}}_{\alpha },{\hat {W}}_{\kappa }]=i\varepsilon _{\alpha \beta \kappa \delta }{\hat {W}}^{\beta }{\hat {P}}^{\delta }} ,
W ^ λ W ^ λ = N ^ α N ^ α − 1 2 P ^ γ P ^ γ J ^ α β J ^ α β , [ J ^ α β , W ^ λ W ^ λ ] = 0 , [ P ^ α , W ^ λ W ^ λ ] = 0 {\displaystyle \ {\hat {W}}_{\lambda }{\hat {W}}^{\lambda }={\hat {N}}_{\alpha }{\hat {N}}^{\alpha }-{\frac {1}{2}}{\hat {P}}_{\gamma }{\hat {P}}^{\gamma }{\hat {J}}_{\alpha \beta }{\hat {J}}^{\alpha \beta },\quad [{\hat {J}}_{\alpha \beta },{\hat {W}}_{\lambda }{\hat {W}}^{\lambda }]=0,\quad [{\hat {P}}_{\alpha },{\hat {W}}_{\lambda }{\hat {W}}^{\lambda }]=0} .
Доведення.
Комутаційні співвідношення для оператора .
Просто показати нульову рівність комутатора [ P ^ α , W ^ β ] {\displaystyle \ [{\hat {P}}_{\alpha },{\hat {W}}_{\beta }]} :
[ P ^ α , W ^ β ] = 1 2 ε β γ δ ϵ [ P ^ α , J ^ γ δ ] P ^ ϵ = i 2 ε β γ δ ϵ ( δ α γ P ^ δ − δ α δ P ^ γ ) P ^ ϵ = 0 {\displaystyle \ [{\hat {P}}_{\alpha },{\hat {W}}_{\beta }]={\frac {1}{2}}\varepsilon _{\beta \gamma \delta \epsilon }[{\hat {P}}_{\alpha },{\hat {J}}^{\gamma \delta }]{\hat {P}}^{\epsilon }={\frac {i}{2}}\varepsilon _{\beta \gamma \delta \epsilon }\left(\delta _{\alpha }^{\gamma }{\hat {P}}^{\delta }-\delta _{\alpha }^{\delta }{\hat {P}}^{\gamma }\right){\hat {P}}^{\epsilon }=0} ,
як результат згортки симетричного тензора P ^ μ P ^ ν {\displaystyle \ {\hat {P}}^{\mu }{\hat {P}}^{\nu }} із антисиметричним ε α β μ ν {\displaystyle \ \varepsilon _{\alpha \beta \mu \nu }} .
Для знаходження комутатора [ J ^ i j , W ^ α ] {\displaystyle \ [{\hat {J}}_{ij},{\hat {W}}_{\alpha }]} можна використати ортогональність P ^ μ , W ^ μ {\displaystyle \ {\hat {P}}_{\mu },{\hat {W}}^{\mu }} : дійсно,
W ^ μ P ^ μ = 1 2 ε μ α β γ J ^ α β P ^ γ P ^ μ = 0 {\displaystyle \ {\hat {W}}^{\mu }{\hat {P}}_{\mu }={\frac {1}{2}}\varepsilon ^{\mu \alpha \beta \gamma }{\hat {J}}_{\alpha \beta }{\hat {P}}_{\gamma }{\hat {P}}_{\mu }=0} .
Тому комутатор [ J ^ κ λ , W ^ μ P ^ μ ] {\displaystyle \ [{\hat {J}}_{\kappa \lambda },{\hat {W}}^{\mu }{\hat {P}}_{\mu }]} тотожньо рівний нулю. З іншого боку, якщо його розписати, то можна отримати
0 = [ J ^ κ λ , W ^ μ P ^ μ ] = W ^ μ [ J ^ κ λ , P ^ μ ] + [ J ^ κ λ , W ^ μ ] P ^ μ = − i W ^ μ ( g μ κ P ^ λ − g μ λ P ^ κ ) + [ J ^ κ λ , W ^ μ ] P ^ μ ⇒ [ J ^ κ λ , W ^ μ ] P ^ μ = i W ^ μ ( g μ κ P ^ λ − g μ λ P ^ κ ) {\displaystyle \ 0=[{\hat {J}}_{\kappa \lambda },{\hat {W}}^{\mu }{\hat {P}}_{\mu }]={\hat {W}}^{\mu }[{\hat {J}}_{\kappa \lambda },{\hat {P}}_{\mu }]+[{\hat {J}}_{\kappa \lambda },{\hat {W}}^{\mu }]{\hat {P}}_{\mu }=-i{\hat {W}}^{\mu }(g_{\mu \kappa }{\hat {P}}_{\lambda }-g_{\mu \lambda }{\hat {P}}_{\kappa })+[{\hat {J}}_{\kappa \lambda },{\hat {W}}^{\mu }]{\hat {P}}_{\mu }\Rightarrow [{\hat {J}}_{\kappa \lambda },{\hat {W}}^{\mu }]{\hat {P}}_{\mu }=i{\hat {W}}^{\mu }(g_{\mu \kappa }{\hat {P}}_{\lambda }-g_{\mu \lambda }{\hat {P}}_{\kappa })} ,
або, згортаючи із символами Кронекера, δ 0 0 = 1 , δ i i = − 1 {\displaystyle \ \delta _{0}^{0}=1,\delta _{i}^{i}=-1} ,
[ J ^ κ λ , W ^ μ ] P ^ μ = i W ^ μ ( g μ κ P ^ λ − g μ λ P ^ κ ) = i ( W ^ κ P ^ λ − W ^ λ P ^ κ ) = i ( W ^ κ δ λ μ − W ^ λ δ κ μ ) P ^ μ ⇒ [ W ^ μ , J ^ κ λ ] = i ( W ^ λ g μ κ − W ^ κ g μ λ ) {\displaystyle \ [{\hat {J}}_{\kappa \lambda },{\hat {W}}^{\mu }]{\hat {P}}_{\mu }=i{\hat {W}}^{\mu }(g_{\mu \kappa }{\hat {P}}_{\lambda }-g_{\mu \lambda }{\hat {P}}_{\kappa })=i({\hat {W}}_{\kappa }{\hat {P}}_{\lambda }-{\hat {W}}_{\lambda }{\hat {P}}_{\kappa })=i\left({\hat {W}}_{\kappa }\delta _{\lambda }^{\mu }-{\hat {W}}_{\lambda }\delta _{\kappa }^{\mu }\right){\hat {P}}_{\mu }\Rightarrow [{\hat {W}}_{\mu },{\hat {J}}_{\kappa \lambda }]=i\left({\hat {W}}_{\lambda }g_{\mu \kappa }-{\hat {W}}_{\kappa }g_{\mu \lambda }\right)} .
Нарешті, якщо використати ці два комутатори, можна отримати
[ W ^ α , W ^ κ ] = 1 2 ε α β γ δ [ J ^ β γ , W ^ κ ] P ^ δ = i 2 ε α β γ δ ( δ γ κ W ^ β − δ β κ W ^ γ ) P ^ δ = i 2 ε α β κ δ W ^ β P ^ δ − i 2 ε α κ γ δ W ^ γ P ^ δ = i ε α β κ δ W ^ β P ^ δ {\displaystyle \ [{\hat {W}}^{\alpha },{\hat {W}}^{\kappa }]={\frac {1}{2}}\varepsilon ^{\alpha \beta \gamma \delta }[{\hat {J}}_{\beta \gamma },{\hat {W}}^{\kappa }]{\hat {P}}_{\delta }={\frac {i}{2}}\varepsilon ^{\alpha \beta \gamma \delta }\left(\delta _{\gamma }^{\kappa }{\hat {W}}_{\beta }-\delta _{\beta }^{\kappa }{\hat {W}}_{\gamma }\right){\hat {P}}_{\delta }={\frac {i}{2}}\varepsilon ^{\alpha \beta \kappa \delta }{\hat {W}}_{\beta }{\hat {P}}_{\delta }-{\frac {i}{2}}\varepsilon ^{\alpha \kappa \gamma \delta }{\hat {W}}_{\gamma }{\hat {P}}_{\delta }=i\varepsilon ^{\alpha \beta \kappa \delta }{\hat {W}}_{\beta }{\hat {P}}_{\delta }} .
Квадрат оператора .
Використовуючи рівність
ε α β γ λ ε λ μ ν σ = δ α μ ε β γ ν σ + δ γ μ ε α β ν σ + δ β μ ε γ α ν σ {\displaystyle \ \varepsilon _{\alpha \beta \gamma \lambda }\varepsilon ^{\lambda \mu \nu \sigma }=\delta _{\alpha }^{\mu }\varepsilon _{\beta \gamma }^{\nu \sigma }+\delta _{\gamma }^{\mu }\varepsilon _{\alpha \beta }^{\nu \sigma }+\delta _{\beta }^{\mu }\varepsilon _{\gamma \alpha }^{\nu \sigma }} ,
а також - умову антисиметричності тензору спіну S ^ α β {\displaystyle \ {\hat {S}}_{\alpha \beta }} (в силу однаковості алгебр S ^ α β {\displaystyle \ {\hat {S}}_{\alpha \beta }} і i ( x α P ^ β − x β P ^ α ) {\displaystyle \ i(x_{\alpha }{\hat {P}}_{\beta }-x_{\beta }{\hat {P}}_{\alpha })} ), вираз для квадрату оператора Паулі-Любанського можна переписати як
W ^ λ W ^ λ = 1 4 ε λ α β γ J ^ α β P ^ γ ε λ μ ν σ J ^ μ ν P ^ σ = − 1 4 ε α β γ λ ε λ μ ν σ J ^ α β P ^ γ J ^ μ ν P ^ σ = − 1 4 ( δ α μ ε β γ ν σ + δ γ μ ε α β ν σ + δ β μ ε γ α ν σ ) J ^ α β P ^ γ J ^ μ ν P ^ σ = {\displaystyle \ {\hat {W}}_{\lambda }{\hat {W}}^{\lambda }={\frac {1}{4}}\varepsilon _{\lambda \alpha \beta \gamma }{\hat {J}}^{\alpha \beta }{\hat {P}}^{\gamma }\varepsilon ^{\lambda \mu \nu \sigma }{\hat {J}}_{\mu \nu }{\hat {P}}_{\sigma }=-{\frac {1}{4}}\varepsilon _{\alpha \beta \gamma \lambda }\varepsilon ^{\lambda \mu \nu \sigma }{\hat {J}}^{\alpha \beta }{\hat {P}}^{\gamma }{\hat {J}}_{\mu \nu }{\hat {P}}_{\sigma }=-{\frac {1}{4}}\left(\delta _{\alpha }^{\mu }\varepsilon _{\beta \gamma }^{\nu \sigma }+\delta _{\gamma }^{\mu }\varepsilon _{\alpha \beta }^{\nu \sigma }+\delta _{\beta }^{\mu }\varepsilon _{\gamma \alpha }^{\nu \sigma }\right){\hat {J}}^{\alpha \beta }{\hat {P}}^{\gamma }{\hat {J}}_{\mu \nu }{\hat {P}}_{\sigma }=}
= − 1 4 ( δ α μ δ β ν δ γ σ − δ α μ δ γ ν δ β σ + δ γ μ δ α ν δ β σ − δ γ μ δ β ν δ α σ + δ β μ δ γ ν δ α σ − δ β μ δ α ν δ γ σ ) J ^ α β P ^ γ J ^ μ ν P ^ σ = {\displaystyle \ =-{\frac {1}{4}}\left(\delta _{\alpha }^{\mu }\delta _{\beta }^{\nu }\delta _{\gamma }^{\sigma }-\delta _{\alpha }^{\mu }\delta _{\gamma }^{\nu }\delta _{\beta }^{\sigma }+\delta _{\gamma }^{\mu }\delta _{\alpha }^{\nu }\delta _{\beta }^{\sigma }-\delta _{\gamma }^{\mu }\delta _{\beta }^{\nu }\delta _{\alpha }^{\sigma }+\delta _{\beta }^{\mu }\delta _{\gamma }^{\nu }\delta _{\alpha }^{\sigma }-\delta _{\beta }^{\mu }\delta _{\alpha }^{\nu }\delta _{\gamma }^{\sigma }\right){\hat {J}}^{\alpha \beta }{\hat {P}}^{\gamma }{\hat {J}}_{\mu \nu }{\hat {P}}_{\sigma }=}
= − 1 4 ( J ^ μ ν P ^ σ J ^ μ ν P ^ σ − J ^ μ σ P ^ γ J ^ μ γ P ^ σ + J ^ ν σ P ^ μ J ^ μ ν P ^ σ − J ^ σ ν P ^ μ J ^ μ ν P ^ σ + J ^ σ μ P ^ ν J ^ μ ν P ^ σ − J ^ ν μ P ^ σ J ^ μ ν P ^ σ ) = {\displaystyle \ =-{\frac {1}{4}}\left({\hat {J}}^{\mu \nu }{\hat {P}}^{\sigma }{\hat {J}}_{\mu \nu }{\hat {P}}_{\sigma }-{\hat {J}}^{\mu \sigma }{\hat {P}}^{\gamma }{\hat {J}}_{\mu \gamma }{\hat {P}}_{\sigma }+{\hat {J}}^{\nu \sigma }{\hat {P}}^{\mu }{\hat {J}}_{\mu \nu }{\hat {P}}_{\sigma }-{\hat {J}}^{\sigma \nu }{\hat {P}}^{\mu }{\hat {J}}_{\mu \nu }{\hat {P}}_{\sigma }+{\hat {J}}^{\sigma \mu }{\hat {P}}^{\nu }{\hat {J}}_{\mu \nu }{\hat {P}}_{\sigma }-{\hat {J}}^{\nu \mu }{\hat {P}}^{\sigma }{\hat {J}}_{\mu \nu }{\hat {P}}_{\sigma }\right)=}
= J ^ μ σ P ^ γ J ^ μ γ P ^ σ − 1 2 J ^ μ ν P ^ σ J ^ μ ν P ^ σ = J ^ μ σ P ^ σ J ^ μ γ P ^ γ − 1 2 P ^ σ P ^ σ J ^ μ ν J ^ μ ν = N ^ μ N ^ μ − 1 2 P ^ σ P ^ σ J ^ μ ν J ^ μ ν {\displaystyle \ ={\hat {J}}^{\mu \sigma }{\hat {P}}^{\gamma }{\hat {J}}_{\mu \gamma }{\hat {P}}_{\sigma }-{\frac {1}{2}}{\hat {J}}^{\mu \nu }{\hat {P}}^{\sigma }{\hat {J}}_{\mu \nu }{\hat {P}}_{\sigma }={\hat {J}}^{\mu \sigma }{\hat {P}}_{\sigma }{\hat {J}}_{\mu \gamma }{\hat {P}}^{\gamma }-{\frac {1}{2}}{\hat {P}}_{\sigma }{\hat {P}}^{\sigma }{\hat {J}}_{\mu \nu }{\hat {J}}^{\mu \nu }={\hat {N}}^{\mu }{\hat {N}}_{\mu }-{\frac {1}{2}}{\hat {P}}^{\sigma }{\hat {P}}_{\sigma }{\hat {J}}^{\mu \nu }{\hat {J}}_{\mu \nu }} ,
де N ^ μ = J ^ μ σ P ^ σ {\displaystyle \ {\hat {N}}^{\mu }={\hat {J}}^{\mu \sigma }{\hat {P}}_{\sigma }} , а перехід до передостанньої рівності зроблений за допомогою комутаційних співвідношень групи Пуанкаре: для першого доданку
J ^ μ σ P ^ γ J ^ μ γ P ^ σ = J ^ μ σ P ^ γ P ^ σ J ^ μ γ − i J ^ μ σ P ^ γ ( g σ μ P ^ γ − g σ γ P ^ μ ) = N ^ μ N ^ μ + i J ^ μ σ P ^ σ ( δ μ γ P ^ γ − δ γ γ P ^ μ ) − i J ^ μ σ P ^ γ ( g σ μ P ^ γ − g σ γ P ^ μ ) = N ^ μ N ^ μ {\displaystyle \ {\hat {J}}^{\mu \sigma }{\hat {P}}^{\gamma }{\hat {J}}_{\mu \gamma }{\hat {P}}_{\sigma }={\hat {J}}^{\mu \sigma }{\hat {P}}^{\gamma }{\hat {P}}_{\sigma }{\hat {J}}_{\mu \gamma }-i{\hat {J}}^{\mu \sigma }{\hat {P}}^{\gamma }(g_{\sigma \mu }{\hat {P}}_{\gamma }-g_{\sigma \gamma }{\hat {P}}{\mu })={\hat {N}}^{\mu }{\hat {N}}_{\mu }+i{\hat {J}}^{\mu \sigma }{\hat {P}}_{\sigma }(\delta _{\mu }^{\gamma }{\hat {P}}_{\gamma }-\delta _{\gamma }^{\gamma }{\hat {P}}_{\mu })-i{\hat {J}}^{\mu \sigma }{\hat {P}}^{\gamma }(g_{\sigma \mu }{\hat {P}}_{\gamma }-g_{\sigma \gamma }{\hat {P}}{\mu })={\hat {N}}^{\mu }{\hat {N}}_{\mu }}
(другий-п'ятий доданки зникають через згортку симетричного тензора P ^ μ P ^ γ {\displaystyle \ {\hat {P}}_{\mu }{\hat {P}}_{\gamma }} із антисиметричним тензором J ^ μ γ {\displaystyle \ {\hat {J}}^{\mu \gamma }} ,
для другого доданку (із використанням першого оператора Казиміра) -
J ^ μ ν P ^ σ J ^ μ ν P ^ σ = J ^ μ ν P ^ σ P ^ σ J ^ μ ν − i J ^ μ ν P ^ σ ( g σ μ P ^ ν − g σ ν P ^ μ ) = P ^ σ P ^ σ J ^ μ ν J ^ μ ν {\displaystyle \ {\hat {J}}^{\mu \nu }{\hat {P}}^{\sigma }{\hat {J}}_{\mu \nu }{\hat {P}}_{\sigma }={\hat {J}}^{\mu \nu }{\hat {P}}^{\sigma }{\hat {P}}_{\sigma }{\hat {J}}_{\mu \nu }-i{\hat {J}}^{\mu \nu }{\hat {P}}^{\sigma }(g_{\sigma \mu }{\hat {P}}_{\nu }-g_{\sigma \nu }{\hat {P}}_{\mu })={\hat {P}}^{\sigma }{\hat {P}}_{\sigma }{\hat {J}}^{\mu \nu }{\hat {J}}_{\mu \nu }} .
Комутатор цього оператора із P ^ α {\displaystyle \ {\hat {P}}_{\alpha }} , очевидно, рівен нулю в силу [ P ^ α , W ^ β ] = 0 {\displaystyle \ [{\hat {P}}_{\alpha },{\hat {W}}_{\beta }]=0} . Комутатор же із оператором групи Лоренца рівен
[ J ^ α β , W ^ γ W ^ γ ] = W ^ γ [ J ^ α β , W ^ γ ] + [ J ^ α β , W ^ γ ] W ^ γ = i ( g γ β W ^ α W ^ γ − g γ α W ^ β W ^ γ + W ^ γ δ β γ W ^ α − W ^ γ δ α γ W ^ β ) = i [ W ^ α , W ^ β ] − i [ W ^ β , W ^ α ] = 0 {\displaystyle \ [{\hat {J}}_{\alpha \beta },{\hat {W}}_{\gamma }{\hat {W}}^{\gamma }]={\hat {W}}_{\gamma }[{\hat {J}}_{\alpha \beta },{\hat {W}}^{\gamma }]+[{\hat {J}}_{\alpha \beta },{\hat {W}}_{\gamma }]{\hat {W}}^{\gamma }=i\left(g_{\gamma \beta }{\hat {W}}_{\alpha }{\hat {W}}^{\gamma }-g_{\gamma \alpha }{\hat {W}}_{\beta }{\hat {W}}^{\gamma }+{\hat {W}}_{\gamma }\delta _{\beta }^{\gamma }{\hat {W}}_{\alpha }-{\hat {W}}_{\gamma }\delta _{\alpha }^{\gamma }{\hat {W}}_{\beta }\right)=i[{\hat {W}}_{\alpha },{\hat {W}}_{\beta }]-i[{\hat {W}}_{\beta },{\hat {W}}_{\alpha }]=0} .
У загальному випадку, комутатор будь-якого трансляційно інваріантного 4-оператора та інфінітезимального оператору трансляцій P ^ α {\displaystyle \ {\hat {P}}_{\alpha }} рівен нулю. Нулю також рівен комутатор 4-згортки одноіндексних операторів та J ^ α β {\displaystyle \ {\hat {J}}_{\alpha \beta }} , а його комутатор [ J ^ α β , A ^ γ ] {\displaystyle \ [{\hat {J}}_{\alpha \beta },{\hat {A}}_{\gamma }]} із будь-яким 4-вектором A ^ γ {\displaystyle \ {\hat {A}}_{\gamma }} завжди буде рівен i ( g γ β A ^ γ − g γ α A ^ β ) {\displaystyle \ i(g_{\gamma \beta }{\hat {A}}_{\gamma }-g_{\gamma \alpha }{\hat {A}}_{\beta })} , оскільки J ^ α β {\displaystyle \ {\hat {J}}_{\alpha \beta }} визначає операторне представлення генераторів матриці перетворень групи Лоренца (скалярний оператор жє інваріантним по відношенню до перетворення, а 4-оператор перетворюється у відповідності до структури генераторів).
Зв'язок із фізикою. Одночастинкові стани [ ред. | ред. код ] Орбітальний момент імпульсу та спін [ ред. | ред. код ] У рамках Спеціальній теорії відносності був отриманий тензор моменту імпульсу,
L α β = ( x α p β − x β p α ) = ( 0 − G x − G y − G z G x 0 L z − L y G y − L z 0 L x G z L y − L x 0 ) {\displaystyle \ L_{\alpha \beta }=(x_{\alpha }p_{\beta }-x_{\beta }p_{\alpha })={\begin{pmatrix}0&-G_{x}&-G_{y}&-G_{z}\\G_{x}&0&L_{z}&-L_{y}\\G_{y}&-L_{z}&0&L_{x}\\G_{z}&L_{y}&-L_{x}&0\end{pmatrix}}} ,
де
L = [ r × p ] , G = E c r − c t p {\displaystyle \ \mathbf {L} =[\mathbf {r} \times \mathbf {p} ],\quad \mathbf {G} ={\frac {E}{c}}\mathbf {r} -ct\mathbf {p} } -
вектори моменту імпульсу та центру енергії відповідно. При використанні формалізму квантової механіки p α = i ℏ ∂ α {\displaystyle \ p_{\alpha }=i\hbar \partial _{\alpha }} , і вирази двох тензорів збігаються з точністю до множника ℏ {\displaystyle \ \hbar } .
Можна зробити невеликий відступ щодо моменту імпульсу у квантовій механіці. Із викладок, наведених вище, очевидно, що оператор 3-вектора моменту імпульсу у квантовій механіці має компоненти, що відповідають операторному представленню генераторів тривимірних обертань. Це означає, що оператор моменту імпульсу має послідовність 2 l + 1 {\displaystyle \ 2l+1} власних чисел виду l , l − 1 , . . . , − l {\displaystyle \ l,l-1,...,-l} . Проте в силу координатного (і звідного) представлення оператору моменту імпульсу власні значення можуть бути лише цілими.
Величина j 1 + j 2 {\displaystyle \ j_{1}+j_{2}} , що відповідає незвідному представленню генератора обертань R ^ 3 {\displaystyle \ {\hat {\mathbf {R} }}_{3}} і характеризує трансформаційні властивості поля по відношенню до групи Лоренца (див. розділ "Класифікація полів..." статті Група Лоренца ), може набувати як цілих, так і напівцілих значень. Проте вона також відповідає моменту імпульсу. Отже, вона не пов'язана із обертанням, а є характеристикою об'єкта типу заряду і, водночас, визначає трансформаційні властивості об'єкта по відношенню до перетворень Лоренца та поворотів. Оператори спіну S ^ {\displaystyle \ {\hat {\mathbf {S} }}} та орбітального моменту імпульсу L ^ {\displaystyle \ {\hat {\mathbf {L} }}} мають однакову алгебру, оскільки є представленнями генератору 3-обертів.
Оператор Паулі-Любанського із введенням квантового спіну характеризує спін частинки: повний момент імпульсу можна представити як J ^ α β = L ^ α β + S ^ α β {\displaystyle \ {\hat {J}}_{\alpha \beta }={\hat {L}}_{\alpha \beta }+{\hat {S}}_{\alpha \beta }} , де S ^ α β {\displaystyle \ {\hat {S}}_{\alpha \beta }} є оператором спіну, а L ^ α β {\displaystyle \ {\hat {L}}_{\alpha \beta }} - оператором орбітального моменту x α P ^ β − x β P ^ α {\displaystyle \ x_{\alpha }{\hat {P}}_{\beta }-x_{\beta }{\hat {P}}_{\alpha }} .
Власні числа операторів Казиміра групи та їх зв'язок із фізичним станом частинки [ ред. | ред. код ] Оператори Казиміра (точніше, їх власні числа) групи характеризують її незвідні представлення. Власні числа операторів Казиміра групи Пуанкаре характеризують масу та спін частинки. Дійсно, відповідно до фізичного змісту оператору 4-імпульсу та релятивістського зв'язку маси та енергії-імпульсу, при дії на довільну функцію-стан системи
P ^ α P ^ α ψ = m 2 ψ {\displaystyle \ {\hat {P}}_{\alpha }{\hat {P}}^{\alpha }\psi =m^{2}\psi } ,
де m 2 {\displaystyle \ m^{2}} - квадрат маси частинки.
Далі, квадрат оператору Любанського-Паулі у системі, в якій просторовий імпульс частинки рівен нулю (для просторових компонент P ^ i ψ p = 0 = 0 {\displaystyle \ {\hat {P}}_{i}\psi _{\mathbf {p} =0}=0} , і при діагональному вигляді операторів імпульсу P ^ μ = ( m , 0 , 0 , 0 ) {\displaystyle \ {\hat {P}}_{\mu }=(m,0,0,0)} ), при дії на функцію стану дає
W ^ λ W ^ λ ψ p = 0 = ( S ^ α β P ^ β S ^ α γ P ^ γ − 1 2 P ^ δ P ^ δ S ^ ρ ε S ^ ρ ε ) ψ = ( S ^ α 0 P ^ 0 S ^ α 0 P ^ 0 − 1 2 P ^ 0 P ^ 0 S ^ ρ ε S ^ ρ ε ) ψ p = 0 = m 2 ( − G ^ 2 − 1 2 2 ( S ^ 2 − G ^ 2 ) ) ψ p = 0 = {\displaystyle \ {\hat {W}}_{\lambda }{\hat {W}}^{\lambda }\psi _{\mathbf {p} =0}=\left({\hat {S}}_{\alpha \beta }{\hat {P}}^{\beta }{\hat {S}}^{\alpha \gamma }{\hat {P}}_{\gamma }-{\frac {1}{2}}{\hat {P}}_{\delta }{\hat {P}}^{\delta }{\hat {S}}_{\rho \varepsilon }{\hat {S}}^{\rho \varepsilon }\right)\psi =\left({\hat {S}}_{\alpha 0}{\hat {P}}^{0}{\hat {S}}^{\alpha 0}{\hat {P}}_{0}-{\frac {1}{2}}{\hat {P}}_{0}{\hat {P}}^{0}{\hat {S}}_{\rho \varepsilon }{\hat {S}}^{\rho \varepsilon }\right)\psi _{\mathbf {p} =0}=m^{2}\left(-{\hat {\mathbf {G} }}^{2}-{\frac {1}{2}}2\left({\hat {\mathbf {S} }}^{2}-{\hat {\mathbf {G} }}^{2}\right)\right)\psi _{\mathbf {p} =0}=}
= − m 2 s ( s + 1 ) ψ p = 0 {\displaystyle \ =-m^{2}s(s+1)\psi _{\mathbf {p} =0}} ,
де s {\displaystyle \ s} - спінове квантове число.
В силу інваріантності оператора Казиміра відносно трансляцій та перетворень групи Лоренца це власне число не залежить від вибору системи відліку, тобто W ^ λ W ^ λ ψ p = − m 2 s ( s + 1 ) ψ p {\displaystyle \ {\hat {W}}_{\lambda }{\hat {W}}^{\lambda }\psi _{\mathbf {p} }=-m^{2}s(s+1)\psi _{\mathbf {p} }} . Отже, в силу характеристики незвідного представлення групи операторами Казиміра можна стверджувати, що незвідні представлення групи Пуанкаре описують частинку. Для подальших пояснень можна розглянути представлення у залежності від маси m {\displaystyle \ m} .
Класифікація Вігнера представлень групи [ ред. | ред. код ] 1. m 2 > 0 {\displaystyle \ m^{2}>0} . Власні значення ненульові. Стан характеризується квадратами маси m 2 {\displaystyle \ m^{2}} та спіну m 2 s ( s + 1 ) {\displaystyle \ m^{2}s(s+1)} . Стани відрізняються значенням проєкції спіну на задану вісь (найчастіше обирають вісь z), s , s − 1 , . . . , − s {\displaystyle \ s,s-1,...,-s} (таким чином, є 2 s + 1 {\displaystyle \ 2s+1} спінових ступенів свободи), і неперервними власними значеннями компонент 4-оператора P ^ μ {\displaystyle \ {\hat {P}}_{\mu }} . Отже, представлення відповідають частинці маси m {\displaystyle \ m} , спіну s {\displaystyle \ s} , імпульсу p i {\displaystyle \ p_{i}} та проєкції спіну на напрямок руху s 3 {\displaystyle \ s_{3}} .
2. m 2 = 0 {\displaystyle \ m^{2}=0} . Власні значення обох операторів Казиміра нульові. Тому кожен із відповідних векторів є світоподібним. Окрім того, W ^ μ P ^ μ = 0 {\displaystyle \ {\hat {W}}_{\mu }{\hat {P}}^{\mu }=0} . Це означає, що оператори повинні бути пропорційними: W ^ μ = λ P ^ μ {\displaystyle \ {\hat {W}}_{\mu }=\lambda {\hat {P}}_{\mu }} . Справді, тоді рівність нулю скалярного добутку тотожно задовольняється: W ^ μ P ^ μ ψ = λ W ^ μ W ^ μ ψ = 0 {\displaystyle \ {\hat {W}}_{\mu }{\hat {P}}^{\mu }\psi =\lambda {\hat {W}}_{\mu }{\hat {W}}^{\mu }\psi =0} . Отже, стан однієї безмасової частинки характеризується одним числом λ {\displaystyle \ \lambda } . Воно має розмірність моменту імпульсу і називається спіральністю.
3. P ^ μ P ^ μ {\displaystyle \ {\hat {P}}_{\mu }{\hat {P}}^{\mu }} дорівнює нулю, проте спін набуває неперервних значень. Довжина вектора Паулі—Любанського W ^ μ W ^ μ {\displaystyle \ {\hat {W}}_{\mu }{\hat {W}}^{\mu }} набуває від'ємних значень. Такий тип представлення описує частинку з нульовою масою та нескінченним числом станів поляризації, що індукуються неперервним спіном.