Модифици́рованные фу́нкции Бе́сселя — это функции Бесселя от чисто мнимого аргумента.
Если в дифференциальном уравнении Бесселя
z 2 d 2 ω d z 2 + z d ω d z + ( z 2 − ν 2 ) ω = 0 {\displaystyle z^{2}{\frac {d^{2}\omega }{dz^{2}}}+z{\frac {d\omega }{dz}}+(z^{2}-\nu ^{2})\omega =0} заменить z {\displaystyle \ z} на i z {\displaystyle \ iz} , оно примет вид
z 2 d 2 ω d z 2 + z d ω d z − ( z 2 + ν 2 ) ω = 0. ( 1 ) {\displaystyle z^{2}{\frac {d^{2}\omega }{dz^{2}}}+z{\frac {d\omega }{dz}}-(z^{2}+\nu ^{2})\omega =0.\qquad (1)} Это уравнение называется модифицированным уравнением Бесселя .
Если ν {\displaystyle \nu } не является целым числом, то функции Бесселя J ν ( i z ) {\displaystyle J_{\nu }(iz)} и J − ν ( i z ) {\displaystyle J_{-\nu }(iz)} являются двумя линейно независимыми решениями уравнения ( 1 ) {\displaystyle (1)} . Однако чаще используют функции
I ν ( z ) = e − i ν π 2 J ν ( z e i π 2 ) = ∑ k = 0 ∞ ( z 2 ) 2 k + ν k ! Γ ( k + ν + 1 ) {\displaystyle I_{\nu }(z)=e^{-{\frac {i\nu \pi }{2}}}J_{\nu }\left(ze^{\frac {i\pi }{2}}\right)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {\left({\dfrac {z}{2}}\right)^{2k+\nu }}{k!\Gamma (k+\nu +1)}}} и I − ν ( z ) . {\displaystyle I_{-\nu }(z).} Их называют модифицированными функциями Бесселя первого рода или функциями Инфельда . Если ν {\displaystyle \nu } — вещественное число, а z неотрицательно, то эти функции принимают вещественные значения.
ν {\displaystyle \nu } называется порядком функции.
Функция
K ν ( z ) = π 2 sin ν π [ I − ν ( z ) − I ν ( z ) ] {\displaystyle K_{\nu }(z)={\frac {\pi }{2\sin \nu \pi }}{\biggl [}I_{-\nu }(z)-I_{\nu }(z){\biggr ]}} также является решением уравнения ( 1 ) {\displaystyle (1)} . Её называют модифицированной функцией Бесселя второго рода или функцией Макдональда . Очевидно, что
K ν ( z ) = K − ν ( z ) {\displaystyle K_{\nu }(z)=K_{-\nu }(z)} и принимает вещественные значения, если ν {\displaystyle \nu } — вещественное число, а z {\displaystyle z} положительно.
График модифицированных функций Бесселя первого рода с различными порядками График модифицированных функций Бесселя второго рода с различными порядками
Так как I − ν ( z ) = I ν ( z ) {\displaystyle I_{-\nu }(z)=I_{\nu }(z)} при целом ν {\displaystyle \nu } в качестве фундаментальной системы решений уравнения ( 1 ) {\displaystyle (1)} выбирают I n ( z ) {\displaystyle I_{n}(z)} и K n ( z ) , {\displaystyle K_{n}(z),} где
K n ( z ) = lim ν → n K ν ( z ) . {\displaystyle K_{n}(z)=\lim \limits _{\nu \to n}K_{\nu }(z).} Рекуррентные соотношения и формулы дифференцирования [ править | править код ] Модифицированные функции Бесселя первого рода [ править | править код ] ( d z d z ) m [ z ν I ν ( z ) ] = z ν − m I ν − m ( z ) . {\displaystyle \left({\frac {d}{zdz}}\right)^{m}{\Bigl [}z^{\nu }I_{\nu }(z){\Bigr ]}=z^{\nu -m}I_{\nu -m}(z).} ( d z d z ) m [ z − ν I ν ( z ) ] = z − ν − m I ν + m ( z ) . {\displaystyle \left({\frac {d}{zdz}}\right)^{m}{\Bigl [}z^{-\nu }I_{\nu }(z){\Bigr ]}=z^{-\nu -m}I_{\nu +m}(z).} I ν − 1 ( z ) − I ν + 1 ( z ) = 2 ν z − 1 I ν ( z ) . {\displaystyle I_{\nu -1}(z)-I_{\nu +1}(z)=2\nu z^{-1}I_{\nu }(z).} I ν − 1 ( z ) + I ν + 1 ( z ) = 2 I ν ′ ( z ) . {\displaystyle I_{\nu -1}(z)+I_{\nu +1}(z)=2I'_{\nu }(z).} Модифицированные функции Бесселя второго рода [ править | править код ] ( d z d z ) m [ z ν K ν ( z ) ] = ( − 1 ) m z ν − m K ν − m ( z ) . {\displaystyle \left({\frac {d}{zdz}}\right)^{m}{\Bigl [}z^{\nu }K_{\nu }(z){\Bigr ]}=(-1)^{m}z^{\nu -m}K_{\nu -m}(z).} ( d z d z ) m [ z − ν K ν ( z ) ] = ( − 1 ) m z − ν − m K ν + m ( z ) . {\displaystyle \left({\frac {d}{zdz}}\right)^{m}{\Bigl [}z^{-\nu }K_{\nu }(z){\Bigr ]}=(-1)^{m}z^{-\nu -m}K_{\nu +m}(z).} K ν − 1 ( z ) − K ν + 1 ( z ) = − 2 ν z − 1 K ν ( z ) . {\displaystyle K_{\nu -1}(z)-K_{\nu +1}(z)=-2\nu z^{-1}K_{\nu }(z).} K ν − 1 ( z ) + K ν + 1 ( z ) = − 2 K ν ′ ( z ) . {\displaystyle K_{\nu -1}(z)+K_{\nu +1}(z)=-2K'_{\nu }(z).} W [ I ν ( z ) , I − ν ( z ) ] = − 2 sin ( ν π ) π z . {\displaystyle W\left[I_{\nu }(z),I_{-\nu }(z)\right]=-{\frac {2\sin(\nu \pi )}{\pi z}}.} W [ I ν ( z ) , K ν ( z ) ] = − z − 1 . {\displaystyle W\left[I_{\nu }(z),K_{\nu }(z)\right]=-z^{-1}.} Модифицированные функции Бесселя первого рода [ править | править код ] I ν ( z ) = 2 − ν z ν π Γ ( ν + 1 2 ) ∫ 0 π e z cos t ( sin t ) 2 ν d t , R e ( ν ) > − 1 2 , Γ ( z ) {\displaystyle I_{\nu }(z)={\frac {2^{-\nu }z^{\nu }}{{\sqrt {\pi }}\Gamma (\nu +{\frac {1}{2}})}}\int _{0}^{\pi }e^{z\cos t}\left(\sin t\right)^{2\nu }dt,\qquad Re(\nu )>-{\frac {1}{2}},\Gamma (z)} — гамма-функция .
I ν ( z ) = 2 1 − ν z ν π Γ ( ν + 1 2 ) ∫ 0 1 ( 1 − t 2 ) ν − 1 2 cosh ( z t ) d t , R e ( ν ) > − 1 2 . {\displaystyle I_{\nu }(z)={\frac {2^{1-\nu }z^{\nu }}{{\sqrt {\pi }}\Gamma (\nu +{\frac {1}{2}})}}\int _{0}^{1}(1-t^{2})^{\nu -{\frac {1}{2}}}\cosh(zt)dt,\qquad Re(\nu )>-{\frac {1}{2}}.}
I ν ( z ) = 2 − ν z ν π Γ ( ν + 1 2 ) ∫ − 1 1 ( 1 − t 2 ) ν − 1 2 e − z t d t , R e ( ν ) > − 1 2 . {\displaystyle I_{\nu }(z)={\frac {2^{-\nu }z^{\nu }}{{\sqrt {\pi }}\Gamma (\nu +{\frac {1}{2}})}}\int _{-1}^{1}(1-t^{2})^{\nu -{\frac {1}{2}}}e^{-zt}dt,\qquad Re(\nu )>-{\frac {1}{2}}.}
I n ( z ) = 1 π ∫ 0 π e z cos t cos ( n t ) d t , n ∈ Z , R e ( z ) > 0. {\displaystyle I_{n}(z)={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\pi }e^{z\cos t}\cos(nt)dt,\qquad n\in \mathbb {Z} ,Re(z)>0.} Модифицированные функции Бесселя второго рода [ править | править код ] K ν ( z ) = ∫ 0 ∞ e − z cosh t cosh ( ν t ) d t , | A r g ( z ) | < π 2 . {\displaystyle {{K}_{\nu }}(z)=\int _{0}^{\infty }{{e}^{-z\cosh t}}\cosh(\nu t)dt,\qquad |Arg(z)|<{\frac {\pi }{2}}.}
K ν ( z ) = π ( z 2 ) ν Γ ( ν + 1 2 ) ∫ 1 ∞ ( t 2 − 1 ) ν − 1 2 e − z t d t , R e ( ν ) > − 1 2 , | A r g ( z ) | < π 2 . {\displaystyle {{K}_{\nu }}(z)={\frac {{\sqrt {\pi }}{{\left({\frac {z}{2}}\right)}^{\nu }}}{\Gamma (\nu +{\frac {1}{2}})}}\int _{1}^{\infty }{{({{t}^{2}}-1)}^{\nu -{\frac {1}{2}}}}{{e}^{-zt}}dt,\qquad Re(\nu )>-{\frac {1}{2}},|Arg(z)|<{\frac {\pi }{2}}.}
K ν ( z ) = π ( z 2 ) ν Γ ( ν + 1 2 ) ∫ 0 ∞ e − z cosh t ( sinh t ) 2 ν d t , R e ( ν ) > − 1 2 , | A r g ( z ) | < π 2 . {\displaystyle {{K}_{\nu }}(z)={\frac {{\sqrt {\pi }}{{\left({\frac {z}{2}}\right)}^{\nu }}}{\Gamma (\nu +{\frac {1}{2}})}}\int _{0}^{\infty }{{e}^{-z\cosh t}}{{\left(\sinh t\right)}^{2\nu }}dt,\qquad Re(\nu )>-{\frac {1}{2}},|Arg(z)|<{\frac {\pi }{2}}.} I ν ( z ) ∝ e z 2 π z ( 1 + O ( 1 z ) ) , | A r g ( z ) | < π 2 , | z | → ∞ . {\displaystyle I_{\nu }(z)\varpropto {\frac {e^{z}}{\sqrt {2\pi z}}}\left(1+O\left({\frac {1}{z}}\right)\right),\qquad \left|Arg(z)\right|<{\frac {\pi }{2}},\left|z\right|\to \infty .} K ν ( z ) ∝ π 2 e − z z ( 1 + O ( 1 z ) ) , | z | → ∞ . {\displaystyle K_{\nu }(z)\varpropto {\sqrt {\frac {\pi }{2}}}{\frac {e^{-z}}{\sqrt {z}}}\left(1+O\left({\frac {1}{z}}\right)\right),\qquad \left|z\right|\to \infty .} Частный и общий случаи:
K 0 ( z ) = π 2 z e − z ∑ m = 0 ∞ [ ( 2 m − 1 ) ! ! ] 2 m ! ( − 8 z ) m , | z | → ∞ , | arg z | < π / 2 {\displaystyle K_{0}(z)={\sqrt {\frac {\pi }{2z}}}e^{-z}\sum \limits _{m=0}^{\infty }{\frac {\left[\left({2m-1}\right)!!\right]^{2}}{m!\left(-{8z}\right)^{m}}},\qquad \left|z\right|\to \infty ,\quad |\arg z|<\pi /2} K ν ( z ) = π 2 z e − z ( 1 + ( 4 ν 2 − 1 2 ) 1 ! ( 8 z ) 1 + ( 4 ν 2 − 1 2 ) ( 4 ν 2 − 3 2 ) 2 ! ( 8 z ) 2 + … ) , | z | → ∞ , | arg z | < π / 2 {\displaystyle K_{\nu }(z)={\sqrt {\frac {\pi }{2z}}}e^{-z}{\Bigl (}1+{\frac {\left({4\nu ^{2}-1^{2}}\right)}{1!\left(8z\right)^{1}}}+{\frac {{\left({4\nu ^{2}-1^{2}}\right)}{\left({4\nu ^{2}-3^{2}}\right)}}{2!\left(8z\right)^{2}}}+\ldots {\Bigr )},\qquad \left|z\right|\to \infty ,\quad |\arg z|<\pi /2} Ватсон Г. Теория бесселевых функций. Т. 1, 2. — М.: ИЛ , 1949. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. Функции Бесселя, функции параболического цилиндра, ортогональные многочлены: Справочная математическая библиотека. — М.: Физматгиз , 1966. — 296 с.