Циклический многогранник

Циклический многогранник — выпуклый многогранник, вершины которого лежат на кривой ${\displaystyle t\mapsto (t,t^{2},\dots ,t^{d})}$ в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$.

Конструкция[править | править код]

Пусть ${\displaystyle \mathbf {x} (t)=(t,t^{2},\dots ,t^{d})\in \mathbb {R} ^{d}}$ и ${\displaystyle t_{1}<t_{2}<\dots <t_{n}}$. Выпуклая оболочка ${\displaystyle n}$ точек ${\displaystyle \mathbf {x} (t_{1}),\mathbf {x} (t_{2}),\ldots ,\mathbf {x} (t_{n})}$ называется ${\displaystyle d}$-мерным циклическим многогранником с ${\displaystyle n}$ вершинами и далее обозначается ${\displaystyle C(n,d)}$.

Свойства[править | править код]

• Критерий Гейла: Пусть ${\displaystyle T=\{t_{1},t_{2},\dots ,t_{n}\}}$, и ${\displaystyle T_{d}\subset T}$ — подмножество из ${\displaystyle d}$ элементов. Гипергрань в ${\displaystyle C(n,d)}$ соответствует ${\displaystyle T_{d}}$ тогда и только тогда, когда между любыми двумя соседними числами в ${\displaystyle T_{d}}$ лежит чётное число чисел из ${\displaystyle T}$.
• Любые ${\displaystyle \lfloor {\tfrac {d}{2}}\rfloor }$ вершин в ${\displaystyle C(n,d)}$ образуют грань.
  • В частности, любые две вершины 4-мерного циклического многогранника соединены ребром.
• Число ${\displaystyle i}$-мерных граней в ${\displaystyle C(n,d)}$ при ${\displaystyle 0\leq i<\lfloor {\frac {d}{2}}\rfloor }$ равно ${\displaystyle {\binom {n}{i+1}}}$.
  • Используя тождества Дена — Сомервиля, можно найти число граней старших размерностей.
  • Для любого ${\displaystyle k}$ среди всех ${\displaystyle d}$-мерных многогранников с ${\displaystyle n}$ вершинами циклические многогранники имеют максимальное число ${\displaystyle k}$-мерных граней.

Литература[править | править код]

• В. А. Тиморин. Комбинаторика выпуклых многогранников. — МЦНМО, 2002. — (Летняя школа «Современная математика»). — ISBN 5-94057-024-0.