Matematiksel analizde Legendre fonksiyonları , aşağıdaki Legendre diferansiyel denkleminin çözümleridir.
L = d d x ( 1 − x 2 ) d d x + l ( l + 1 ) ∗ y {\displaystyle L={d \over dx}(1-x^{2}){d \over dx}+l(l+1)*y\,} ; l ∈ ( 0 , Z + ) {\displaystyle l\in (0,\mathbb {Z} ^{+})} Bu adi diferansiyel denklem daha çok fizikte ve diğer teknik alanlarda kullanılır. Özellikle küresel koordinat sisteminde , kısmi diferansiyel denklem ile ilgili Laplace denklemi çözerken ortaya çıkar.
Aşağıdaki genişletilmiş Taylor serisidir ;
1 1 − 2 x t + t 2 = ∑ n = 0 ∞ P n ( x ) t n . {\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {1-2xt+t^{2}}}}=\sum _{n=0}^{\infty }P_{n}(x)t^{n}.\qquad } (Denklem I) (Denklem I)'in ilk iki terimini ele alalım:
P 0 ( x ) = 1 , P 1 ( x ) = x {\displaystyle P_{0}(x)=1,\quad P_{1}(x)=x} Bu ilk iki terim Legendre polinomu dur. Diğer birkaç Legendre polinomları şunlardır:
n P n ( x ) {\displaystyle P_{n}(x)\,} 0 1 {\displaystyle 1\,} 1 x {\displaystyle x\,} 2 1 2 ( 3 x 2 − 1 ) {\displaystyle {\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}(3x^{2}-1)\,} 3 1 2 ( 5 x 3 − 3 x ) {\displaystyle {\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}(5x^{3}-3x)\,} 4 1 8 ( 35 x 4 − 30 x 2 + 3 ) {\displaystyle {\begin{matrix}{\frac {1}{8}}\end{matrix}}(35x^{4}-30x^{2}+3)\,} 5 1 8 ( 63 x 5 − 70 x 3 + 15 x ) {\displaystyle {\begin{matrix}{\frac {1}{8}}\end{matrix}}(63x^{5}-70x^{3}+15x)\,} 6 1 16 ( 231 x 6 − 315 x 4 + 105 x 2 − 5 ) {\displaystyle {\begin{matrix}{\frac {1}{16}}\end{matrix}}(231x^{6}-315x^{4}+105x^{2}-5)\,} 7 1 16 ( 429 x 7 − 693 x 5 + 315 x 3 − 35 x ) {\displaystyle {\begin{matrix}{\frac {1}{16}}\end{matrix}}(429x^{7}-693x^{5}+315x^{3}-35x)\,} 8 1 128 ( 6435 x 8 − 12012 x 6 + 6930 x 4 − 1260 x 2 + 35 ) {\displaystyle {\begin{matrix}{\frac {1}{128}}\end{matrix}}(6435x^{8}-12012x^{6}+6930x^{4}-1260x^{2}+35)\,} 9 1 128 ( 12155 x 9 − 25740 x 7 + 18018 x 5 − 4620 x 3 + 315 x ) {\displaystyle {\begin{matrix}{\frac {1}{128}}\end{matrix}}(12155x^{9}-25740x^{7}+18018x^{5}-4620x^{3}+315x)\,} 10 1 256 ( 46189 x 10 − 109395 x 8 + 90090 x 6 − 30030 x 4 + 3465 x 2 − 63 ) {\displaystyle {\begin{matrix}{\frac {1}{256}}\end{matrix}}(46189x^{10}-109395x^{8}+90090x^{6}-30030x^{4}+3465x^{2}-63)\,}
Legendre fonksiyonu, [-1,1] aralığında tanımlı, ±1 noktalarında kaldırılabilir tekilliğe sahip bir denklemdir. Kapalı formu şu şekilde gösterilir.
L y = 0 {\displaystyle Ly=0\,} Burada L, Legendre operatörüdür.
Denklem Frobenius yöntemi ile, p=0 alınarak çözülürse.
y = ∑ n = 0 ∞ a n x n {\displaystyle y=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}} y ′ = ∑ n = 0 ∞ n a n x n − 1 {\displaystyle y'=\sum _{n=0}^{\infty }na_{n}x^{n-1}} y ″ = ∑ n = 0 ∞ n ( n − 1 ) a n x n − 2 {\displaystyle y''=\sum _{n=0}^{\infty }n(n-1)a_{n}x^{n-2}} ifadeleri denklemde yerlerine koyularak,
L y {\displaystyle Ly\,} = ( 1 − x 2 ) y ″ − 2 x y ′ + l ( l + 1 ) y {\displaystyle ={\big (}1-x^{2})y''-2xy'+l(l+1)y} = ( 1 − x 2 ) ∑ n = 0 ∞ n ( n − 1 ) a n x n − 2 − 2 x ∑ n = 0 ∞ n a n x n − 1 + l ( l + 1 ) ∑ n = 0 ∞ a n x n {\displaystyle =(1-x^{2})\sum _{n=0}^{\infty }n(n-1)a_{n}x^{n-2}-2x\sum _{n=0}^{\infty }na_{n}x^{n-1}+l(l+1)\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}} = ∑ n = 0 ∞ [ − n ( n − 1 ) − 2 n + l ( l + 1 ) ] a n x n + ∑ n = 0 ∞ n ( n − 1 ) a n x n − 2 {\displaystyle =\sum _{n=0}^{\infty }\left[-n(n-1)-2n+l(l+1)\right]a_{n}x^{n}+\sum _{n=0}^{\infty }n(n-1)a_{n}x^{n-2}} = ∑ n = 0 ∞ [ l 2 − n 2 + l − n ] a n x n + ∑ n = − 2 ∞ ( n + 2 ) ( n + 1 ) a n + 2 x n {\displaystyle =\sum _{n=0}^{\infty }\left[l^{2}-n^{2}+l-n\right]a_{n}x^{n}+\sum _{n=-2}^{\infty }(n+2)(n+1)a_{n+2}x^{n}} = ∑ n = 0 ∞ [ ( l + n + 1 ) ( l − n ) a n + ( n + 2 ) ( n + 1 ) a n + 2 ] x n {\displaystyle =\sum _{n=0}^{\infty }\left[(l+n+1)(l-n)a_{n}+(n+2)(n+1)a_{n+2}\right]x^{n}} = 0 {\displaystyle =0\,}
Bu eşitlikten çıkan karakteristik denklem ise:
a 2 = − l ( l + 1 ) 2 a 0 {\displaystyle a_{2}=-{l(l+1) \over 2}a_{0}} olur. Genellenirse
a n + 2 = − ( l + n + 1 ) ( l − n ) ( n + 2 ) ( n + 1 ) a n {\displaystyle a_{n+2}=-{(l+n+1)(l-n) \over (n+2)(n+1)}a_{n}} Bu şekilde geriye dönerek tekrarlanarak çözüm bulunur. Çözümün sonlu olabilmesi için
lim n → ∞ | a n + 2 x n + 2 a n x n | < 1 {\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left|{a_{n+2}x^{n+2} \over a_{n}x^{n}}\right|<1} şartı sağlanması gerektiğinden, karakteristik denklem yardımıyla elde edilen çözümün sonlu olması ancak
n = − l veya n = − ( l + 1 ) {\displaystyle n=-l{\mbox{ veya }}n=-(l+1)\,} şeklinde serinin kesilmesi ile olur. Bu şekilde oluşan polinomlara Legendre polinomları denir ve dolayısıyla bu polinomlar Legendre diferansiyel denkleminin çözümüdür.
Legendre polinomları simetrik veya antisimetriktir, Şöyle ki
P n ( − x ) = ( − 1 ) n P n ( x ) . {\displaystyle P_{n}(-x)=(-1)^{n}P_{n}(x).\,} [1] diferansiyel denklem ve diklik özellikleri yardımıyla ölçeklemenin bağımsızlığı,"standardlaştırılmış" (bazen "normalizasyon" denir,ama unutmamalıki güncel norm birim değildir) böylece ölçekleme ile Legendre polinomları'nın tanımı
P n ( 1 ) = 1. {\displaystyle P_{n}(1)=1.\,} ve son noktada türev ile veriliyor
P n ′ ( 1 ) = n ( n + 1 ) 2 . {\displaystyle P_{n}'(1)={\frac {n(n+1)}{2}}.\,} yukardaki soruda,Bonnet’in yineleme formülünde üç özyineleme ilişkisi terimi,bilinen Legendre polinomları ile uyumludur
( n + 1 ) P n + 1 ( x ) = ( 2 n + 1 ) x P n ( x ) − n P n − 1 ( x ) {\displaystyle (n+1)P_{n+1}(x)=(2n+1)xP_{n}(x)-nP_{n-1}(x)\,} ve
x 2 − 1 n d d x P n ( x ) = x P n ( x ) − P n − 1 ( x ) . {\displaystyle {x^{2}-1 \over n}{d \over dx}P_{n}(x)=xP_{n}(x)-P_{n-1}(x).} Legendre polinomlarının integrasyonu için kullanışlıdır;
( 2 n + 1 ) P n ( x ) = d d x [ P n + 1 ( x ) − P n − 1 ( x ) ] . {\displaystyle (2n+1)P_{n}(x)={d \over dx}\left[P_{n+1}(x)-P_{n-1}(x)\right].} yukardakinden şu görülebilir
d d x P n + 1 ( x ) = ( 2 n + 1 ) P n ( x ) + ( 2 ( n − 2 ) + 1 ) P n − 2 ( x ) + ( 2 ( n − 4 ) + 1 ) P n − 4 ( x ) + … {\displaystyle {d \over dx}P_{n+1}(x)=(2n+1)P_{n}(x)+(2(n-2)+1)P_{n-2}(x)+(2(n-4)+1)P_{n-4}(x)+\ldots } veya eşdeğeri
d d x P n + 1 ( x ) = 2 P n ( x ) ‖ P n ( x ) ‖ 2 + 2 P n − 2 ( x ) ‖ P n − 2 ( x ) ‖ 2 + … {\displaystyle {d \over dx}P_{n+1}(x)={2P_{n}(x) \over \|P_{n}(x)\|^{2}}+{2P_{n-2}(x) \over \|P_{n-2}(x)\|^{2}}+\ldots } burada ‖ P n ( x ) ‖ {\displaystyle \|P_{n}(x)\|} −1 ≤ x ≤ 1 aralığındaki normdur
‖ P n ( x ) ‖ = ∫ − 1 1 ( P n ( x ) ) 2 d x = 2 2 n + 1 . {\displaystyle \|P_{n}(x)\|={\sqrt {\int _{-1}^{1}(P_{n}(x))^{2}\,dx}}={\sqrt {\frac {2}{2n+1}}}.} Bonnet’in yineleme formülünden açık gösterim bir endüksiyon ile
P n ( x ) = ∑ k = 0 n ( − 1 ) k ( n k ) 2 ( 1 + x 2 ) n − k ( 1 − x 2 ) k . {\displaystyle P_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}}^{2}\left({\frac {1+x}{2}}\right)^{n-k}\left({\frac {1-x}{2}}\right)^{k}.} elde edilir.Askey–Gasper eşitsizliği 'nden Legendre polinomları için okunan
∑ j = 0 n P j ( x ) ≥ 0 ( x ≥ − 1 ) . {\displaystyle \sum _{j=0}^{n}P_{j}(x)\geq 0\qquad (x\geq -1).} Legendre polinomlarının bir toplamı − 1 ≤ y ≤ 1 {\displaystyle -1\leq y\leq 1} için ve − 1 ≤ x ≤ 1 {\displaystyle -1\leq x\leq 1} için Dirac delta fonksiyonuya ilişkilidir
δ ( y − x ) = 1 2 ∑ ℓ = 0 ∞ ( 2 ℓ + 1 ) P ℓ ( y ) P ℓ ( x ) . {\displaystyle \delta (y-x)={\frac {1}{2}}\sum _{\ell =0}^{\infty }(2\ell +1)P_{\ell }(y)P_{\ell }(x)\,.} birim vektörlerin bir ölçek çarpımının Legendre polinomları küresel harmonikler ile kullanılan açılımı kullanılabilir
P ℓ ( r ⋅ r ′ ) = 4 π 2 ℓ + 1 ∑ m = − ℓ ℓ Y ℓ m ( θ , ϕ ) Y ℓ m ∗ ( θ ′ , ϕ ′ ) . {\displaystyle P_{\ell }({r}\cdot {r'})={\frac {4\pi }{2\ell +1}}\sum _{m=-\ell }^{\ell }Y_{\ell m}(\theta ,\phi )Y_{\ell m}^{*}(\theta ',\phi ')\,.} burada sırasıyla birim vektörler r ve r' küresel koordinatlar ( θ , ϕ ) {\displaystyle (\theta ,\phi )} ve ( θ ′ , ϕ ′ ) {\displaystyle (\theta ',\phi ')} var,
Asimptotiklik ℓ → ∞ {\displaystyle \ell \rightarrow \infty } birimden yoksun eklentiler için
P ℓ ( cos θ ) = J 0 ( ℓ θ ) + O ( ℓ − 1 ) = 2 2 π ℓ sin θ cos [ ( ℓ + 1 2 ) θ − π 4 ] + O ( ℓ − 1 ) {\displaystyle P_{\ell }(\cos \theta )=J_{0}(\ell \theta )+{\mathcal {O}}(\ell ^{-1})={\frac {2}{\sqrt {2\pi \ell \sin \theta }}}\cos \left[\left(\ell +{\frac {1}{2}}\right)\theta -{\frac {\pi }{4}}\right]+{\mathcal {O}}(\ell ^{-1})} ve birimden büyük eklentiler için
P ℓ ( 1 1 − e 2 ) = I 0 ( ℓ e ) + O ( ℓ − 1 ) = 1 2 π ℓ e ( 1 + e ) ( ℓ + 1 ) / 2 ( 1 − e ) ℓ / 2 + O ( ℓ − 1 ) , {\displaystyle P_{\ell }\left({\frac {1}{\sqrt {1-e^{2}}}}\right)=I_{0}(\ell e)+{\mathcal {O}}(\ell ^{-1})={\frac {1}{\sqrt {2\pi \ell e}}}{\frac {(1+e)^{(\ell +1)/2}}{(1-e)^{\ell /2}}}+{\mathcal {O}}(\ell ^{-1})\,,} burada J 0 {\displaystyle J_{0}} ve I 0 {\displaystyle I_{0}} Bessel fonksiyonlarıdır .
Kayan Legendre polinomları P n ~ ( x ) = P n ( 2 x − 1 ) {\displaystyle {\tilde {P_{n}}}(x)=P_{n}(2x-1)} olarak tanımlanır. Burada "kayan" fonksiyon x ↦ 2 x − 1 {\displaystyle x\mapsto 2x-1} (aslında, bu bir afin dönüşüm 'dür) böylece seçilen bu örten gönderme [0, 1] aralığından [−1, 1] aralığına vurgusu yapilan P n ~ ( x ) {\displaystyle {\tilde {P_{n}}}(x)} polinomları [0, 1] arasında bulunur:
∫ 0 1 P m ~ ( x ) P n ~ ( x ) d x = 1 2 n + 1 δ m n . {\displaystyle \int _{0}^{1}{\tilde {P_{m}}}(x){\tilde {P_{n}}}(x)\,dx={1 \over {2n+1}}\delta _{mn}.} kayan Legendre polinomu için bir
P n ~ ( x ) = ( − 1 ) n ∑ k = 0 n ( n k ) ( n + k k ) ( − x ) k . {\displaystyle {\tilde {P_{n}}}(x)=(-1)^{n}\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}{n+k \choose k}(-x)^{k}.} açık bağıntı ile veriliyor
kayan Legendre polinomları için Rodrigues' formülünün analoğu
P n ~ ( x ) = 1 n ! d n d x n [ ( x 2 − x ) n ] . {\displaystyle {\tilde {P_{n}}}(x)={\frac {1}{n!}}{d^{n} \over dx^{n}}\left[(x^{2}-x)^{n}\right].\,} ilk birkaç kayan Legendre polinomlarıdır:
n P n ~ ( x ) {\displaystyle {\tilde {P_{n}}}(x)} 0 1 1 2 x − 1 {\displaystyle 2x-1} 2 6 x 2 − 6 x + 1 {\displaystyle 6x^{2}-6x+1} 3 20 x 3 − 30 x 2 + 12 x − 1 {\displaystyle 20x^{3}-30x^{2}+12x-1} 4 70 x 4 − 140 x 3 + 90 x 2 − 20 x + 1 {\displaystyle 70x^{4}-140x^{3}+90x^{2}-20x+1}
Polinom çözümleri yanında, Legendre denkleminin polinomal-olmayan çözümlerinin sonsuz seriler ile gösterimi var. Bu ikinci türün Legendre fonksiyonları dır, Q n ( x ) {\displaystyle Q_{n}(x)} ile ifade edilir.
Q n ( x ) = n ! 1.3 ⋯ ( 2 n + 1 ) [ x − ( n + 1 ) + ( n + 1 ) ( n + 2 ) 2 ( n + 3 ) x − ( n + 3 ) + ( n + 1 ) ( n + 2 ) ( n + 3 ) ( n + 4 ) 2.4 ( 2 n + 3 ) ( 2 n + 5 ) x − ( n + 5 ) + ⋯ ] {\displaystyle Q_{n}(x)={\frac {n!}{1.3\cdots (2n+1)}}\left[x^{-(n+1)}+{\frac {(n+1)(n+2)}{2(n+3)}}x^{-(n+3)}+{\frac {(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)}{2.4(2n+3)(2n+5)}}x^{-(n+5)}+\cdots \right]} Diferansiyel denklem
d d x [ ( 1 − x 2 ) d d x f ( x ) ] + n ( n + 1 ) f ( x ) = 0 {\displaystyle {d \over dx}\left[(1-x^{2}){d \over dx}f(x)\right]+n(n+1)f(x)=0} genel çözümü var
f ( x ) = A P n ( x ) + B Q n ( x ) {\displaystyle f(x)=AP_{n}(x)+BQ_{n}(x)} , burada A ve B sabitlerdir.
Kesirli dereceli Legendre fonksiyonları ve kesirli hesap ile tanımlanan kesirli türevlerin başlangıç noktasından ve tam sayı-olmayan faktöriyeller (gamma fonksiyonu ile tanımlanır) Rodrigues' formülü içinde aşağıdadır. Sonuç fonksiyonlar Legendre diferansiyel denklem aracılığıyla (−1,1) yeterli sürekliliktedir,ama son noktasında bundan böyle düzenlidir.Asosiye Legendre polinomları P 0 n ile Kesirli dereceli Legendre fonksiyonu P n uyumludur.
^ George B. Arfken, Hans J. Weber, Mathematical Methods for Physicists , Elsevier Academic Press, 2005, pg. 753. Şablon:Abramowitz Stegun ref2 Bayin, S.S. (2006), Mathematical Methods in Science and Engineering , Wiley , Chapter 2. Belousov, S. L. (1962), Tables of normalized associated Legendre polynomials , Mathematical tables, 18 , Pergamon Press . Courant, Richard ; Hilbert, David (1953), Methods of Mathematical Physics, Volume 1 , New York: Interscience Publischer, Inc . Şablon:Dlmf Şablon:Dlmf Refaat El Attar (2009), Legendre Polynomials and Functions , CreateSpace, ISBN 978-1-4414-9012-4