Синусы и косинусы основных углов на тригонометрической окружности .В данной статье приведены точные алгебраические выражения для некоторых тригонометрических чисел . Такие выражения могут потребоваться, например, для приведения результатов выражений с тригонометрическими функциями в радикальную форму, что даёт возможность для дальнейшего упрощения.
Любое тригонометрическое число алгебраично . Некоторые тригонометрические числа могут быть выражены в комплексных радикалах , однако не всегда в действительных: в частности, среди значений тригонометрических функций в углах, выражающихся целым числом градусов , в действительных радикалах могут быть выражены только значения в тех из них, количество градусов в которых кратно трём. Но по теореме Абеля бывают и те, которые неразрешимы в радикалах.
По теореме Нивена [англ.] синуса с рациональным в градусах аргументом значение либо иррационально , либо равно одному из чисел среди 0 {\displaystyle 0} 1 2 {\displaystyle {\frac {1}{2}}} 1 {\displaystyle 1} − 1 2 {\displaystyle -{\frac {1}{2}}} − 1 {\displaystyle -1}
По теореме Бейкера [англ.] синус , косинус или тангенс в данной точке дают алгебраическое число , то их аргумент в градусах либо рационален , либо трансцендентен . Иначе говоря, если аргумент в градусах алгебраичен и иррационален , то значения всех тригонометрических функций от этого аргумента будут трансцендентны .
Содержание 1 Критерии включения 2 Таблица некоторых часто встречающихся углов 3 Дальнейшие углы 3.1 0° = 0 (rad) 3.2 1,5°=(1/120)π (rad) 3.3 1,875°=(1/96)π (rad) 3.4 2,25°=(1/80)π (rad) 3.5 2,8125°=(1/64)π (rad) 3.6 3°=(1/60)π (rad) 3.7 3,75°=(1/48)π (rad) 3.8 4,5°=(1/40)π (rad) 3.9 5,625°=(1/32)π (rad) 3.10 6°=(1/30)π (rad) 3.11 7,5°=(1/24)π (rad) 3.12 9°=(1/20)π (rad) 3.13 11,25°=(1/16)π (rad) 3.14 12°=(1/15)π (rad) 3.15 15°=(1/12)π (rad) 3.16 18°=(1/10)π (rad)[ 1] 3.17 21°=(7/60)π (rad) 3.18 22,5°=(1/8)π (rad) 3.19 24°=(2/15)π (rad) 3.20 27°=(3/20)π (rad) 3.21 30°=(1/6)π (rad) 3.22 33°=(11/60)π (rad) 3.23 36°=(1/5)π (rad) 3.24 39°=(13/60)π (rad) 3.25 42°=(7/30)π (rad) 3.26 45°=(1/4)π (rad) 3.27 54°=(3/10)π (rad) 3.28 60°=(1/3)π (rad) 3.29 67,5°=(3/8)π (rad) 3.30 72°=(2/5)π (rad) 3.31 75°=(5/12)π (rad) 3.32 90°=(1/2)π (rad) 4 Список значений тригонометрических функций от аргумента, равного 2π/n 5 Прочее 6 Подсчитанные значения синуса и косинуса 7 Способы упрощения выражений 8 См. также 9 Примечания 10 Ссылки Значения для тригонометрических функций от аргумента, соизмеримого с π {\displaystyle \pi } выразимы в действительных радикалах , только если знаменатель сокращённой рациональной дроби, полученной делением его на π {\displaystyle \pi } чисел Ферма (см. теорема Гаусса — Ванцеля ). Данная страница посвящена преимущественно углам, выражающимся в действительных радикалах.
При помощи формулы половинного угла можно получать алгебраические выражения для значений тригонометрических функций в любом угле, для которого они уже найдены, делённом пополам. В частности, для углов, лежащих на промежутке от 0 {\displaystyle 0} π 2 {\displaystyle {\frac {\pi }{2}}}
sin α 2 = 1 − cos α 2 {\displaystyle \sin {\alpha \over 2}={\sqrt {1-\cos \alpha \over 2}}} cos α 2 = 1 + cos α 2 {\displaystyle \cos {\alpha \over 2}={\sqrt {1+\cos \alpha \over 2}}} tg α 2 = 1 − cos α 1 + cos α {\displaystyle \operatorname {tg} {\alpha \over 2}={\sqrt {1-\cos \alpha \over 1+\cos \alpha }}} Выражения ниже позволяют также получать выражения в комплексных радикалах значений тригонометрических функций в тех углах, в которых они не выражаются в действительных. К примеру, при наличии формулы для угла θ {\displaystyle \theta } θ {\displaystyle \theta } / 3 уравнения третьей степени :
4 cos 3 θ 3 − 3 cos θ 3 = cos θ , {\displaystyle 4\cos ^{3}{\frac {\theta }{3}}-3\cos {\frac {\theta }{3}}=\cos \theta ,} Однако в его решении в общем виде могут возникнуть комплексные невещественные числа (этот случай называется casus irreducibilis ).
Встречаются различные единицы измерения углов , например, градусы , радианы , обороты , грады (гоны) .
1 полный оборот = 360 ∘ = 2 π ( r a d ) = 400 ( g o n ) . {\displaystyle 1\,{\text{полный оборот}}=360^{\circ }=2\pi (\mathrm {rad} )=400(\mathrm {gon} ).} Эта таблица показывает переводы из одних мер в другие и значения тригонометрических функций от наиболее часто встречающихся углов:
Обороты Градусы Радианы Грады (гоны) Синус Косинус Тангенс 0 0° 0 0 0 1 0 1 / 12 30° π {\displaystyle \pi } / 6 33+ 1 / 3 1 / 2 √ 3 / 2 √ 3 / 3 1 / 8 45° π {\displaystyle \pi } / 4 50 √ 2 / 2 √ 2 / 2 1 1 / 6 60° π {\displaystyle \pi } / 3 66+ 2 / 3 √ 3 / 2 1 / 2 √ 3 1 / 4 90° π {\displaystyle \pi } / 2 100 1 0 1 / 3 120° 2 π {\displaystyle \pi } / 3 133+ 1 / 3 √ 3 / 2 −1 / 2 −√ 3 3 / 8 135° 3 π {\displaystyle \pi } / 4 150 √ 2 / 2 −√ 2 / 2 −1 5 / 12 150° 5 π {\displaystyle \pi } / 6 166+ 2 / 3 1 / 2 −√ 3 / 2 −√ 3 / 3 1 / 2 180° π {\displaystyle \pi } 200 0 −1 0 7 / 12 210° 7 π {\displaystyle \pi } / 6 233+ 1 / 3 −1 / 2 −√ 3 / 2 √ 3 / 3 5 / 8 225° 5 π {\displaystyle \pi } / 4 250 −√ 2 / 2 −√ 2 / 2 1 2 / 3 240° 4 π {\displaystyle \pi } / 3 266+ 2 / 3 −√ 3 / 2 −1 / 2 √ 3 3 / 4 270° 3 π {\displaystyle \pi } / 2 300 −1 0 5 / 6 300° 5 π {\displaystyle \pi } / 3 333+ 1 / 3 −√ 3 / 2 1 / 2 −√ 3 7 / 8 315° 7 π {\displaystyle \pi } / 4 350 −√ 2 / 2 √ 2 / 2 −1 11 / 12 330° 11 π {\displaystyle \pi } / 6 366+ 2 / 3 −1 / 2 √ 3 / 2 −√ 3 / 3 1 360° 2 π {\displaystyle \pi } 400 0 1 0
Таблица значений синуса и косинуса углов с градусной мерой, кратной трём (от 0 до 45°). Значения тригонометрических функций в углах, не находящихся в промежутке от 0 ∘ {\displaystyle 0^{\circ }} 45 ∘ {\displaystyle 45^{\circ }} формул приведения . Все углы записаны в градусах и радианах , при этом число, обратное множителю, стоящему перед π {\displaystyle \pi } символа Шлефли правильного (возможно, звёздчатого) многоугольника с внешним углом, равным данному.
sin 0 = 0 {\displaystyle \sin 0=0\,} cos 0 = 1 {\displaystyle \cos 0=1\,} tg 0 = 0 {\displaystyle \operatorname {tg} 0=0\,} ctg 0 = ∞ {\displaystyle \operatorname {ctg} 0=\infty \,} sin ( π 120 ) = sin ( 1.5 ∘ ) = ( 2 + 2 ) ( 15 + 3 − 10 − 2 5 ) − ( 2 − 2 ) ( 30 − 6 5 + 5 + 1 ) 16 {\displaystyle \sin \left({\frac {\pi }{120}}\right)=\sin \left(1.5^{\circ }\right)={\frac {\left({\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}\right)\left({\sqrt {15}}+{\sqrt {3}}-{\sqrt {10-2{\sqrt {5}}}}\right)-\left({\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}\right)\left({\sqrt {30-6{\sqrt {5}}}}+{\sqrt {5}}+1\right)}{16}}} cos ( π 120 ) = cos ( 1.5 ∘ ) = ( 2 + 2 ) ( 30 − 6 5 + 5 + 1 ) + ( 2 − 2 ) ( 15 + 3 − 10 − 2 5 ) 16 {\displaystyle \cos \left({\frac {\pi }{120}}\right)=\cos \left(1.5^{\circ }\right)={\frac {\left({\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}\right)\left({\sqrt {30-6{\sqrt {5}}}}+{\sqrt {5}}+1\right)+\left({\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}\right)\left({\sqrt {15}}+{\sqrt {3}}-{\sqrt {10-2{\sqrt {5}}}}\right)}{16}}} sin ( π 96 ) = sin ( 1.875 ∘ ) = 1 2 2 − 2 + 2 + 2 + 3 {\displaystyle \sin \left({\frac {\pi }{96}}\right)=\sin \left(1.875^{\circ }\right)={\frac {1}{2}}{\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {3}}}}}}}}}}} cos ( π 96 ) = cos ( 1.875 ∘ ) = 1 2 2 + 2 + 2 + 2 + 3 {\displaystyle \cos \left({\frac {\pi }{96}}\right)=\cos \left(1.875^{\circ }\right)={\frac {1}{2}}{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {3}}}}}}}}}}} sin ( π 80 ) = sin ( 2.25 ∘ ) = 1 2 2 − 2 + 2 + 5 + 5 2 {\displaystyle \sin \left({\frac {\pi }{80}}\right)=\sin \left(2.25^{\circ }\right)={\frac {1}{2}}{\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {\frac {5+{\sqrt {5}}}{2}}}}}}}}}} cos ( π 80 ) = cos ( 2.25 ∘ ) = 1 2 2 + 2 + 2 + 5 + 5 2 {\displaystyle \cos \left({\frac {\pi }{80}}\right)=\cos \left(2.25^{\circ }\right)={\frac {1}{2}}{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {\frac {5+{\sqrt {5}}}{2}}}}}}}}}} sin ( π 64 ) = sin ( 2.8125 ∘ ) = 1 2 2 − 2 + 2 + 2 + 2 {\displaystyle \sin \left({\frac {\pi }{64}}\right)=\sin \left(2.8125^{\circ }\right)={\frac {1}{2}}{\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}}}}}}} cos ( π 64 ) = cos ( 2.8125 ∘ ) = 1 2 2 + 2 + 2 + 2 + 2 {\displaystyle \cos \left({\frac {\pi }{64}}\right)=\cos \left(2.8125^{\circ }\right)={\frac {1}{2}}{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}}}}}}} sin ( π 60 ) = sin ( 3 ∘ ) = 2 ( 1 − 3 ) 5 + 5 + ( 10 − 2 ) ( 3 + 1 ) 16 {\displaystyle \sin \left({\frac {\pi }{60}}\right)=\sin \left(3^{\circ }\right)={\frac {2\left(1-{\sqrt {3}}\right){\sqrt {5+{\sqrt {5}}}}+\left({\sqrt {10}}-{\sqrt {2}}\right)\left({\sqrt {3}}+1\right)}{16}}\,} cos ( π 60 ) = cos ( 3 ∘ ) = 2 ( 1 + 3 ) 5 + 5 + ( 10 − 2 ) ( 3 − 1 ) 16 {\displaystyle \cos \left({\frac {\pi }{60}}\right)=\cos \left(3^{\circ }\right)={\frac {2\left(1+{\sqrt {3}}\right){\sqrt {5+{\sqrt {5}}}}+\left({\sqrt {10}}-{\sqrt {2}}\right)\left({\sqrt {3}}-1\right)}{16}}\,} tg ( π 60 ) = tg ( 3 ∘ ) = [ ( 2 − 3 ) ( 3 + 5 ) − 2 ] [ 2 − 10 − 2 5 ] 4 {\displaystyle \operatorname {tg} \left({\frac {\pi }{60}}\right)=\operatorname {tg} \left(3^{\circ }\right)={\frac {\left[\left(2-{\sqrt {3}}\right)\left(3+{\sqrt {5}}\right)-2\right]\left[2-{\sqrt {10-2{\sqrt {5}}}}\right]}{4}}\,} ctg ( π 60 ) = ctg ( 3 ∘ ) = [ ( 2 + 3 ) ( 3 + 5 ) − 2 ] [ 2 + 10 − 2 5 ] 4 {\displaystyle \operatorname {ctg} \left({\frac {\pi }{60}}\right)=\operatorname {ctg} \left(3^{\circ }\right)={\frac {\left[\left(2+{\sqrt {3}}\right)\left(3+{\sqrt {5}}\right)-2\right]\left[2+{\sqrt {10-2{\sqrt {5}}}}\right]}{4}}\,} sin ( π 48 ) = sin ( 3.75 ∘ ) = 1 2 2 − 2 + 2 + 3 {\displaystyle \sin \left({\frac {\pi }{48}}\right)=\sin \left(3.75^{\circ }\right)={\frac {1}{2}}{\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {3}}}}}}}}} cos ( π 48 ) = cos ( 3.75 ∘ ) = 1 2 2 + 2 + 2 + 3 {\displaystyle \cos \left({\frac {\pi }{48}}\right)=\cos \left(3.75^{\circ }\right)={\frac {1}{2}}{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {3}}}}}}}}} sin ( π 40 ) = sin ( 4.5 ∘ ) = 1 2 2 − 2 + 5 + 5 2 {\displaystyle \sin \left({\frac {\pi }{40}}\right)=\sin \left(4.5^{\circ }\right)={\frac {1}{2}}{\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {\frac {5+{\sqrt {5}}}{2}}}}}}}} cos ( π 40 ) = cos ( 4.5 ∘ ) = 1 2 2 + 2 + 5 + 5 2 {\displaystyle \cos \left({\frac {\pi }{40}}\right)=\cos \left(4.5^{\circ }\right)={\frac {1}{2}}{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {\frac {5+{\sqrt {5}}}{2}}}}}}}} sin ( π 32 ) = sin ( 5.625 ∘ ) = 1 2 2 − 2 + 2 + 2 {\displaystyle \sin \left({\frac {\pi }{32}}\right)=\sin \left(5.625^{\circ }\right)={\frac {1}{2}}{\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}}}}} cos ( π 32 ) = cos ( 5.625 ∘ ) = 1 2 2 + 2 + 2 + 2 {\displaystyle \cos \left({\frac {\pi }{32}}\right)=\cos \left(5.625^{\circ }\right)={\frac {1}{2}}{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}}}}} sin π 30 = sin 6 ∘ = 30 − 180 − 5 − 1 8 {\displaystyle \sin {\frac {\pi }{30}}=\sin 6^{\circ }={\frac {{\sqrt {30-{\sqrt {180}}}}-{\sqrt {5}}-1}{8}}\,} cos π 30 = cos 6 ∘ = 10 − 20 + 3 + 15 8 {\displaystyle \cos {\frac {\pi }{30}}=\cos 6^{\circ }={\frac {{\sqrt {10-{\sqrt {20}}}}+{\sqrt {3}}+{\sqrt {15}}}{8}}\,} tg π 30 = tg 6 ∘ = 10 − 20 + 3 − 15 2 {\displaystyle \operatorname {tg} {\frac {\pi }{30}}=\operatorname {tg} 6^{\circ }={\frac {{\sqrt {10-{\sqrt {20}}}}+{\sqrt {3}}-{\sqrt {15}}}{2}}\,} ctg π 30 = ctg 6 ∘ = 27 + 15 + 50 + 2420 2 {\displaystyle \operatorname {ctg} {\frac {\pi }{30}}=\operatorname {ctg} 6^{\circ }={\frac {{\sqrt {27}}+{\sqrt {15}}+{\sqrt {50+{\sqrt {2420}}}}}{2}}\,} sin ( π 24 ) = sin ( 7.5 ∘ ) = 1 2 2 − 2 + 3 = 1 4 8 − 2 6 − 2 2 {\displaystyle \sin \left({\frac {\pi }{24}}\right)=\sin \left(7.5^{\circ }\right)={\frac {1}{2}}{\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {3}}}}}}={\frac {1}{4}}{\sqrt {8-2{\sqrt {6}}-2{\sqrt {2}}}}} cos ( π 24 ) = cos ( 7.5 ∘ ) = 1 2 2 + 2 + 3 = 1 4 8 + 2 6 + 2 2 {\displaystyle \cos \left({\frac {\pi }{24}}\right)=\cos \left(7.5^{\circ }\right)={\frac {1}{2}}{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {3}}}}}}={\frac {1}{4}}{\sqrt {8+2{\sqrt {6}}+2{\sqrt {2}}}}} tg ( π 24 ) = tg ( 7.5 ∘ ) = 6 − 3 + 2 − 2 = ( 2 − 1 ) ( 3 − 2 ) {\displaystyle \operatorname {tg} \left({\frac {\pi }{24}}\right)=\operatorname {tg} \left(7.5^{\circ }\right)={\sqrt {6}}-{\sqrt {3}}+{\sqrt {2}}-2\ =\left({\sqrt {2}}-1\right)\left({\sqrt {3}}-{\sqrt {2}}\right)} ctg ( π 24 ) = ctg ( 7.5 ∘ ) = 6 + 3 + 2 + 2 = ( 2 + 1 ) ( 3 + 2 ) {\displaystyle \operatorname {ctg} \left({\frac {\pi }{24}}\right)=\operatorname {ctg} \left(7.5^{\circ }\right)={\sqrt {6}}+{\sqrt {3}}+{\sqrt {2}}+2\ =\left({\sqrt {2}}+1\right)\left({\sqrt {3}}+{\sqrt {2}}\right)} sin π 20 = sin 9 ∘ = 1 2 2 − 5 + 5 2 {\displaystyle \sin {\frac {\pi }{20}}=\sin 9^{\circ }={\frac {1}{2}}{\sqrt {2-{\sqrt {\frac {5+{\sqrt {5}}}{2}}}}}} cos π 20 = cos 9 ∘ = 1 2 2 + 5 + 5 2 {\displaystyle \cos {\frac {\pi }{20}}=\cos 9^{\circ }={\frac {1}{2}}{\sqrt {2+{\sqrt {\frac {5+{\sqrt {5}}}{2}}}}}} tg π 20 = tg 9 ∘ = 5 + 1 − 5 + 2 5 {\displaystyle \operatorname {tg} {\frac {\pi }{20}}=\operatorname {tg} 9^{\circ }={\sqrt {5}}+1-{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}\,} ctg π 20 = ctg 9 ∘ = 5 + 1 + 5 + 2 5 {\displaystyle \operatorname {ctg} {\frac {\pi }{20}}=\operatorname {ctg} 9^{\circ }={\sqrt {5}}+1+{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}\,} sin π 16 = sin 11.25 ∘ = 1 2 2 − 2 + 2 {\displaystyle \sin {\frac {\pi }{16}}=\sin 11.25^{\circ }={\frac {1}{2}}{\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}}} cos π 16 = cos 11.25 ∘ = 1 2 2 + 2 + 2 {\displaystyle \cos {\frac {\pi }{16}}=\cos 11.25^{\circ }={\frac {1}{2}}{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}}} tg π 16 = tg 11.25 ∘ = 4 + 2 2 − 2 − 1 {\displaystyle \operatorname {tg} {\frac {\pi }{16}}=\operatorname {tg} 11.25^{\circ }={\sqrt {4+2{\sqrt {2}}}}-{\sqrt {2}}-1} ctg π 16 = ctg 11.25 ∘ = 4 + 2 2 + 2 + 1 {\displaystyle \operatorname {ctg} {\frac {\pi }{16}}=\operatorname {ctg} 11.25^{\circ }={\sqrt {4+2{\sqrt {2}}}}+{\sqrt {2}}+1} sin π 15 = sin 12 ∘ = 1 8 [ 2 ( 5 + 5 ) + 3 − 15 ] {\displaystyle \sin {\frac {\pi }{15}}=\sin 12^{\circ }={\tfrac {1}{8}}\left[{\sqrt {2\left(5+{\sqrt {5}}\right)}}+{\sqrt {3}}-{\sqrt {15}}\right]\,} cos π 15 = cos 12 ∘ = 1 8 [ 6 ( 5 + 5 ) + 5 − 1 ] {\displaystyle \cos {\frac {\pi }{15}}=\cos 12^{\circ }={\tfrac {1}{8}}\left[{\sqrt {6\left(5+{\sqrt {5}}\right)}}+{\sqrt {5}}-1\right]\,} tg π 15 = tg 12 ∘ = 1 2 [ 3 3 − 15 − 2 ( 25 − 11 5 ) ] {\displaystyle \operatorname {tg} {\frac {\pi }{15}}=\operatorname {tg} 12^{\circ }={\tfrac {1}{2}}\left[3{\sqrt {3}}-{\sqrt {15}}-{\sqrt {2\left(25-11{\sqrt {5}}\right)}}\,\right]\,} ctg π 15 = ctg 12 ∘ = 1 2 [ 15 + 3 + 2 ( 5 + 5 ) ] {\displaystyle \operatorname {ctg} {\frac {\pi }{15}}=\operatorname {ctg} 12^{\circ }={\tfrac {1}{2}}\left[{\sqrt {15}}+{\sqrt {3}}+{\sqrt {2\left(5+{\sqrt {5}}\right)}}\,\right]\,} sin π 12 = sin 15 ∘ = 1 4 ( 6 − 2 ) = 1 2 2 − 3 {\displaystyle \sin {\frac {\pi }{12}}=\sin 15^{\circ }={\frac {1}{4}}\left({\sqrt {6}}-{\sqrt {2}}\right)={\frac {1}{2}}{\sqrt {2-{\sqrt {3}}}}} cos π 12 = cos 15 ∘ = 1 4 ( 6 + 2 ) = 1 2 2 + 3 {\displaystyle \cos {\frac {\pi }{12}}=\cos 15^{\circ }={\frac {1}{4}}\left({\sqrt {6}}+{\sqrt {2}}\right)={\frac {1}{2}}{\sqrt {2+{\sqrt {3}}}}} tg π 12 = tg 15 ∘ = 2 − 3 {\displaystyle \operatorname {tg} {\frac {\pi }{12}}=\operatorname {tg} 15^{\circ }=2-{\sqrt {3}}\,} ctg π 12 = ctg 15 ∘ = 2 + 3 {\displaystyle \operatorname {ctg} {\frac {\pi }{12}}=\operatorname {ctg} 15^{\circ }=2+{\sqrt {3}}\,} sin π 10 = sin 18 ∘ = 1 4 ( 5 − 1 ) {\displaystyle \sin {\frac {\pi }{10}}=\sin 18^{\circ }={\tfrac {1}{4}}\left({\sqrt {5}}-1\right)\,} cos π 10 = cos 18 ∘ = 1 4 2 ( 5 + 5 ) {\displaystyle \cos {\frac {\pi }{10}}=\cos 18^{\circ }={\tfrac {1}{4}}{\sqrt {2\left(5+{\sqrt {5}}\right)}}\,} tg π 10 = tg 18 ∘ = 1 5 5 ( 5 − 2 5 ) {\displaystyle \operatorname {tg} {\frac {\pi }{10}}=\operatorname {tg} 18^{\circ }={\tfrac {1}{5}}{\sqrt {5\left(5-2{\sqrt {5}}\right)}}\,} ctg π 10 = ctg 18 ∘ = 5 + 2 5 {\displaystyle \operatorname {ctg} {\frac {\pi }{10}}=\operatorname {ctg} 18^{\circ }={\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}\,} sin 7 π 60 = sin 21 ∘ = 1 16 ( 2 ( 3 + 1 ) 5 − 5 − ( 6 − 2 ) ( 1 + 5 ) ) {\displaystyle \sin {\frac {7\pi }{60}}=\sin 21^{\circ }={\frac {1}{16}}\left(2\left({\sqrt {3}}+1\right){\sqrt {5-{\sqrt {5}}}}-\left({\sqrt {6}}-{\sqrt {2}}\right)\left(1+{\sqrt {5}}\right)\right)\,} cos 7 π 60 = cos 21 ∘ = 1 16 ( 2 ( 3 − 1 ) 5 − 5 + ( 6 + 2 ) ( 1 + 5 ) ) {\displaystyle \cos {\frac {7\pi }{60}}=\cos 21^{\circ }={\frac {1}{16}}\left(2\left({\sqrt {3}}-1\right){\sqrt {5-{\sqrt {5}}}}+\left({\sqrt {6}}+{\sqrt {2}}\right)\left(1+{\sqrt {5}}\right)\right)\,} tg 7 π 60 = tg 21 ∘ = 1 4 ( 2 − ( 2 + 3 ) ( 3 − 5 ) ) ( 2 − 2 ( 5 + 5 ) ) {\displaystyle \operatorname {tg} {\frac {7\pi }{60}}=\operatorname {tg} 21^{\circ }={\frac {1}{4}}\left(2-\left(2+{\sqrt {3}}\right)\left(3-{\sqrt {5}}\right)\right)\left(2-{\sqrt {2\left(5+{\sqrt {5}}\right)}}\right)\,} ctg 7 π 60 = ctg 21 ∘ = 1 4 ( 2 − ( 2 − 3 ) ( 3 − 5 ) ) ( 2 + 2 ( 5 + 5 ) ) {\displaystyle \operatorname {ctg} {\frac {7\pi }{60}}=\operatorname {ctg} 21^{\circ }={\frac {1}{4}}\left(2-\left(2-{\sqrt {3}}\right)\left(3-{\sqrt {5}}\right)\right)\left(2+{\sqrt {2\left(5+{\sqrt {5}}\right)}}\right)\,} sin π 8 = sin 22.5 ∘ = 1 2 2 − 2 , {\displaystyle \sin {\frac {\pi }{8}}=\sin 22.5^{\circ }={\frac {1}{2}}{\sqrt {2-{\sqrt {2}}}},} cos π 8 = cos 22.5 ∘ = 1 2 2 + 2 {\displaystyle \cos {\frac {\pi }{8}}=\cos 22.5^{\circ }={\frac {1}{2}}{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}\,} tg π 8 = tg 22.5 ∘ = 2 − 1 {\displaystyle \operatorname {tg} {\frac {\pi }{8}}=\operatorname {tg} 22.5^{\circ }={\sqrt {2}}-1\,} ctg π 8 = ctg 22.5 ∘ = 2 + 1 = δ S {\displaystyle \operatorname {ctg} {\frac {\pi }{8}}=\operatorname {ctg} 22.5^{\circ }={\sqrt {2}}+1=\delta _{S}\,} серебряное сечение sin 2 π 15 = sin 24 ∘ = 1 8 [ 15 + 3 − 2 ( 5 − 5 ) ] {\displaystyle \sin {\frac {2\pi }{15}}=\sin 24^{\circ }={\tfrac {1}{8}}\left[{\sqrt {15}}+{\sqrt {3}}-{\sqrt {2\left(5-{\sqrt {5}}\right)}}\right]\,} cos 2 π 15 = cos 24 ∘ = 1 8 ( 6 ( 5 − 5 ) + 5 + 1 ) {\displaystyle \cos {\frac {2\pi }{15}}=\cos 24^{\circ }={\tfrac {1}{8}}\left({\sqrt {6\left(5-{\sqrt {5}}\right)}}+{\sqrt {5}}+1\right)\,} tg 2 π 15 = tg 24 ∘ = 1 2 [ 50 + 22 5 − 3 3 − 15 ] {\displaystyle \operatorname {tg} {\frac {2\pi }{15}}=\operatorname {tg} 24^{\circ }={\tfrac {1}{2}}\left[{\sqrt {50+22{\sqrt {5}}}}-3{\sqrt {3}}-{\sqrt {15}}\right]\,} ctg 2 π 15 = ctg 24 ∘ = 1 2 [ 15 − 3 + 2 ( 5 − 5 ) ] {\displaystyle \operatorname {ctg} {\frac {2\pi }{15}}=\operatorname {ctg} 24^{\circ }={\tfrac {1}{2}}\left[{\sqrt {15}}-{\sqrt {3}}+{\sqrt {2\left(5-{\sqrt {5}}\right)}}\right]\,} sin 3 π 20 = sin 27 ∘ = 1 8 [ 2 5 + 5 − 2 ( 5 − 1 ) ] {\displaystyle \sin {\frac {3\pi }{20}}=\sin 27^{\circ }={\tfrac {1}{8}}\left[2{\sqrt {5+{\sqrt {5}}}}-{\sqrt {2}}\;\left({\sqrt {5}}-1\right)\right]\,} cos 3 π 20 = cos 27 ∘ = 1 8 [ 2 5 + 5 + 2 ( 5 − 1 ) ] {\displaystyle \cos {\frac {3\pi }{20}}=\cos 27^{\circ }={\tfrac {1}{8}}\left[2{\sqrt {5+{\sqrt {5}}}}+{\sqrt {2}}\;\left({\sqrt {5}}-1\right)\right]\,} tg 3 π 20 = tg 27 ∘ = 5 − 1 − 5 − 2 5 {\displaystyle \operatorname {tg} {\frac {3\pi }{20}}=\operatorname {tg} 27^{\circ }={\sqrt {5}}-1-{\sqrt {5-2{\sqrt {5}}}}\,} ctg 3 π 20 = ctg 27 ∘ = 5 − 1 + 5 − 2 5 {\displaystyle \operatorname {ctg} {\frac {3\pi }{20}}=\operatorname {ctg} 27^{\circ }={\sqrt {5}}-1+{\sqrt {5-2{\sqrt {5}}}}\,} sin π 6 = sin 30 ∘ = 1 2 {\displaystyle \sin {\frac {\pi }{6}}=\sin 30^{\circ }={\frac {1}{2}}\,} cos π 6 = cos 30 ∘ = 3 2 {\displaystyle \cos {\frac {\pi }{6}}=\cos 30^{\circ }={\frac {\sqrt {3}}{2}}\,} tg π 6 = tg 30 ∘ = 3 3 = 1 3 {\displaystyle \operatorname {tg} {\frac {\pi }{6}}=\operatorname {tg} 30^{\circ }={\frac {\sqrt {3}}{3}}={\frac {1}{\sqrt {3}}}\,} ctg π 6 = ctg 30 ∘ = 3 {\displaystyle \operatorname {ctg} {\frac {\pi }{6}}=\operatorname {ctg} 30^{\circ }={\sqrt {3}}\,} sin 11 π 60 = sin 33 ∘ = 1 16 [ 2 ( 3 − 1 ) 5 + 5 + 2 ( 1 + 3 ) ( 5 − 1 ) ] {\displaystyle \sin {\frac {11\pi }{60}}=\sin 33^{\circ }={\tfrac {1}{16}}\left[2\left({\sqrt {3}}-1\right){\sqrt {5+{\sqrt {5}}}}+{\sqrt {2}}\left(1+{\sqrt {3}}\right)\left({\sqrt {5}}-1\right)\right]\,} cos 11 π 60 = cos 33 ∘ = 1 16 [ 2 ( 3 + 1 ) 5 + 5 + 2 ( 1 − 3 ) ( 5 − 1 ) ] {\displaystyle \cos {\frac {11\pi }{60}}=\cos 33^{\circ }={\tfrac {1}{16}}\left[2\left({\sqrt {3}}+1\right){\sqrt {5+{\sqrt {5}}}}+{\sqrt {2}}\left(1-{\sqrt {3}}\right)\left({\sqrt {5}}-1\right)\right]\,} tg 11 π 60 = tg 33 ∘ = 1 4 [ 2 − ( 2 − 3 ) ( 3 + 5 ) ] [ 2 + 2 ( 5 − 5 ) ] {\displaystyle \operatorname {tg} {\frac {11\pi }{60}}=\operatorname {tg} 33^{\circ }={\tfrac {1}{4}}\left[2-\left(2-{\sqrt {3}}\right)\left(3+{\sqrt {5}}\right)\right]\left[2+{\sqrt {2\left(5-{\sqrt {5}}\right)}}\,\right]\,} ctg 11 π 60 = ctg 33 ∘ = 1 4 [ 2 − ( 2 + 3 ) ( 3 + 5 ) ] [ 2 − 2 ( 5 − 5 ) ] {\displaystyle \operatorname {ctg} {\frac {11\pi }{60}}=\operatorname {ctg} 33^{\circ }={\tfrac {1}{4}}\left[2-\left(2+{\sqrt {3}}\right)\left(3+{\sqrt {5}}\right)\right]\left[2-{\sqrt {2\left(5-{\sqrt {5}}\right)}}\,\right]\,} [ 1] sin π 5 = sin 36 ∘ = 1 4 10 − 2 5 {\displaystyle \sin {\frac {\pi }{5}}=\sin 36^{\circ }={\frac {1}{4}}{\sqrt {10-2{\sqrt {5}}}}} cos π 5 = cos 36 ∘ = 5 + 1 4 = φ 2 , {\displaystyle \cos {\frac {\pi }{5}}=\cos 36^{\circ }={\frac {{\sqrt {5}}+1}{4}}={\frac {\varphi }{2}},} φ {\displaystyle \varphi } золотое сечение ; tg π 5 = tg 36 ∘ = 5 − 2 5 {\displaystyle \operatorname {tg} {\frac {\pi }{5}}=\operatorname {tg} 36^{\circ }={\sqrt {5-2{\sqrt {5}}}}\,} ctg π 5 = ctg 36 ∘ = 1 5 25 + 10 5 {\displaystyle \operatorname {ctg} {\frac {\pi }{5}}=\operatorname {ctg} 36^{\circ }={\frac {1}{5}}{\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}} sin 13 π 60 = sin 39 ∘ = 1 16 [ 2 ( 1 − 3 ) 5 − 5 + 2 ( 3 + 1 ) ( 5 + 1 ) ] {\displaystyle \sin {\frac {13\pi }{60}}=\sin 39^{\circ }={\tfrac {1}{16}}\left[2\left(1-{\sqrt {3}}\right){\sqrt {5-{\sqrt {5}}}}+{\sqrt {2}}\left({\sqrt {3}}+1\right)\left({\sqrt {5}}+1\right)\right]\,} cos 13 π 60 = cos 39 ∘ = 1 16 [ 2 ( 1 + 3 ) 5 − 5 + 2 ( 3 − 1 ) ( 5 + 1 ) ] {\displaystyle \cos {\frac {13\pi }{60}}=\cos 39^{\circ }={\tfrac {1}{16}}\left[2\left(1+{\sqrt {3}}\right){\sqrt {5-{\sqrt {5}}}}+{\sqrt {2}}\left({\sqrt {3}}-1\right)\left({\sqrt {5}}+1\right)\right]\,} tg 13 π 60 = tg 39 ∘ = 1 4 [ ( 2 − 3 ) ( 3 − 5 ) − 2 ] [ 2 − 2 ( 5 + 5 ) ] {\displaystyle \operatorname {tg} {\frac {13\pi }{60}}=\operatorname {tg} 39^{\circ }={\tfrac {1}{4}}\left[\left(2-{\sqrt {3}}\right)\left(3-{\sqrt {5}}\right)-2\right]\left[2-{\sqrt {2\left(5+{\sqrt {5}}\right)}}\,\right]\,} ctg 13 π 60 = ctg 39 ∘ = 1 4 [ ( 2 + 3 ) ( 3 − 5 ) − 2 ] [ 2 + 2 ( 5 + 5 ) ] {\displaystyle \operatorname {ctg} {\frac {13\pi }{60}}=\operatorname {ctg} 39^{\circ }={\tfrac {1}{4}}\left[\left(2+{\sqrt {3}}\right)\left(3-{\sqrt {5}}\right)-2\right]\left[2+{\sqrt {2\left(5+{\sqrt {5}}\right)}}\,\right]\,} sin 7 π 30 = sin 42 ∘ = 30 + 6 5 − 5 + 1 8 {\displaystyle \sin {\frac {7\pi }{30}}=\sin 42^{\circ }={\frac {{\sqrt {30+6{\sqrt {5}}}}-{\sqrt {5}}+1}{8}}\,} cos 7 π 30 = cos 42 ∘ = 15 − 3 + 10 + 2 5 8 {\displaystyle \cos {\frac {7\pi }{30}}=\cos 42^{\circ }={\frac {{\sqrt {15}}-{\sqrt {3}}+{\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}}{8}}\,} tg 7 π 30 = tg 42 ∘ = 15 + 3 − 10 + 2 5 2 {\displaystyle \operatorname {tg} {\frac {7\pi }{30}}=\operatorname {tg} 42^{\circ }={\frac {{\sqrt {15}}+{\sqrt {3}}-{\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}}{2}}\,} ctg 7 π 30 = ctg 42 ∘ = 50 − 22 5 + 3 3 − 15 2 {\displaystyle \operatorname {ctg} {\frac {7\pi }{30}}=\operatorname {ctg} 42^{\circ }={\frac {{\sqrt {50-22{\sqrt {5}}}}+3{\sqrt {3}}-{\sqrt {15}}}{2}}\,} sin π 4 = sin 45 ∘ = 2 2 = 1 2 {\displaystyle \sin {\frac {\pi }{4}}=\sin 45^{\circ }={\frac {\sqrt {2}}{2}}={\frac {1}{\sqrt {2}}}\,} cos π 4 = cos 45 ∘ = 2 2 = 1 2 {\displaystyle \cos {\frac {\pi }{4}}=\cos 45^{\circ }={\frac {\sqrt {2}}{2}}={\frac {1}{\sqrt {2}}}\,} tg π 4 = tg 45 ∘ = 1 {\displaystyle \operatorname {tg} {\frac {\pi }{4}}=\operatorname {tg} 45^{\circ }=1\,} ctg π 4 = ctg 45 ∘ = 1 {\displaystyle \operatorname {ctg} {\frac {\pi }{4}}=\operatorname {ctg} 45^{\circ }=1\,} sin 3 π 10 = sin 54 ∘ = 5 + 1 4 {\displaystyle \sin {\frac {3\pi }{10}}=\sin 54^{\circ }={\frac {{\sqrt {5}}+1}{4}}\,\!} cos 3 π 10 = cos 54 ∘ = 10 − 2 5 4 {\displaystyle \cos {\frac {3\pi }{10}}=\cos 54^{\circ }={\frac {\sqrt {10-2{\sqrt {5}}}}{4}}} tg 3 π 10 = tg 54 ∘ = 25 + 10 5 5 {\displaystyle \operatorname {tg} {\frac {3\pi }{10}}=\operatorname {tg} 54^{\circ }={\frac {\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}{5}}\,} ctg 3 π 10 = ctg 54 ∘ = 5 − 20 {\displaystyle \operatorname {ctg} {\frac {3\pi }{10}}=\operatorname {ctg} 54^{\circ }={\sqrt {5-{\sqrt {20}}}}\,} sin π 3 = sin 60 ∘ = 3 2 {\displaystyle \sin {\frac {\pi }{3}}=\sin 60^{\circ }={\frac {\sqrt {3}}{2}}\,} cos π 3 = cos 60 ∘ = 1 2 {\displaystyle \cos {\frac {\pi }{3}}=\cos 60^{\circ }={\frac {1}{2}}\,} tg π 3 = tg 60 ∘ = 3 {\displaystyle \operatorname {tg} {\frac {\pi }{3}}=\operatorname {tg} 60^{\circ }={\sqrt {3}}\,} ctg π 3 = ctg 60 ∘ = 3 3 = 1 3 {\displaystyle \operatorname {ctg} {\frac {\pi }{3}}=\operatorname {ctg} 60^{\circ }={\frac {\sqrt {3}}{3}}={\frac {1}{\sqrt {3}}}\,} sin 3 π 8 = sin 67.5 ∘ = 1 2 2 + 2 {\displaystyle \sin {\frac {3\pi }{8}}=\sin 67.5^{\circ }={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}\,} cos 3 π 8 = cos 67.5 ∘ = 1 2 2 − 2 {\displaystyle \cos {\frac {3\pi }{8}}=\cos 67.5^{\circ }={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}\,} tg 3 π 8 = tg 67.5 ∘ = 2 + 1 {\displaystyle \operatorname {tg} {\frac {3\pi }{8}}=\operatorname {tg} 67.5^{\circ }={\sqrt {2}}+1\,} ctg 3 π 8 = ctg 67.5 ∘ = 2 − 1 {\displaystyle \operatorname {ctg} {\frac {3\pi }{8}}=\operatorname {ctg} 67.5^{\circ }={\sqrt {2}}-1\,} sin 2 π 5 = sin 72 ∘ = 1 4 2 ( 5 + 5 ) {\displaystyle \sin {\frac {2\pi }{5}}=\sin 72^{\circ }={\tfrac {1}{4}}{\sqrt {2\left(5+{\sqrt {5}}\right)}}\,} cos 2 π 5 = cos 72 ∘ = 1 4 ( 5 − 1 ) = φ − 1 2 , {\displaystyle \cos {\frac {2\pi }{5}}=\cos 72^{\circ }={\tfrac {1}{4}}\left({\sqrt {5}}-1\right)={\frac {\varphi -1}{2}},} φ {\displaystyle \varphi } золотое сечение ; tg 2 π 5 = tg 72 ∘ = 5 + 2 5 {\displaystyle \operatorname {tg} {\frac {2\pi }{5}}=\operatorname {tg} 72^{\circ }={\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}\,} ctg 2 π 5 = ctg 72 ∘ = 1 5 5 ( 5 − 2 5 ) {\displaystyle \operatorname {ctg} {\frac {2\pi }{5}}=\operatorname {ctg} 72^{\circ }={\tfrac {1}{5}}{\sqrt {5\left(5-2{\sqrt {5}}\right)}}\,} sin 5 π 12 = sin 75 ∘ = 1 4 ( 6 + 2 ) {\displaystyle \sin {\frac {5\pi }{12}}=\sin 75^{\circ }={\tfrac {1}{4}}\left({\sqrt {6}}+{\sqrt {2}}\right)\,} cos 5 π 12 = cos 75 ∘ = 1 4 ( 6 − 2 ) {\displaystyle \cos {\frac {5\pi }{12}}=\cos 75^{\circ }={\tfrac {1}{4}}\left({\sqrt {6}}-{\sqrt {2}}\right)\,} tg 5 π 12 = tg 75 ∘ = 2 + 3 {\displaystyle \operatorname {tg} {\frac {5\pi }{12}}=\operatorname {tg} 75^{\circ }=2+{\sqrt {3}}\,} ctg 5 π 12 = ctg 75 ∘ = 2 − 3 {\displaystyle \operatorname {ctg} {\frac {5\pi }{12}}=\operatorname {ctg} 75^{\circ }=2-{\sqrt {3}}\,} sin π 2 = sin 90 ∘ = 1 {\displaystyle \sin {\frac {\pi }{2}}=\sin 90^{\circ }=1\,} cos π 2 = cos 90 ∘ = 0 {\displaystyle \cos {\frac {\pi }{2}}=\cos 90^{\circ }=0\,} tg π 2 = tg 90 ∘ = ∞ {\displaystyle \operatorname {tg} {\frac {\pi }{2}}=\operatorname {tg} 90^{\circ }=\infty \,} ctg π 2 = ctg 90 ∘ = 0 {\displaystyle \operatorname {ctg} {\frac {\pi }{2}}=\operatorname {ctg} 90^{\circ }=0\,} [ править | править код ] Приведены только формулы, не использующие корней степени больше 5 {\displaystyle 5} теореме Муавра ) в множестве комплексных чисел извлечение корня целой степени n приводит к n различным значениям, то для корней 3-й и 5-й степеней от невещественных чисел, появляющихся в этом разделе ниже, следует брать главное значение , равное корню с наибольшей действительной частью: она всегда положительна. Следовательно, суммы корней 3-й или 5-й степени от комплексно сопряжённых чисел , появляющиеся в таблице, тоже положительны. Тангенс приведён в тех случаях, когда его можно записать сильно проще, чем отношение записей синуса и косинуса.
В некоторых случаях ниже используются два числа ω 3 = − 1 + i 3 2 , ω 5 = 1 4 ( − 1 + 5 + i 10 + 2 5 ) {\displaystyle \omega _{3}={\tfrac {-1+i{\sqrt {3}}}{2}},\omega _{5}={\tfrac {1}{4}}(-1+{\sqrt {5}}+i{\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}})} ω 3 3 = ω 5 5 = 1 {\displaystyle \omega _{3}^{3}=\omega _{5}^{5}=1} n sin ( 2 π n ) cos ( 2 π n ) tg ( 2 π n ) 1 0 1 0 2 0 − 1 0 3 1 2 3 − 1 2 − 3 4 1 0 ± ∞ 5 1 4 ( 10 + 2 5 ) 1 4 ( 5 − 1 ) 5 + 2 5 6 1 2 3 1 2 3 7 1 6 3 ( 7 − ω 3 ¯ 7 + 21 i 3 2 3 − ω 3 7 − 21 i 3 2 3 ) 1 6 ( − 1 + 7 + 21 i 3 2 3 + 7 − 21 i 3 2 3 ) 8 1 2 2 1 2 2 1 9 i 2 ( ω 3 ¯ 3 − ω 3 3 ) 1 2 ( ω 3 3 + ω 3 ¯ 3 ) 10 1 4 ( 10 − 2 5 ) 1 4 ( 5 + 1 ) 5 − 2 5 11 12 1 2 1 2 3 1 3 3 13 1 12 6 ( 13 − 13 − 4 ( 26 − 5 13 − 3 i 39 ) 3 − 4 ( 26 − 5 13 + 3 i 39 ) 3 ) 1 12 ( − 1 + 13 + 4 ( 26 − 5 13 − 3 i 39 ) 3 + 4 ( 26 − 5 13 + 3 i 39 ) 3 ) 14 1 6 3 ( 7 − 7 + 21 i 3 2 3 − 7 − 21 i 3 2 3 ) 1 6 ( 1 − ω 3 7 + 21 i 3 2 3 − ω 3 ¯ 7 − 21 i 3 2 3 ) 15 1 8 ( 15 + 3 − 10 − 2 5 ) 1 8 ( 1 + 5 + 30 − 6 5 ) 1 2 ( − 3 3 − 15 + 50 + 22 5 ) 16 1 2 ( 2 − 2 ) 1 2 ( 2 + 2 ) 2 − 1 17 1 16 ( − 1 + 17 + 34 − 2 17 + 2 17 + 3 17 − 34 − 2 17 − 2 34 + 2 17 ) 18 i 2 ( − ω 3 3 − − ω 3 ¯ 3 ) 1 2 ( − ω 3 3 + − ω 3 ¯ 3 ) 19 20 1 4 ( 5 − 1 ) 1 4 ( 10 + 2 5 ) 1 5 ( 25 − 10 5 ) 21 22 23 24 1 4 ( 6 − 2 ) 1 4 ( 6 + 2 ) 2 − 3 25 i 2 ( ω 5 ¯ 5 − ω 5 5 ) 1 2 ( ω 5 5 + ω 5 ¯ 5 ) {\displaystyle {\begin{array}{r|l|l|l}n&\sin \left({\frac {2\pi }{n}}\right)&\cos \left({\frac {2\pi }{n}}\right)&\operatorname {tg} \left({\frac {2\pi }{n}}\right)\\\hline 1&0&1&0\\\hline 2&0&-1&0\\\hline 3&{\frac {1}{2}}{\sqrt {3}}&-{\frac {1}{2}}&-{\sqrt {3}}\\\hline 4&1&0&\pm \infty \\\hline 5&{\frac {1}{4}}\left({\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}\right)&{\frac {1}{4}}\left({\sqrt {5}}-1\right)&{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}\\\hline 6&{\frac {1}{2}}{\sqrt {3}}&{\frac {1}{2}}&{\sqrt {3}}\\\hline 7&{\frac {1}{6}}{\sqrt {3\left(7-{\overline {\omega _{3}}}{\sqrt[{3}]{\frac {7+21i{\sqrt {3}}}{2}}}-\omega _{3}{\sqrt[{3}]{\frac {7-21i{\sqrt {3}}}{2}}}\right)}}&{\frac {1}{6}}\left(-1+{\sqrt[{3}]{\frac {7+21i{\sqrt {3}}}{2}}}+{\sqrt[{3}]{\frac {7-21i{\sqrt {3}}}{2}}}\right)&\\\hline 8&{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}&{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}&1\\\hline 9&{\frac {i}{2}}\left({\sqrt[{3}]{\overline {\omega _{3}}}}-{\sqrt[{3}]{\omega _{3}}}\right)&{\frac {1}{2}}\left({\sqrt[{3}]{\omega _{3}}}+{\sqrt[{3}]{\overline {\omega _{3}}}}\right)&\\\hline 10&{\frac {1}{4}}\left({\sqrt {10-2{\sqrt {5}}}}\right)&{\frac {1}{4}}\left({\sqrt {5}}+1\right)&{\sqrt {5-2{\sqrt {5}}}}\\\hline 11&&&\\\hline 12&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}{\sqrt {3}}&{\frac {1}{3}}{\sqrt {3}}\\\hline 13&{\frac {1}{12}}{\sqrt {6\left(13-{\sqrt {13}}-{\sqrt[{3}]{4(26-5{\sqrt {13}}-3i{\sqrt {39}})}}-{\sqrt[{3}]{4(26-5{\sqrt {13}}+3i{\sqrt {39}})}}\right)}}&{\frac {1}{12}}\left(-1+{\sqrt {13}}+{\sqrt[{3}]{4(26-5{\sqrt {13}}-3i{\sqrt {39}})}}+{\sqrt[{3}]{4(26-5{\sqrt {13}}+3i{\sqrt {39}})}}\right)&\\\hline 14&{\frac {1}{6}}{\sqrt {3\left(7-{\sqrt[{3}]{\frac {7+21i{\sqrt {3}}}{2}}}-{\sqrt[{3}]{\frac {7-21i{\sqrt {3}}}{2}}}\right)}}&{\frac {1}{6}}\left(1-\omega _{3}{\sqrt[{3}]{\frac {7+21i{\sqrt {3}}}{2}}}-{\overline {\omega _{3}}}{\sqrt[{3}]{\frac {7-21i{\sqrt {3}}}{2}}}\right)&\\\hline 15&{\frac {1}{8}}\left({\sqrt {15}}+{\sqrt {3}}-{\sqrt {10-2{\sqrt {5}}}}\right)&{\frac {1}{8}}\left(1+{\sqrt {5}}+{\sqrt {30-6{\sqrt {5}}}}\right)&{\frac {1}{2}}\left(-3{\sqrt {3}}-{\sqrt {15}}+{\sqrt {50+22{\sqrt {5}}}}\right)\\\hline 16&{\frac {1}{2}}\left({\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}\right)&{\frac {1}{2}}\left({\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}\right)&{\sqrt {2}}-1\\\hline 17&&{\frac {1}{16}}\left(-1+{\sqrt {17}}+{\sqrt {34-2{\sqrt {17}}}}+2{\sqrt {17+3{\sqrt {17}}-{\sqrt {34-2{\sqrt {17}}}}-2{\sqrt {34+2{\sqrt {17}}}}}}\right)&\\\hline 18&{\frac {i}{2}}\left({\sqrt[{3}]{-\omega _{3}}}-{\sqrt[{3}]{-{\overline {\omega _{3}}}}}\right)&{\frac {1}{2}}\left({\sqrt[{3}]{-\omega _{3}}}+{\sqrt[{3}]{-{\overline {\omega _{3}}}}}\right)&\\\hline 19&&&\\\hline 20&{\frac {1}{4}}\left({\sqrt {5}}-1\right)&{\frac {1}{4}}\left({\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}\right)&{\frac {1}{5}}\left({\sqrt {25-10{\sqrt {5}}}}\right)\\\hline 21&&&\\\hline 22&&&\\\hline 23&&&\\\hline 24&{\frac {1}{4}}\left({\sqrt {6}}-{\sqrt {2}}\right)&{\frac {1}{4}}\left({\sqrt {6}}+{\sqrt {2}}\right)&2-{\sqrt {3}}\\\hline 25&{\frac {i}{2}}({\sqrt[{5}]{\overline {\omega _{5}}}}-{\sqrt[{5}]{\omega _{5}}})&{\frac {1}{2}}({\sqrt[{5}]{\omega _{5}}}+{\sqrt[{5}]{\overline {\omega _{5}}}})&\end{array}}}
Одно из общих и наглядных методов вывести формулы для x = cos 2 π o n + i sin 2 π o n {\displaystyle x=\cos {\tfrac {2\pi o}{n}}+i\sin {\tfrac {2\pi o}{n}}} n и o — целые числа) — это решить уравнение xn = 1, то есть найти комплексные корни из 1 сами косинус и синус равны x + 1 / x 2 {\displaystyle {\tfrac {x+1/x}{2}}} x − 1 / x 2 i {\displaystyle {\tfrac {x-1/x}{2i}}} . Данный метод обосновывается теоремой Муавра :
В свою очередь, эта теорема доказывается утверждением, что при умножении комплексных чисел их модули умножаются, а аргументы — складываются (последнее равносильно тригонометрическим тождествам для суммы ):
[ r ( cos α + i sin α ) ] ⋅ [ s ( cos β + i sin β ) ] = ( r s ) ⋅ [ cos ( α + β ) + i sin ( α + β ) ] . {\displaystyle [r(\cos \alpha +i\sin \alpha )]\cdot [s(\cos \beta +i\sin \beta )]=(rs)\cdot [\cos(\alpha +\beta )+i\sin(\alpha +\beta )].}
Среди корней натуральной степени n из 1 есть те, которые не являются корнями никакой другой натуральной степени m < n из 1, — они называются первообразными , или примитивными , корнями n -й степени из 1круговым n -й степени из 1 степень кругового многочлена равна φ (n ), где φ — функция Эйлера , и обязательно чётна при n ≥ 3, поскольку при n ≥ 3 все первообразные корни (среди которых уже нет ±1) невещественны и образуют комплексно сопряжённые пары.
При n ≥ 2 круговой полином является симметричным , то есть все его коэффициенты отражаются относительно степени φ (n )/2. Если n ≥ 3, то, чтобы решить уравнение с круговым многочленом sφ(n) (x ) = 0 чётной степени φ(n) , симметричный полином sφ(n) (x ) надо разделить на x φ(n) /2x + 1/x (это возможно из-за симметричности), которое, как совпадение, и оказывается искомым косинусом, умноженным на 2.
Полином x 3 − 1 {\displaystyle x^{3}-1} x − 1 {\displaystyle x-1} x 2 + x + 1 , {\displaystyle x^{2}+x+1,} каноническому виду :
x 2 + x = − 1 , {\displaystyle x^{2}+x=-1,}
( x + 1 2 ) 2 = − 3 4 , {\displaystyle (x+{\tfrac {1}{2}})^{2}=-{\tfrac {3}{4}},}
( x + 1 2 ) 2 + 3 4 = 0 {\displaystyle (x+{\tfrac {1}{2}})^{2}+{\tfrac {3}{4}}=0} канонический вид ).
В итоге в совокупности с уравнением x − 1 = 0 {\displaystyle x-1=0}
x = 1 {\displaystyle x=1} x = − 1 ± 3 i 2 . {\displaystyle x={\frac {-1\pm {\sqrt {3}}i}{2}}.}
Вместо того, чтобы решать уравнение x 2 + x + 1 = 0 {\displaystyle x^{2}+x+1=0} x 2 + x + 1 {\displaystyle x^{2}+x+1} x , сгруппировать относительно x + 1/x , учитывая, что x + 1/x — это искомый косинус, умноженный на 2:
( x + 1 x ) + 1 = 0 , {\displaystyle (x+{\tfrac {1}{x}})+1=0,}
x + 1 x = − 1 , {\displaystyle x+{\tfrac {1}{x}}=-1,}
x = − 1 ± 3 i 2 . {\displaystyle x={\frac {-1\pm {\sqrt {3}}i}{2}}.}
Круговой полином равен x 4 + x 3 + x 2 + x + 1 , {\displaystyle x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1,} x 2 , сгруппировать по степеням x + 1/x (сведя к квадратному полиному) и приравнять 0:
x 2 + x + 1 + x − 1 + x − 2 = 0 , {\displaystyle x^{2}+x+1+x^{-1}+x^{-2}=0,}
( x + 1 x ) 2 + ( x + 1 x ) − 1 = 0 , {\displaystyle (x+{\tfrac {1}{x}})^{2}+(x+{\tfrac {1}{x}})-1=0,}
x + 1 x = − 1 ± 5 2 {\displaystyle x+{\tfrac {1}{x}}={\tfrac {-1\pm {\sqrt {5}}}{2}}}
x = − 1 ± 1 5 4 ± 2 i 4 10 ± 1 2 5 . {\displaystyle x={\frac {-1\pm _{1}{\sqrt {5}}}{4}}\pm _{2}{\frac {i}{4}}{\sqrt {10\pm _{1}2{\sqrt {5}}}}.}
Условные обозначения . Обозначим cos 2 π n + i sin 2 π n {\displaystyle \cos {\tfrac {2\pi }{n}}+i\sin {\tfrac {2\pi }{n}}} ω n . {\displaystyle \omega _{n}.}
Проведя с круговым многочленом x 6 + x 5 + x 4 + x 3 + x 2 + x + 1 {\displaystyle x^{6}+x^{5}+x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1} n = 5, получаем уравнение 3-й степени ( x + 1 x ) 3 + ( x + 1 x ) 2 − 2 ( x + 1 x ) − 1 = 0. {\displaystyle (x+{\tfrac {1}{x}})^{3}+(x+{\tfrac {1}{x}})^{2}-2(x+{\tfrac {1}{x}})-1=0.}
( x + 1 x ) 3 + ( x + 1 x ) 2 = 2 ( x + 1 x ) + 1 , {\displaystyle (x+{\tfrac {1}{x}})^{3}+(x+{\tfrac {1}{x}})^{2}=2(x+{\tfrac {1}{x}})+1,}
[ ( x + 1 x ) + 1 3 ] 3 = 7 3 [ ( x + 1 x ) + 1 3 ] + 7 27 , {\displaystyle [(x+{\tfrac {1}{x}})+{\tfrac {1}{3}}]^{3}={\tfrac {7}{3}}[(x+{\tfrac {1}{x}})+{\tfrac {1}{3}}]+{\tfrac {7}{27}},}
( x + 1 3 + 1 x ) 3 − 7 3 ( x + 1 3 + 1 x ) − 7 27 = 0 {\displaystyle (x+{\tfrac {1}{3}}+{\tfrac {1}{x}})^{3}-{\tfrac {7}{3}}(x+{\tfrac {1}{3}}+{\tfrac {1}{x}})-{\tfrac {7}{27}}=0} каноническая форма ).
Метод решения канонических кубических уравнений вошёл в историю под именем Джероламо Кардано , но впервые был открыт Сципионом дель Ферро . Он заключается в следующем: заменим искомую переменную ( x + 1 3 + x − 1 {\displaystyle x+{\tfrac {1}{3}}+x^{-1}} v + w {\displaystyle v+w}
( v 3 + 3 v 2 w + 3 v w 2 + w 3 ) − 7 3 ( v + w ) − 7 27 = 0 , {\displaystyle (v^{3}+3v^{2}w+3vw^{2}+w^{3})-{\tfrac {7}{3}}(v+w)-{\tfrac {7}{27}}=0,}
а затем зададим между v и w такую зависимость, чтобы уравнение можно было свести к менее чем 3-й степени. Тогда оказывается, что в числе 3 v 2 w + 3 v w 2 − 7 3 ( v + w ) = ( 3 v w − 7 3 ) ( v + w ) {\displaystyle 3v^{2}w+3vw^{2}-{\tfrac {7}{3}}(v+w)=(3vw-{\tfrac {7}{3}})(v+w)} 3 v w − 7 3 {\displaystyle 3vw-{\tfrac {7}{3}}} w = 7 9 v {\displaystyle w={\tfrac {7}{9v}}} 1 2 ( x + x − 1 ) = 1 2 ( − 1 3 + v + w ) = 1 2 ( − 1 3 + v + 7 9 v ) {\displaystyle {\tfrac {1}{2}}(x+x^{-1})={\tfrac {1}{2}}({\tfrac {-1}{3}}+v+w)={\tfrac {1}{2}}({\tfrac {-1}{3}}+v+{\tfrac {7}{9v}})}
v 3 − 7 3 3 + 7 3 3 6 v − 3 = 0 , {\displaystyle v^{3}-{\tfrac {7}{3^{3}}}+{\tfrac {7^{3}}{3^{6}}}v^{-3}=0,}
v 3 = 7 2 ⋅ 3 3 ± i 7 3 3 6 − 7 2 2 2 3 6 = 7 ± 7 i 2 2 7 − 1 2 ⋅ 3 3 = 7 ± 21 i 3 2 ⋅ 3 3 , {\displaystyle v^{3}={\tfrac {7}{2\cdot 3^{3}}}\pm i{\sqrt {{\tfrac {7^{3}}{3^{6}}}-{\tfrac {7^{2}}{2^{2}3^{6}}}}}={\tfrac {7\pm 7i{\sqrt {2^{2}7-1}}}{2\cdot 3^{3}}}={\tfrac {7\pm 21i{\sqrt {3}}}{2\cdot 3^{3}}},}
а с учётом главных значений кубических корней получается:
v = ω 3 m 3 7 ± 21 i 3 2 3 , 7 9 v = ω 3 − m 3 7 ∓ 21 i 3 2 3 , {\displaystyle v={\tfrac {\omega _{3}^{m}}{3}}{\sqrt[{3}]{\tfrac {7\pm 21i{\sqrt {3}}}{2}}},{\tfrac {7}{9v}}={\tfrac {\omega _{3}^{-m}}{3}}{\sqrt[{3}]{\tfrac {7\mp 21i{\sqrt {3}}}{2}}},} m ∈ Z , {\displaystyle m\in \mathbb {Z} ,}
cos 2 π o 7 = 1 6 ( − 1 + ω 3 − m 7 + 21 i 3 2 3 + ω 3 m 7 − 21 i 3 2 3 ) , {\displaystyle \cos {\frac {2\pi o}{7}}={\frac {1}{6}}\left(-1+\omega _{3}^{-m}{\sqrt[{3}]{\frac {7+21i{\sqrt {3}}}{2}}}+\omega _{3}^{m}{\sqrt[{3}]{\frac {7-21i{\sqrt {3}}}{2}}}\right),}
где o = 1 (o = 6) соответствует m = 0, o = 2 (o = 5) — m = 1, а o = 3 (o = 4) — m = 2.
Из Википедии, бесплатной энциклопедии
![{\displaystyle \operatorname {tg} \left({\frac {\pi }{60}}\right)=\operatorname {tg} \left(3^{\circ }\right)={\frac {\left[\left(2-{\sqrt {3}}\right)\left(3+{\sqrt {5}}\right)-2\right]\left[2-{\sqrt {10-2{\sqrt {5}}}}\right]}{4}}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1ffa5de7add3f6f7b4afc01ad8e6e7104b4a7046)
![{\displaystyle \operatorname {ctg} \left({\frac {\pi }{60}}\right)=\operatorname {ctg} \left(3^{\circ }\right)={\frac {\left[\left(2+{\sqrt {3}}\right)\left(3+{\sqrt {5}}\right)-2\right]\left[2+{\sqrt {10-2{\sqrt {5}}}}\right]}{4}}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/da98fabf8f46f55ea647e4a6757b4e607181e589)
![{\displaystyle \sin {\frac {\pi }{15}}=\sin 12^{\circ }={\tfrac {1}{8}}\left[{\sqrt {2\left(5+{\sqrt {5}}\right)}}+{\sqrt {3}}-{\sqrt {15}}\right]\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1228d7e22be483539e4ba91a0b4c9bfaf074eebe)
![{\displaystyle \cos {\frac {\pi }{15}}=\cos 12^{\circ }={\tfrac {1}{8}}\left[{\sqrt {6\left(5+{\sqrt {5}}\right)}}+{\sqrt {5}}-1\right]\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fb2ac6239ea26bcfc4e7eefcc375f7f67b6a0acb)
![{\displaystyle \operatorname {tg} {\frac {\pi }{15}}=\operatorname {tg} 12^{\circ }={\tfrac {1}{2}}\left[3{\sqrt {3}}-{\sqrt {15}}-{\sqrt {2\left(25-11{\sqrt {5}}\right)}}\,\right]\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/144ab068f71d401bcb8ec8987d8018c61ae8c6f1)
![{\displaystyle \operatorname {ctg} {\frac {\pi }{15}}=\operatorname {ctg} 12^{\circ }={\tfrac {1}{2}}\left[{\sqrt {15}}+{\sqrt {3}}+{\sqrt {2\left(5+{\sqrt {5}}\right)}}\,\right]\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ad9b4e8a2863bde89f5b1ae37d22baad628f22f1)
![{\displaystyle \sin {\frac {2\pi }{15}}=\sin 24^{\circ }={\tfrac {1}{8}}\left[{\sqrt {15}}+{\sqrt {3}}-{\sqrt {2\left(5-{\sqrt {5}}\right)}}\right]\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c08024470722b423345f24249ea960c772fc87ae)
![{\displaystyle \operatorname {tg} {\frac {2\pi }{15}}=\operatorname {tg} 24^{\circ }={\tfrac {1}{2}}\left[{\sqrt {50+22{\sqrt {5}}}}-3{\sqrt {3}}-{\sqrt {15}}\right]\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/faaeae93b89e95c0a8e8200d9bad47f118abf2eb)
![{\displaystyle \operatorname {ctg} {\frac {2\pi }{15}}=\operatorname {ctg} 24^{\circ }={\tfrac {1}{2}}\left[{\sqrt {15}}-{\sqrt {3}}+{\sqrt {2\left(5-{\sqrt {5}}\right)}}\right]\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/65b9e377cf6c04bd40f3bc4ab5b0fca74e5d990c)
![{\displaystyle \sin {\frac {3\pi }{20}}=\sin 27^{\circ }={\tfrac {1}{8}}\left[2{\sqrt {5+{\sqrt {5}}}}-{\sqrt {2}}\;\left({\sqrt {5}}-1\right)\right]\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/598d2e8e06f65d78a64d4c8450bff3de5e5c5220)
![{\displaystyle \cos {\frac {3\pi }{20}}=\cos 27^{\circ }={\tfrac {1}{8}}\left[2{\sqrt {5+{\sqrt {5}}}}+{\sqrt {2}}\;\left({\sqrt {5}}-1\right)\right]\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/96ed3130d2995af89ffd7fed92ca75b79e11b580)
![{\displaystyle \sin {\frac {11\pi }{60}}=\sin 33^{\circ }={\tfrac {1}{16}}\left[2\left({\sqrt {3}}-1\right){\sqrt {5+{\sqrt {5}}}}+{\sqrt {2}}\left(1+{\sqrt {3}}\right)\left({\sqrt {5}}-1\right)\right]\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/67cd8c6ce776c45fc5b1dfaa972f24628f4d57ab)
![{\displaystyle \cos {\frac {11\pi }{60}}=\cos 33^{\circ }={\tfrac {1}{16}}\left[2\left({\sqrt {3}}+1\right){\sqrt {5+{\sqrt {5}}}}+{\sqrt {2}}\left(1-{\sqrt {3}}\right)\left({\sqrt {5}}-1\right)\right]\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89d8b1c326975404f0f829d7b88fcfd06abfee06)
![{\displaystyle \operatorname {tg} {\frac {11\pi }{60}}=\operatorname {tg} 33^{\circ }={\tfrac {1}{4}}\left[2-\left(2-{\sqrt {3}}\right)\left(3+{\sqrt {5}}\right)\right]\left[2+{\sqrt {2\left(5-{\sqrt {5}}\right)}}\,\right]\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e993f388b8e08ebd1dba71a3f4ad111ddb584a8e)
![{\displaystyle \operatorname {ctg} {\frac {11\pi }{60}}=\operatorname {ctg} 33^{\circ }={\tfrac {1}{4}}\left[2-\left(2+{\sqrt {3}}\right)\left(3+{\sqrt {5}}\right)\right]\left[2-{\sqrt {2\left(5-{\sqrt {5}}\right)}}\,\right]\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dcee767a64b00c15fc77ff93ae74a1eed826e4f4)
![{\displaystyle \sin {\frac {13\pi }{60}}=\sin 39^{\circ }={\tfrac {1}{16}}\left[2\left(1-{\sqrt {3}}\right){\sqrt {5-{\sqrt {5}}}}+{\sqrt {2}}\left({\sqrt {3}}+1\right)\left({\sqrt {5}}+1\right)\right]\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fde6336d3d6afde0136a7171d6f40a9e695c3436)
![{\displaystyle \cos {\frac {13\pi }{60}}=\cos 39^{\circ }={\tfrac {1}{16}}\left[2\left(1+{\sqrt {3}}\right){\sqrt {5-{\sqrt {5}}}}+{\sqrt {2}}\left({\sqrt {3}}-1\right)\left({\sqrt {5}}+1\right)\right]\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d84363bc38d47561a10590df7ae08c6353619596)
![{\displaystyle \operatorname {tg} {\frac {13\pi }{60}}=\operatorname {tg} 39^{\circ }={\tfrac {1}{4}}\left[\left(2-{\sqrt {3}}\right)\left(3-{\sqrt {5}}\right)-2\right]\left[2-{\sqrt {2\left(5+{\sqrt {5}}\right)}}\,\right]\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e8b4b7a37ba62359761765decd368d991aadcf0d)
![{\displaystyle \operatorname {ctg} {\frac {13\pi }{60}}=\operatorname {ctg} 39^{\circ }={\tfrac {1}{4}}\left[\left(2+{\sqrt {3}}\right)\left(3-{\sqrt {5}}\right)-2\right]\left[2+{\sqrt {2\left(5+{\sqrt {5}}\right)}}\,\right]\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/880d0444ebb756556e3f8c7f6e34cc0519732c01)
![{\displaystyle {\begin{array}{r|l|l|l}n&\sin \left({\frac {2\pi }{n}}\right)&\cos \left({\frac {2\pi }{n}}\right)&\operatorname {tg} \left({\frac {2\pi }{n}}\right)\\\hline 1&0&1&0\\\hline 2&0&-1&0\\\hline 3&{\frac {1}{2}}{\sqrt {3}}&-{\frac {1}{2}}&-{\sqrt {3}}\\\hline 4&1&0&\pm \infty \\\hline 5&{\frac {1}{4}}\left({\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}\right)&{\frac {1}{4}}\left({\sqrt {5}}-1\right)&{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}\\\hline 6&{\frac {1}{2}}{\sqrt {3}}&{\frac {1}{2}}&{\sqrt {3}}\\\hline 7&{\frac {1}{6}}{\sqrt {3\left(7-{\overline {\omega _{3}}}{\sqrt[{3}]{\frac {7+21i{\sqrt {3}}}{2}}}-\omega _{3}{\sqrt[{3}]{\frac {7-21i{\sqrt {3}}}{2}}}\right)}}&{\frac {1}{6}}\left(-1+{\sqrt[{3}]{\frac {7+21i{\sqrt {3}}}{2}}}+{\sqrt[{3}]{\frac {7-21i{\sqrt {3}}}{2}}}\right)&\\\hline 8&{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}&{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}&1\\\hline 9&{\frac {i}{2}}\left({\sqrt[{3}]{\overline {\omega _{3}}}}-{\sqrt[{3}]{\omega _{3}}}\right)&{\frac {1}{2}}\left({\sqrt[{3}]{\omega _{3}}}+{\sqrt[{3}]{\overline {\omega _{3}}}}\right)&\\\hline 10&{\frac {1}{4}}\left({\sqrt {10-2{\sqrt {5}}}}\right)&{\frac {1}{4}}\left({\sqrt {5}}+1\right)&{\sqrt {5-2{\sqrt {5}}}}\\\hline 11&&&\\\hline 12&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}{\sqrt {3}}&{\frac {1}{3}}{\sqrt {3}}\\\hline 13&{\frac {1}{12}}{\sqrt {6\left(13-{\sqrt {13}}-{\sqrt[{3}]{4(26-5{\sqrt {13}}-3i{\sqrt {39}})}}-{\sqrt[{3}]{4(26-5{\sqrt {13}}+3i{\sqrt {39}})}}\right)}}&{\frac {1}{12}}\left(-1+{\sqrt {13}}+{\sqrt[{3}]{4(26-5{\sqrt {13}}-3i{\sqrt {39}})}}+{\sqrt[{3}]{4(26-5{\sqrt {13}}+3i{\sqrt {39}})}}\right)&\\\hline 14&{\frac {1}{6}}{\sqrt {3\left(7-{\sqrt[{3}]{\frac {7+21i{\sqrt {3}}}{2}}}-{\sqrt[{3}]{\frac {7-21i{\sqrt {3}}}{2}}}\right)}}&{\frac {1}{6}}\left(1-\omega _{3}{\sqrt[{3}]{\frac {7+21i{\sqrt {3}}}{2}}}-{\overline {\omega _{3}}}{\sqrt[{3}]{\frac {7-21i{\sqrt {3}}}{2}}}\right)&\\\hline 15&{\frac {1}{8}}\left({\sqrt {15}}+{\sqrt {3}}-{\sqrt {10-2{\sqrt {5}}}}\right)&{\frac {1}{8}}\left(1+{\sqrt {5}}+{\sqrt {30-6{\sqrt {5}}}}\right)&{\frac {1}{2}}\left(-3{\sqrt {3}}-{\sqrt {15}}+{\sqrt {50+22{\sqrt {5}}}}\right)\\\hline 16&{\frac {1}{2}}\left({\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}\right)&{\frac {1}{2}}\left({\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}\right)&{\sqrt {2}}-1\\\hline 17&&{\frac {1}{16}}\left(-1+{\sqrt {17}}+{\sqrt {34-2{\sqrt {17}}}}+2{\sqrt {17+3{\sqrt {17}}-{\sqrt {34-2{\sqrt {17}}}}-2{\sqrt {34+2{\sqrt {17}}}}}}\right)&\\\hline 18&{\frac {i}{2}}\left({\sqrt[{3}]{-\omega _{3}}}-{\sqrt[{3}]{-{\overline {\omega _{3}}}}}\right)&{\frac {1}{2}}\left({\sqrt[{3}]{-\omega _{3}}}+{\sqrt[{3}]{-{\overline {\omega _{3}}}}}\right)&\\\hline 19&&&\\\hline 20&{\frac {1}{4}}\left({\sqrt {5}}-1\right)&{\frac {1}{4}}\left({\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}\right)&{\frac {1}{5}}\left({\sqrt {25-10{\sqrt {5}}}}\right)\\\hline 21&&&\\\hline 22&&&\\\hline 23&&&\\\hline 24&{\frac {1}{4}}\left({\sqrt {6}}-{\sqrt {2}}\right)&{\frac {1}{4}}\left({\sqrt {6}}+{\sqrt {2}}\right)&2-{\sqrt {3}}\\\hline 25&{\frac {i}{2}}({\sqrt[{5}]{\overline {\omega _{5}}}}-{\sqrt[{5}]{\omega _{5}}})&{\frac {1}{2}}({\sqrt[{5}]{\omega _{5}}}+{\sqrt[{5}]{\overline {\omega _{5}}}})&\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d16d95a27cb79ad13c81084bbfd45180940bf690)
![{\displaystyle {\sqrt[{n}]{r}}[\cos({\tfrac {\alpha }{n}}+{\tfrac {2\pi o}{n}})+i\sin({\tfrac {\alpha }{n}}+{\tfrac {2\pi o}{n}})],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/efc8d964e6fcc7b51bd923892debbb2c297124d2)
![{\displaystyle [r(\cos \alpha +i\sin \alpha )]\cdot [s(\cos \beta +i\sin \beta )]=(rs)\cdot [\cos(\alpha +\beta )+i\sin(\alpha +\beta )].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4136592bba98828df0c688dcb9f1fa0c65628666)
![{\displaystyle [(x+{\tfrac {1}{x}})+{\tfrac {1}{3}}]^{3}={\tfrac {7}{3}}[(x+{\tfrac {1}{x}})+{\tfrac {1}{3}}]+{\tfrac {7}{27}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c5e762492388cbe0eff7d0dbce5af0428ff7be1)
![{\displaystyle v={\tfrac {\omega _{3}^{m}}{3}}{\sqrt[{3}]{\tfrac {7\pm 21i{\sqrt {3}}}{2}}},{\tfrac {7}{9v}}={\tfrac {\omega _{3}^{-m}}{3}}{\sqrt[{3}]{\tfrac {7\mp 21i{\sqrt {3}}}{2}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b7c999d6f9b292341dcf4358d986acb25474054)
![{\displaystyle \cos {\frac {2\pi o}{7}}={\frac {1}{6}}\left(-1+\omega _{3}^{-m}{\sqrt[{3}]{\frac {7+21i{\sqrt {3}}}{2}}}+\omega _{3}^{m}{\sqrt[{3}]{\frac {7-21i{\sqrt {3}}}{2}}}\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4029305e73e42a60a1b3d8c8bd289835ddb64fad)