Координатные поверхности в координатах параболического цилиндра. Цилиндрические параболические координаты (координаты параболического цилиндра) ( u , v , z ) {\displaystyle (u,\;v,\;z)} — система координат, обобщающая параболические координаты на трёхмерный случай путём добавления третьей (декартовой) координаты z {\displaystyle \ z} , то есть аппликаты .
Существует несколько вариантов ориентации этих координат. Наиболее распространённой является ориентация, соответствующая
{ x = c 2 ( u 2 − v 2 ) , y = c u v , z = z , {\displaystyle {\begin{cases}x={\dfrac {c}{2}}(u^{2}-v^{2}),\\y=cuv,\\z=z,\end{cases}}} где c > 0 {\displaystyle c>0} — размерный множитель .
Поверхности уровня u = c o n s t {\displaystyle u=\mathrm {const} } и v = c o n s t {\displaystyle v=\mathrm {const} } суть параболические цилиндры , образующие которых параллельны оси z {\displaystyle z} .
{ x = c 2 ( u 2 − v 2 ) , y = c u v , z = z , {\displaystyle {\begin{cases}x={\dfrac {c}{2}}(u^{2}-v^{2}),\\y=cuv,\\z=z,\end{cases}}} { ρ = c 2 ( u 2 + v 2 ) , φ = a r c t g ( 2 u v u 2 − v 2 ) , z = z . {\displaystyle {\begin{cases}\rho ={\dfrac {c}{2}}(u^{2}+v^{2}),\\\varphi =\mathrm {arctg} \left({\dfrac {2uv}{u^{2}-v^{2}}}\right),\\z=z.\end{cases}}} Коэффициенты Ламе в данных координатах имеют следующий вид:
{ H u = c u 2 + v 2 , H v = c u 2 + v 2 , H z = 1. {\displaystyle {\begin{cases}H_{u}=c{\sqrt {u^{2}+v^{2}}},\\H_{v}=c{\sqrt {u^{2}+v^{2}}},\\H_{z}=1.\end{cases}}} g r a d F ( u , v , z ) = 1 c u 2 + v 2 ( ∂ F ∂ u e → u + ∂ F ∂ v e → v ) + ∂ F ∂ z e → z . {\displaystyle \mathrm {grad} \,F(u,\;v,\;z)={\frac {1}{c{\sqrt {u^{2}+v^{2}}}}}\left({\frac {\partial F}{\partial u}}{\vec {e}}_{u}+{\frac {\partial F}{\partial v}}{\vec {e}}_{v}\right)+{\frac {\partial F}{\partial z}}{\vec {e}}_{z}.} d i v A → ( u , v , z ) = 1 c ( u 2 + v 2 ) [ ∂ ∂ u ( u 2 + v 2 A u ) + ∂ ∂ v ( u 2 + v 2 A v ) ] + ∂ A z ∂ z . {\displaystyle \mathrm {div} {\vec {A}}(u,\;v,\;z)={\frac {1}{c(u^{2}+v^{2})}}\left[{\frac {\partial }{\partial u}}\left({\sqrt {u^{2}+v^{2}}}A_{u}\right)+{\frac {\partial }{\partial v}}\left({\sqrt {u^{2}+v^{2}}}A_{v}\right)\right]+{\frac {\partial A_{z}}{\partial z}}.} r o t A → = 1 c u 2 + v 2 [ ∂ ∂ v A z − ∂ ∂ z ( c u 2 + v 2 A v ) ] e → u + 1 c u 2 + v 2 [ ∂ ∂ z ( c u 2 + v 2 A u ) − ∂ ∂ u A z ] e → v + {\displaystyle \mathrm {rot} \,{\vec {A}}={\frac {1}{c{\sqrt {u^{2}+v^{2}}}}}\left[{\frac {\partial }{\partial v}}A_{z}-{\frac {\partial }{\partial z}}(c{\sqrt {u^{2}+v^{2}}}A_{v})\right]{\vec {e}}_{u}+{\frac {1}{c{\sqrt {u^{2}+v^{2}}}}}\left[{\frac {\partial }{\partial z}}(c{\sqrt {u^{2}+v^{2}}}A_{u})-{\frac {\partial }{\partial u}}A_{z}\right]{\vec {e}}_{v}+} + 1 c ( u 2 + v 2 ) [ ∂ ∂ u ( c u 2 + v 2 A v ) − ∂ ∂ v ( c u 2 + v 2 A u ) ] e → z . {\displaystyle +{\frac {1}{c(u^{2}+v^{2})}}\left[{\frac {\partial }{\partial u}}(c{\sqrt {u^{2}+v^{2}}}A_{v})-{\frac {\partial }{\partial v}}(c{\sqrt {u^{2}+v^{2}}}A_{u})\right]{\vec {e}}_{z}.} Δ F ( u , v , z ) = 1 c 2 ( u 2 + v 2 ) [ ∂ 2 F ∂ u 2 + ∂ 2 F ∂ v 2 ] + ∂ 2 F ∂ z 2 . {\displaystyle \Delta F(u,\;v,\;z)={\frac {1}{c^{2}(u^{2}+v^{2})}}\left[{\frac {\partial ^{2}F}{\partial u^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}F}{\partial v^{2}}}\right]+{\frac {\partial ^{2}F}{\partial z^{2}}}.} Название координат Типы систем координат Двумерные координаты Трёхмерные координаты n {\displaystyle n} -мерные координатыФизические координаты Связанные определения