Эллиптическая функция

Эллиптическая функция — в комплексном анализе периодическая в двух направлениях функция, заданная на комплексной плоскости. Эллиптические функции можно рассматривать как аналоги тригонометрических (имеющих только один период). Исторически, эллиптические функции были открыты как функции, обратные эллиптическим интегралам.

Определение[править | править код]

Эллиптической функцией называют такую мероморфную функцию ${\displaystyle f}$, определённую на области ${\displaystyle \mathbb {C} }$, для которой существуют два ненулевых комплексных числа ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$, таких что

${\displaystyle f(z+a)=f(z+b)=f(z),\quad \forall z\in C,}$

а также частное ${\displaystyle {\frac {a}{b}}}$ не является действительным числом.

Из этого следует, что для любых целых ${\displaystyle m}$ и ${\displaystyle n}$

${\displaystyle f(z+ma+nb)=f(z),\quad \forall z\in C}$.

Любое комплексное число ${\displaystyle \omega }$, такое что

${\displaystyle f(z+\omega )=f(z),\quad \forall z\in C,}$

называют периодом функции ${\displaystyle f}$. Если периоды ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$ таковы, что любое ${\displaystyle \omega }$ может быть записано как

${\displaystyle \omega =ma+nb,}$

то ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$ называют фундаментальными периодами. Каждая эллиптическая функция обладает парой фундаментальных периодов.

Параллелограмм ${\displaystyle \Pi }$ с вершинами в ${\displaystyle 0}$, ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$, ${\displaystyle a+b}$ называется фундаментальным параллелограммом.

Свойства[править | править код]

• Не существует отличных от констант целых эллиптических функций (первая теорема Лиувилля).
• Если эллиптическая функция ${\displaystyle f(z)}$ не имеет полюсов на границе параллелограмма ${\displaystyle \alpha +\Pi }$, то сумма вычетов ${\displaystyle f(z)}$ во всех полюсах, лежащих внутри ${\displaystyle \alpha +\Pi }$, равна нулю (вторая теорема Лиувилля).
• Любая эллиптическая функция с периодами ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$ может быть представлена в виде

  ${\displaystyle f(z)=h{\big (}\wp (z){\big )}+g{\big (}\wp (z){\big )}\wp '(z),}$

где h, g — рациональные функции, ${\displaystyle \wp (z)}$ — функция Вейерштрасса с теми же периодами, что и у ${\displaystyle f(z)}$. Если при этом ${\displaystyle f(z)}$ является чётной функцией, то её можно представить в виде ${\displaystyle f(z)=h{\big (}\wp (z){\big )}}$, где h рациональна.

• Эллиптические функции неэлементарны, это было доказано Якоби в 1830-х годах.

См. также[править | править код]

• Эллиптические функции Вейерштрасса
• Эллиптические функции Якоби
• Гиперболические функции

Литература[править | править код]

1. Эллиптические функции // Кнэпп Э. Эллиптические кривые. — М.: Факториал Пресс, 2004.
2. Глава 11 // Привалов И. И. Введение в теорию функций комплексного переменного. — М.: Государственное издание физико-математической литературы, 1960.

Это заготовка статьи по математике. Помогите Википедии, дополнив её.

Для улучшения этой статьи по математике желательно: Проставить сноски, внести более точные указания на источники. Оформить список литературы. Добавить иллюстрации. После исправления проблемы исключите её из списка. Удалите шаблон, если устранены все недостатки.