График функции ошибок Дополнительная функция ошибок Функция ошибок (также называемая функция ошибок Гаусса) — неэлементарная функция , возникающая в теории вероятностей , статистике и теории дифференциальных уравнений в частных производных . Она определяется как
erf x = 2 π ∫ 0 x e − t 2 d t {\displaystyle \operatorname {erf} \,x={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\int \limits _{0}^{x}e^{-t^{2}}\,\mathrm {d} t} . Дополнительная функция ошибок , обозначаемая erfc x {\displaystyle \operatorname {erfc} \,x} (иногда применяется обозначение Erf x {\displaystyle \operatorname {Erf} \,x} ), определяется через функцию ошибок:
erfc x = 1 − erf x = 2 π ∫ x ∞ e − t 2 d t {\displaystyle \operatorname {erfc} \,x=1-\operatorname {erf} \,x={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\int \limits _{x}^{\infty }e^{-t^{2}}\,\mathrm {d} t} . Комплексная функция ошибок , обозначаемая w ( x ) {\displaystyle w(x)} , также определяется через функцию ошибок:
w ( x ) = e − x 2 erfc ( − i x ) {\displaystyle w(x)=e^{-x^{2}}\operatorname {erfc} \,(-ix)} . erf ( − x ) = − erf x . {\displaystyle \operatorname {erf} \,(-x)=-\operatorname {erf} \,x.} Для любого комплексного x {\displaystyle x} выполняется erf x ¯ = erf x ¯ {\displaystyle \operatorname {erf} \,{\bar {x}}={\overline {\operatorname {erf} \,x}}} где черта обозначает комплексное сопряжение числа x {\displaystyle x} . Функция ошибок не может быть представлена через элементарные функции , но, разлагая интегрируемое выражение в ряд Тейлора и интегрируя почленно, мы можем получить её представление в виде ряда: erf x = 2 π ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n x 2 n + 1 n ! ( 2 n + 1 ) = 2 π ( x − x 3 3 + x 5 10 − x 7 42 + x 9 216 − ⋯ ) {\displaystyle \operatorname {erf} \,x={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n+1}}{n!(2n+1)}}={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\left(x-{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{5}}{10}}-{\frac {x^{7}}{42}}+{\frac {x^{9}}{216}}-\ \cdots \right)} Это равенство выполняется (и ряд сходится) как для любого вещественного x {\displaystyle x} , так и на всей комплексной плоскости , согласно признаку Д’Аламбера . Последовательность знаменателей образует последовательность A007680 в OEIS . Для итеративного вычисления элементов ряда полезно представить его в альтернативном виде: erf x = 2 π ∑ n = 0 ∞ ( x ∏ i = 1 n − ( 2 i − 1 ) x 2 i ( 2 i + 1 ) ) = 2 π ∑ n = 0 ∞ x 2 n + 1 ∏ i = 1 n − x 2 i {\displaystyle \operatorname {erf} \,x={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\sum _{n=0}^{\infty }\left(x\prod _{i=1}^{n}{\frac {-(2i-1)x^{2}}{i(2i+1)}}\right)={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x}{2n+1}}\prod _{i=1}^{n}{\frac {-x^{2}}{i}}} поскольку − ( 2 i − 1 ) x 2 i ( 2 i + 1 ) {\displaystyle {\frac {-(2i-1)x^{2}}{i(2i+1)}}} — сомножитель, превращающий i {\displaystyle i} -й член ряда в ( i + 1 ) {\displaystyle (i+1)} -й, считая первым членом x {\displaystyle x} . Функция ошибок на бесконечности равна единице; однако это справедливо только при приближении к бесконечности по вещественной оси, так как: При рассмотрении функции ошибок в комплексной плоскости точка z = ∞ {\displaystyle z=\infty } будет для неё существенно особой. d d x erf x = 2 π e − x 2 . {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\,\operatorname {erf} \,x={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\,e^{-x^{2}}.} ∫ erf x d x = x erf x + e − x 2 π + C . {\displaystyle \int \operatorname {erf} x\,dx=x\operatorname {erf} \,x+{\frac {e^{-x^{2}}}{\sqrt {\pi }}}+C.}
Обратная функция ошибок представляет собой ряд erf − 1 x = ∑ k = 0 ∞ c k 2 k + 1 ( π 2 x ) 2 k + 1 , {\displaystyle \operatorname {erf} ^{-1}\,x=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {c_{k}}{2k+1}}\left({\frac {\sqrt {\pi }}{2}}x\right)^{2k+1},} где c 0 = 1 и c k = ∑ m = 0 k − 1 c m c k − 1 − m ( m + 1 ) ( 2 m + 1 ) = { 1 , 1 , 7 6 , 127 90 , … } . {\displaystyle c_{k}=\sum _{m=0}^{k-1}{\frac {c_{m}c_{k-1-m}}{(m+1)(2m+1)}}=\left\{1,1,{\frac {7}{6}},{\frac {127}{90}},\ldots \right\}.} Поэтому ряд можно представить в следующем виде (заметим, что дроби сокращены): erf − 1 x = 1 2 π ( x + π x 3 12 + 7 π 2 x 5 480 + 127 π 3 x 7 40320 + 4369 π 4 x 9 5806080 + 34807 π 5 x 11 182476800 + … ) . {\displaystyle \operatorname {erf} ^{-1}\,x={\frac {1}{2}}{\sqrt {\pi }}\left(x+{\frac {\pi x^{3}}{12}}+{\frac {7\pi ^{2}x^{5}}{480}}+{\frac {127\pi ^{3}x^{7}}{40320}}+{\frac {4369\pi ^{4}x^{9}}{5806080}}+{\frac {34807\pi ^{5}x^{11}}{182476800}}+\dots \right).} [1] Последовательности числителей и знаменателей после сокращения — A092676 и A132467 в OEIS; последовательность числителей до сокращения — A002067 в OEIS.
Если набор случайных величин подчиняется нормальному распределению со стандартным отклонением σ {\displaystyle \sigma } , то вероятность, что величина отклонится от среднего не более чем на a {\displaystyle a} , равна erf a σ 2 {\displaystyle \operatorname {erf} \,{\frac {a}{\sigma {\sqrt {2}}}}} .
Функция ошибок и дополнительная функция ошибок встречаются в решении некоторых дифференциальных уравнений, например, уравнения теплопроводности с начальными условиями, описываемыми функцией Хевисайда («ступенькой»).
В системах цифровой оптической коммуникации, вероятность ошибки на бит также выражается формулой, использующей функцию ошибок.
При больших x {\displaystyle x} полезно асимптотическое разложение для дополнительной функции ошибок:
erfc x = e − x 2 x π [ 1 + ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n 1 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋯ ( 2 n − 1 ) ( 2 x 2 ) n ] = e − x 2 x π ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n ( 2 n ) ! n ! ( 2 x ) 2 n . {\displaystyle \operatorname {erfc} \,x={\frac {e^{-x^{2}}}{x{\sqrt {\pi }}}}\left[1+\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {1\cdot 3\cdot 5\cdots (2n-1)}{(2x^{2})^{n}}}\right]={\frac {e^{-x^{2}}}{x{\sqrt {\pi }}}}\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {(2n)!}{n!(2x)^{2n}}}.} Хотя для любого конечного x {\displaystyle x} этот ряд расходится, на практике первых нескольких членов достаточно для вычисления erfc x {\displaystyle \operatorname {erfc} \,x} с хорошей точностью, в то время как ряд Тейлора сходится очень медленно.
Другое приближение даётся формулой
( erf x ) 2 ≈ 1 − exp − 1 ( − x 2 4 / π + a x 2 1 + a x 2 ) , {\displaystyle (\operatorname {erf} x)^{2}\approx 1-\exp ^{-1}\left(-x^{2}{\frac {4/\pi +ax^{2}}{1+ax^{2}}}\right),} где
a = 8 3 π π − 3 4 − π . {\displaystyle a={\frac {8}{3\pi }}{\frac {\pi -3}{4-\pi }}.} Аппроксимация дополнительной функции ошибок, имеющая относительную погрешность в пределах 1.2×10-7 , реализована в Numerical Recipes [англ.] [1] :
erfc x ≈ t exp ( − x 2 − 1.26551223 + 1.00002368 t + 0.37409196 t 2 + 0.09678418 t 3 − 0.18628806 t 4 + 0.27886807 t 5 − 1.13520398 t 6 + 1.48851587 t 7 − 0.82215223 t 8 ) , {\displaystyle \operatorname {erfc} x\approx t\operatorname {exp} (-x^{2}-1.26551223+1.00002368t+0.37409196t^{2}+0.09678418t^{3}-0.18628806t^{4}+0.27886807t^{5}-1.13520398t^{6}+1.48851587t^{7}-0.82215223t^{8}),} где t = 1 / ( 1 + | x | / 2 ) , {\displaystyle t=1/(1+|x|/2),} при x > 0 {\displaystyle x>0} , и erfc x = 2 − erfc | x | {\displaystyle \operatorname {erfc} x=2-\operatorname {erfc} |x|} при x < 0 {\displaystyle x<0} . При 0 ≤ x ≲ 5 × 10 − 8 {\displaystyle 0\leq x\lesssim 5\times 10^{-8}} эта формула даёт недопустимые значения выше единицы, поэтому её нельзя использовать для оценки функции erf x ≡ 1 − erfc x {\displaystyle \operatorname {erf} \,x\equiv 1-\operatorname {erfc} \,x} при малых x .
Аппроксимация функции ошибок даётся формулой[2]
erf x ≈ sign x [ 1 − e x p - 1 ( − x 2 4 / | x | + a x 2 1 + a x 2 ) ] 1 / 2 , {\displaystyle \operatorname {erf} x\approx \operatorname {sign} x\left[1-\operatorname {exp^{-1}} \left(-x^{2}{\frac {4/|x|+ax^{2}}{1+ax^{2}}}\right)\right]^{1/2},} где a = 0.147 {\displaystyle a=0.147} . Относительная погрешность этой аппроксимации не превосходит 1.3 × 10 − 4 {\displaystyle 1.3\times 10^{-4}} , а обратная к ней функция выражается аналитически[2] :
erf − 1 x ≈ sign x [ − 2 a π − ln ( 1 − x 2 ) 2 + ( 2 a π + ln ( 1 − x 2 ) 2 ) 2 − ln ( 1 − x 2 ) a ] 1 / 2 . {\displaystyle \operatorname {erf} ^{-1}x\approx \operatorname {sign} x\,\left[-{\frac {2}{a\pi }}-{\frac {\operatorname {ln} (1-x^{2})}{2}}+{\sqrt {\left({\frac {2}{a\pi }}+{\frac {\operatorname {ln} (1-x^{2})}{2}}\right)^{2}-{\frac {\operatorname {ln} (1-x^{2})}{a}}}}\right]^{1/2}.} Относительная погрешность последней формулы лежит в пределах до 0.002 для всех ненулевых значений x ∈ ( − 1 , 1 ) {\displaystyle x\in (-1,1)} .
С точностью до масштаба и сдвига, функция ошибок совпадает с функцией Лапласа — функцией нормального интегрального распределения с математическим ожиданием 0 и дисперсией 1, обозначаемой Φ ( x ) {\displaystyle \Phi (x)}
Φ ( x ) = 1 2 π ∫ 0 x e − t 2 / 2 d t = 1 2 ( 1 + erf x 2 ) . {\displaystyle \Phi (x)={\frac {1}{2{\sqrt {\pi }}}}\int \limits _{0}^{x}e^{-t^{2}/2}\,\mathrm {d} t={\frac {1}{2}}{\biggl (}1+\operatorname {erf} \,{\frac {x}{\sqrt {2}}}{\biggl )}.} Обратная функция к Φ {\displaystyle \Phi } , известная как нормальная квантильная функция , иногда обозначается probit {\displaystyle \operatorname {probit} } и выражается через нормальную функцию ошибок как
probit p = Φ − 1 ( p ) = 2 erf − 1 ( 2 p − 1 ) . {\displaystyle \operatorname {probit} \,p=\Phi ^{-1}(p)={\sqrt {2}}\,\operatorname {erf} ^{-1}(2p-1).} Нормальное интегральное распределение чаще применяется в теории вероятностей и математической статистике, в то время как функция ошибок чаще применяется в других разделах математики.
Функция ошибок является частным случаем функции Миттаг-Леффлера , а также может быть представлена как вырожденная гипергеометрическая функция (функция Куммера ):
erf x = 2 x π 1 F 1 ( 1 2 , 3 2 , − x 2 ) . {\displaystyle \operatorname {erf} \,x={\frac {2x}{\sqrt {\pi }}}\,_{1}F_{1}\left({\frac {1}{2}},{\frac {3}{2}},-x^{2}\right).} Функция ошибок выражается также через интеграл Френеля . В терминах регуляризованной неполной гамма-функции P и неполной гамма-функции ,
erf x = sign x P ( 1 2 , x 2 ) = sign x π γ ( 1 2 , x 2 ) . {\displaystyle \operatorname {erf} \,x=\operatorname {sign} \,x\,P\left({\frac {1}{2}},x^{2}\right)={\operatorname {sign} \,x \over {\sqrt {\pi }}}\gamma \left({\frac {1}{2}},x^{2}\right).} График обобщённых функций ошибок E n ( x ) {\displaystyle E_{n}(x)} : серая линия: E 1 ( x ) = ( 1 − e − x ) / π {\displaystyle E_{1}(x)=(1-e^{-x})/{\sqrt {\pi }}} красная линия: E 2 ( x ) = erf x {\displaystyle E_{2}(x)=\operatorname {erf} \,x} зелёная линия: E 3 ( x ) {\displaystyle E_{3}(x)} синяя линия: E 4 ( x ) {\displaystyle E_{4}(x)} жёлтая линия: E 5 ( x ) {\displaystyle E_{5}(x)} . Некоторые авторы обсуждают более общие функции
E n ( x ) = n ! π ∫ 0 x e − t n d t = n ! π ∑ p = 0 ∞ ( − 1 ) p x n p + 1 ( n p + 1 ) p ! . {\displaystyle E_{n}(x)={\frac {n!}{\sqrt {\pi }}}\int \limits _{0}^{x}e^{-t^{n}}\,\mathrm {d} t={\frac {n!}{\sqrt {\pi }}}\sum _{p=0}^{\infty }(-1)^{p}{\frac {x^{np+1}}{(np+1)p!}}\,.} Примечательными частными случаями являются:
E 0 ( x ) {\displaystyle E_{0}(x)} — прямая линия, проходящая через начало координат: E 0 ( x ) = x e π {\displaystyle E_{0}(x)={\frac {x}{e{\sqrt {\pi }}}}} E 2 ( x ) {\displaystyle E_{2}(x)} — функция ошибок erf x {\displaystyle \operatorname {erf} \,x} . После деления на n ! {\displaystyle n!} все E n {\displaystyle E_{n}} с нечётными n {\displaystyle n} выглядят похоже (но не идентично), это же можно сказать про E n {\displaystyle E_{n}} с чётными n {\displaystyle n} . Все обобщённые функции ошибок с n > 0 {\displaystyle n>0} выглядят похоже на полуоси x > 0 {\displaystyle x>0} .
На полуоси x > 0 {\displaystyle x>0} все обобщённые функции могут быть выражены через гамма-функцию :
E n ( x ) = Γ ( n ) ( Γ ( 1 n ) − Γ ( 1 n , x n ) ) π , x > 0 {\displaystyle E_{n}(x)={\frac {\Gamma (n)\left(\Gamma \left({\frac {1}{n}}\right)-\Gamma \left({\frac {1}{n}},x^{n}\right)\right)}{\sqrt {\pi }}},\quad \quad x>0} Следовательно, мы можем выразить функцию ошибок через гамма-функцию:
erf x = 1 − Γ ( 1 2 , x 2 ) π {\displaystyle \operatorname {erf} \,x=1-{\frac {\Gamma \left({\frac {1}{2}},x^{2}\right)}{\sqrt {\pi }}}} Повторные интегралы дополнительной функции ошибок [ править | править код ] Повторные интегралы I n e r f c {\displaystyle \operatorname {I^{n}erfc} } дополнительной функции ошибок определяются как[3]
I 0 e r f c z = erfc z {\displaystyle \operatorname {I^{0}erfc} \,z=\operatorname {erfc} \,z} , I n e r f c z = ∫ z ∞ I n - 1 e r f c ζ d ζ , {\displaystyle \operatorname {I^{n}erfc} \,z=\int \limits _{z}^{\infty }\operatorname {I^{n-1}erfc} \,\zeta \,d\zeta ,} для n > 0 {\displaystyle n>0} . Их можно разложить в ряд:
I n e r f c z = ∑ j = 0 ∞ ( − z ) j 2 n − j j ! Γ ( 1 + n − j 2 ) , {\displaystyle \operatorname {I^{n}erfc} \,z=\sum _{j=0}^{\infty }{\frac {(-z)^{j}}{2^{n-j}j!\,\Gamma \left(1+{\frac {n-j}{2}}\right)}}\,,} откуда следуют свойства симметрии
I 2 m e r f c ( − z ) = − I 2 m e r f c z + ∑ q = 0 m z 2 q 2 2 ( m − q ) − 1 ( 2 q ) ! ( m − q ) ! {\displaystyle \operatorname {I^{2m}erfc} \,(-z)=-\operatorname {I^{2m}erfc} \,z+\sum _{q=0}^{m}{\frac {z^{2q}}{2^{2(m-q)-1}(2q)!(m-q)!}}} и
I 2 m + 1 e r f c ( − z ) = I 2 m + 1 e r f c z + ∑ q = 0 m z 2 q + 1 2 2 ( m − q ) − 1 ( 2 q + 1 ) ! ( m − q ) ! . {\displaystyle \operatorname {I^{2m+1}erfc} \,(-z)=\operatorname {I^{2m+1}erfc} \,z+\sum _{q=0}^{m}{\frac {z^{2q+1}}{2^{2(m-q)-1}(2q+1)!(m-q)!}}\,.} В стандарте языка Си (ISO/IEC 9899:1999, пункт 7.12.8) предусмотрены функция ошибок erf {\displaystyle \operatorname {erf} } и дополнительная функция ошибок erfc {\displaystyle \operatorname {erfc} } . Функции объявлены в заголовочных файлах math.h
(для Си ) или cmath
(для C++ ). Там же объявлены пары функций erff()
, erfcf()
и erfl()
, erfcl()
. Первая пара получает и возвращает значения типа float
, а вторая — значения типа long double
. Соответствующие функции также содержатся в библиотеке Math
проекта «Boost ».
В языке Java стандартная библиотека математических функций java.lang.Math
не содержит[4] функцию ошибок. Класс Erf
можно найти в пакете org.apache.commons.math.special
из не стандартной библиотеки, поставляемой[5] Apache Software Foundation .
Системы компьютерной алгебры Maple [2] , Matlab [3] , Mathematica и Maxima [4] содержат обычную и дополнительную функции ошибок, а также обратные к ним функции.
В языке Python функция ошибок доступна[6] из стандартной библиотеки math
, начиная с версии 2.7. Также функция ошибок, дополнительная функция ошибок и многие другие специальные функции определены в модуле Special
проекта SciPy [5] .
В языке Erlang функция ошибок и дополнительная функция ошибок доступны из стандартного модуля math
[7] .
В Excel функция ошибок представлена, как ФОШ и ФОШ.ТОЧН[8]
↑ Press W. H. , Teukolsky S. A. , Vetterling W. T., Flannery B. P. Numerical Recipes in Fortran 77. The Art of Scientific Computing (англ.) . — 2nd ed.. — Cambridge : Cambridge University Press , 1992. — 963 p. — ISBN 0-521-43064-X . — §6.2. ↑ 1 2 Winitzki S. A handy approximation for the error function and its inverse (англ.) . — 2008. ↑ Carslaw, H. S. ; Jaeger, J. C. (1959), Conduction of Heat in Solids (2nd ed.), Oxford University Press, ISBN 978-0-19-853368-9 , p 484 ↑ Math (Java Platform SE 6) (неопр.) . Дата обращения: 28 марта 2008. Архивировано 29 августа 2009 года. ↑ Архивированная копия (неопр.) . Дата обращения: 28 марта 2008. Архивировано из оригинала 9 апреля 2008 года. ↑ 9.2. math — Mathematical functions — Python 2.7.10rc0 documentation ↑ Язык Erlang . Описание Архивная копия от 20 июня 2012 на Wayback Machine функций стандартного модуля math
. ↑ Функция ФОШ (неопр.) . support.microsoft.com . Дата обращения: 15 ноября 2021. Архивировано 15 ноября 2021 года. Press, William H.; Teukolsky, Saul A.; Vetterling, William T.; Flannery, Brian P. (2007), "Section 6.2. Incomplete Gamma Function and Error Function" , Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing (3rd ed.), New York: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-88068-8 Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, eds. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables . — New York: Dover, 1972. — Т. 7. Nikolai G. Lehtinen. Error functions (неопр.) (апрель 2010). Дата обращения: 25 мая 2019. Ссылки на внешние ресурсы
Словари и энциклопедии В библиографических каталогах