Геометрическая фигура

Пусть фигура ${\displaystyle A}$ эквивалентна фигуре ${\displaystyle B}$, тогда существует преобразование ${\displaystyle g}$ группы ${\displaystyle G}$, переводящее ${\displaystyle A}$ в ${\displaystyle B}$. Поскольку ${\displaystyle G}$ — группа, в ${\displaystyle G}$ существует обратное преобразование ${\displaystyle g^{-1}}$, переводящее ${\displaystyle B}$ в ${\displaystyle A}$, то есть ${\displaystyle B}$ эквивалентна ${\displaystyle A}$.

Пусть фигура ${\displaystyle A}$ эквивалентна фигуре ${\displaystyle C}$, тогда существует преобразование ${\displaystyle g}$ группы ${\displaystyle G}$, переводящее ${\displaystyle A}$ в ${\displaystyle C}$. И пусть фигура ${\displaystyle B}$ эквивалентна фигуре ${\displaystyle C}$, тогда существует преобразование ${\displaystyle h}$ группы ${\displaystyle G}$, переводящее ${\displaystyle B}$ в ${\displaystyle C}$. Поскольку ${\displaystyle G}$ — группа, в ${\displaystyle G}$ существует обратное преобразование ${\displaystyle h^{-1}}$, переводящее ${\displaystyle C}$ в ${\displaystyle B}$. И поскольку ${\displaystyle G}$ — группа, в ${\displaystyle G}$ существует преобразование ${\displaystyle h^{-1}g}$, которое есть последовательное выполнение ${\displaystyle g}$ и ${\displaystyle h^{-1}}$, переводящее ${\displaystyle A}$ в ${\displaystyle B}$, то есть ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$ эквивалентны.

1. Пусть имеются два любых автоморфизма, то есть любые два преобразования группы ${\displaystyle G}$, отображающие некоторую фигуру ${\displaystyle U}$ на себя. Тогда, поскольку ${\displaystyle G}$ — группа, их последовательное выполнение есть снова преобразование ${\displaystyle G}$, отображающее ${\displaystyle U}$ на себя. Таким образом, последовательное выполнение двух автоморфизмов есть снова автоморфизм.

2. Пусть имеется любой автоморфизм, то есть любое преобразования группы ${\displaystyle G}$, отображающее некоторую фигуру ${\displaystyle U}$ на себя. Тогда, поскольку ${\displaystyle G}$ — группа, обратное преобразование есть снова преобразование ${\displaystyle G}$, причём отображающее ${\displaystyle U}$ на себя. Таким образом, преобразование, обратное автоморфизму, есть снова автоморфизм.

Так как ${\displaystyle G}$ — группа преобразований, этих двух свойств автоморфизмов достаточно для того, чтобы множество всех автоморфизмов данной группы ${\displaystyle G}$ относительно любой фигуры ${\displaystyle U}$ было группой — подгруппой группы ${\displaystyle G}$.