Формула Ито — формула замены переменной в стохастическом дифференциальном уравнении. Автор формулы Ито Киёси — японский математик-статистик.
Дан случайный процесс
, заданный на фильтрованном вероятностном пространстве
с потоком
.
Пусть дано стохастическое дифференциальное уравнение
, или, в интегральной форме,
![{\displaystyle X_{t}=X_{0}+\int \limits _{0}^{t}a(s,\omega )\,ds+\int \limits _{0}^{t}b(s,\omega )\,dB_{s},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/92611f17e7de2db881408ef8a95dcec57aee4440)
где
— броуновское движение.
Пусть теперь
— заданная на
непрерывная функция из класса
, то есть имеющая производные
При этих предположениях выполняется
![{\displaystyle dF(t,X_{t})=\left[{\frac {\partial F}{\partial t}}+a(t,\omega ){\frac {\partial F}{\partial x}}+{\frac {1}{2}}b^{2}(t,\omega ){\frac {\partial ^{2}F}{\partial x^{2}}}\right]\,dt+{\frac {\partial F}{\partial x}}b(t,\omega )\,dB_{t}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a17a2509bf728b4a699ebdd17bc3b2a7f74283cc)
Говоря более строго, при каждом
для
справедлива следующая формула Ито:
![{\displaystyle F(t,X_{t})=F(0,X_{0})+\int \limits _{0}^{t}\left[{\frac {\partial F}{\partial t}}+a(s,\omega ){\frac {\partial F}{\partial x}}+{\frac {1}{2}}b^{2}(s,\omega ){\frac {\partial ^{2}F}{\partial x^{2}}}\right]\,ds+\int \limits _{0}^{t}{\frac {\partial F}{\partial x}}b(s,\omega )\,dB_{s}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/be597923bd7aae256bebfbc31dc0ea07248e2ac6)
| Этот раздел статьи ещё не написан. Здесь может располагаться отдельный раздел. Помогите Википедии, написав его. (7 июня 2024) |