Трапеция

Трапе́ция (от др.-греч. τραπέζιον — «столик» от τράπεζα — «стол») — выпуклый четырёхугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие стороны не параллельны^[1]. Часто в определении трапеции опускают последнее условие (см. ниже). Параллельные противоположные стороны называются основаниями трапеции, а две другие — боковыми сторонами. Средняя линия — отрезок, соединяющий середины боковых сторон.

Варианты определения[править | править код]

Существует и другое определение трапеции.

Трапеция — это выпуклый четырёхугольник, у которого две стороны параллельны^[2][3]. Согласно этому определению, параллелограмм и прямоугольник — частные случаи трапеции. Однако при использовании такого определения большинство признаков и свойств равнобедренной трапеции перестают быть верными (так как параллелограмм становится её частным случаем). Приведённые в разделе Общие свойства формулы верны для обоих определений трапеции.

Связанные определения[править | править код]

Элементы трапеции[править | править код]

• Параллельные противоположные стороны называются основаниями трапеции.
• Две другие стороны называются боковыми сторонами.
• Отрезок, соединяющий середины боковых сторон, называется средней линией трапеции.
• Углом при основании трапеции называется её внутренний угол, образованный основанием с боковой стороной.

Виды трапеций[править | править код]

• Трапеция, у которой боковые стороны равны, называется равнобедренной трапецией (реже равнобокой^[4] или равнобочной^[5] трапецией).
• Трапеция, имеющая прямые углы при боковой стороне, называется прямоугольной.

• 
  Равнобедренная трапеция
• 
  Прямоугольная трапеция

Свойства[править | править код]

• Сумма углов, прилежащих к боковой стороне трапеции, равна ${\displaystyle 180^{\circ }}$ (как сумма двух внутренних односторонних углов при параллельных прямых, содержащих основания трапеции, и секущей, содержащей боковую сторону).
• Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.^[7]
• Отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции, равен половине разности оснований и лежит на средней линии.
• Отрезок, параллельный основаниям и проходящий через точку пересечения диагоналей, делится последней пополам и равен ${\displaystyle {\frac {2xy}{x+y}}}$ среднему гармоническому длин оснований трапеции.
• В трапецию можно вписать окружность, если сумма длин оснований трапеции равна сумме длин её боковых сторон.
• Точка пересечения диагоналей трапеции, точка пересечения продолжений её боковых сторон и середины оснований лежат на одной прямой.
• Если сумма углов при одном из оснований трапеции равна 90°, то продолжения боковых сторон пересекаются под прямым углом, а отрезок, соединяющий середины оснований, равен полуразности оснований.
• Диагонали трапеции делят её на 4 треугольника. Два из них, прилежащие к основаниям, подобны. Два других, прилежащие к боковым сторонам, являются равновеликими [имеют одинаковую площадь].
• Если отношение оснований равно ${\displaystyle K}$, то отношение площадей треугольников, прилежащих к основаниям, равно ${\displaystyle K^{2}}$.
• Высота трапеции определяется формулой:

${\displaystyle h={\sqrt {c^{2}-{\frac {1}{4}}\left({\frac {c^{2}-d^{2}}{b-a}}+b-a\right)^{2}}}}$

где ${\displaystyle b}$ — большее основание, ${\displaystyle a}$ — меньшее основание, ${\displaystyle c}$ и ${\displaystyle d}$ — боковые стороны.

В случае равнобедренной трапеции эта формула упрощается до

${\displaystyle h={\sqrt {c^{2}-{\frac {1}{4}}\left(b-a\right)^{2}}}}$,

так как ${\displaystyle c^{2}-d^{2}=0}$.

• Диагонали трапеции ${\displaystyle d_{1}}$ и ${\displaystyle d_{2}}$ связаны со сторонами соотношением:

${\displaystyle d_{1}^{2}+d_{2}^{2}=2ab+c^{2}+d^{2}}$

Их можно выразить в явном виде:

${\displaystyle d_{1}=AC={\sqrt {ab+d^{2}+{\frac {b(c^{2}-d^{2})}{b-a}}}}}$

${\displaystyle d_{2}=BD={\sqrt {ab+c^{2}-{\frac {b(c^{2}-d^{2})}{b-a}}}}}$

Если, наоборот, известны боковые стороны и диагонали, то основания выражаются формулами:

${\displaystyle a={\sqrt {\frac {(c^{2}-d_{1}^{2})^{2}-(d^{2}-d_{2}^{2})^{2}}{2(c^{2}-d^{2}+d_{1}^{2}-d_{2}^{2})}}}}$

${\displaystyle b={\sqrt {\frac {(c^{2}-d_{2}^{2})^{2}-(d^{2}-d_{1}^{2})^{2}}{2(c^{2}-d^{2}-d_{1}^{2}+d_{2}^{2})}}}}$

а при известных основаниях и диагоналях боковые стороны следующие:

${\displaystyle c={\sqrt {\frac {a(d_{2}^{2}-b^{2})+b(d_{1}^{2}-a^{2})}{a+b}}}}$

${\displaystyle d={\sqrt {\frac {a(d_{1}^{2}-b^{2})+b(d_{2}^{2}-a^{2})}{a+b}}}}$

Если же известна высота ${\displaystyle h}$, то

${\displaystyle d_{1}={\sqrt {b^{2}+d^{2}-2b{\sqrt {d^{2}-h^{2}}}}}={\sqrt {h^{2}+\left(b-{\sqrt {d^{2}-h^{2}}}\right)^{2}}}}$

${\displaystyle d_{2}={\sqrt {b^{2}+c^{2}-2b{\sqrt {c^{2}-h^{2}}}}}={\sqrt {h^{2}+\left(b-{\sqrt {c^{2}-h^{2}}}\right)^{2}}}}$

• Прямая Ньютона для трапеции совпадает с её средней линией.

Неравенства для отрезков в трапеции[править | править код]

• Неравенство для сторон трапеции — сумма боковых сторон больше разности бо́льшего и меньшего оснований трапеции, т. е. если ${\displaystyle {\mathcal {ABCD}}}$ — трапеция (${\displaystyle {\mathcal {AD\parallel BC}}}$), причём ${\displaystyle {\mathcal {AD>BC}}}$, то выполняется неравенство: ${\displaystyle {\mathcal {AB+CD>AD-BC}}}$.
• Неравенство для диагоналей трапеции — сумма диагоналей больше суммы оснований трапеции, т. е. если ${\displaystyle {\mathcal {ABCD}}}$ — трапеция (${\displaystyle {\mathcal {AD\parallel BC}}}$), причём ${\displaystyle {\mathcal {AD>BC}}}$, то выполняется неравенство: ${\displaystyle {\mathcal {AC+BD>AD+BC}}}$.

Теорема о четырёх точках трапеции[править | править код]

Середины оснований, точка пересечения диагоналей и точка пересечения продолжений боковых сторон трапеции лежат на одной прямой.

Равнобедренная трапеция[править | править код]

Трапеция является равнобедренной тогда и только тогда, когда выполнено любое из следующих эквивалентных условий:

• прямая, которая проходит через середины оснований, перпендикулярна основаниям (то есть является осью симметрии трапеции)^[8];
• высота, опущенная из вершины на большее основание, делит его на два отрезка, один из которых равен полусумме оснований, другой — полуразности оснований;
• углы при любом основании равны;
• сумма противоположных углов равна 180°;
• длины диагоналей равны;
• диагонали трапеции образовывали с одним и тем же основание равные углы;
• из каждой вершины одного основания другое основание было видно под одним и тем же углом^[9];
• вокруг этой трапеции можно описать окружность;
• вершинами этой трапеции также являются вершины некоторого антипараллелограмма.

Кроме того

• если в равнобедренной трапеции диагонали перпендикулярны, то высота равна полусумме оснований.

Если ${\displaystyle {\mathcal {ABCD}}}$ — равнобочная трапеция (${\displaystyle {\mathcal {AD\parallel BC}}}$, ${\displaystyle {\mathcal {AB=CD}}}$), причём ${\displaystyle {\mathcal {AC}}}$ — диагональ трапеции, то ${\displaystyle {\mathcal {{AC}^{2}=AD\cdot BC+{AB}^{2}}}}$.^[10]

Вписанная и описанная окружность[править | править код]

В разделе не хватает ссылок на источники (см. рекомендации по поиску). Информация должна быть проверяема, иначе она может быть удалена. Вы можете отредактировать статью, добавив ссылки на авторитетные источники в виде сносок. (6 июля 2015)

• Если сумма оснований трапеции равна сумме боковых сторон, то в неё можно вписать окружность. Средняя линия в этом случае равна сумме боковых сторон, делённой на 2 (так как средняя линия трапеции равна полусумме оснований).
• В трапеции её боковая сторона видна из центра вписанной окружности под углом 90°.
• Если трапецию можно вписать в окружность — то она равнобедренная.
• Радиус описанной окружности равнобедренной трапеции:^{[источник не указан 3209 дней]}

${\displaystyle R={\frac {bcd_{1}}{4{\sqrt {p(p-b)(p-c)(p-d_{1})}}}}={\sqrt {\frac {ab+c^{2}}{4-\left({\frac {b-a}{c}}\right)^{2}}}}}$

где ${\displaystyle p={\frac {1}{2}}(b+c+d_{1})\,,\,c}$ — боковая сторона, ${\displaystyle b}$ — бо́льшее основание, ${\displaystyle a}$ — меньшее основание, ${\displaystyle d_{1}=d_{2}}$ — диагонали равнобедренной трапеции.

• Если ${\displaystyle a+b=2c}$, то в равнобедренную трапецию можно вписать окружность радиуса

${\displaystyle r={\dfrac {h}{2}}={\dfrac {\sqrt {ab}}{2}}={\dfrac {\sqrt {d^{2}-l^{2}}}{2}}}$

• Если в трапецию вписана окружность с радиусом ${\displaystyle r}$, и она делит боковую сторону точкой касания на два отрезка — ${\displaystyle v}$ и ${\displaystyle w}$ — то ${\displaystyle r={\sqrt {vw}}}$.

Площадь[править | править код]

Здесь приведены формулы, свойственные именно трапеции. См. также формулы для площади произвольных четырёхугольников.

• В случае, если ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$ — основания и ${\displaystyle h}$ — высота, формула площади:

${\displaystyle S={\dfrac {(a+b)}{2}}h}$

• В случае, если ${\displaystyle m}$ — средняя линия и ${\displaystyle h}$ — высота, формула площади:

${\displaystyle S=\displaystyle mh}$

Примечание: Приведённые выше две формулы эквивалентны, так как полусумма оснований равняется средней линии трапеции:

${\displaystyle m={\dfrac {(a+b)}{2}}}$

• Формула, где ${\displaystyle a<b}$ — основания, ${\displaystyle c}$ и ${\displaystyle d}$ — боковые стороны трапеции:

${\displaystyle S={\dfrac {a+b}{4(b-a)}}{\sqrt {(a+c+d-b)(a+d-b-c)(a+c-b-d)(b+c+d-a)}}.}$

или

${\displaystyle S={\dfrac {a+b}{2}}{\sqrt {c^{2}-{\frac {1}{4}}\left({\dfrac {c^{2}-d^{2}}{b-a}}+b-a\right)^{2}}}}$

• Средняя линия ${\displaystyle m}$ разбивает фигуру на две трапеции, площади которых соотносятся как^[11]

${\displaystyle {\dfrac {S_{1}}{S_{2}}}={\dfrac {3a+b}{a+3b}}}$

• По свойству треугольников ${\displaystyle {\triangle AHD}}$ и ${\displaystyle {\triangle BHC}}$ в трапеции ${\displaystyle ABCD}$:

${\displaystyle S={\left({\sqrt {S_{\bigtriangleup AHD}}}+{\sqrt {S_{\bigtriangleup BHC}}}\right)}^{2}.}$

• Площадь трапеции равна произведению одной из боковых сторон на длину перпендикуляра, проведённого из середины другой боковой стороны к прямой, содержащей первую боковую сторону.

Формулы площади равнобедренной трапеции[править | править код]

• Площадь равнобедренной трапеции с радиусом вписанной окружности, равным ${\displaystyle r}$, и углом при основании ${\displaystyle \alpha }$:

${\displaystyle S={\dfrac {4r^{2}}{\sin {\alpha }}}}$

• Площадь равнобедренной трапеции через диагональ ${\displaystyle d}$, боковую сторону ${\displaystyle l}$ и угол при основании ${\displaystyle \alpha }$:

${\displaystyle S={\dfrac {d^{2}-l^{2}}{\sin {\alpha }}}}$

• Площадь равнобедренной трапеции:

${\displaystyle S=(b-c\cos {\gamma })c\sin {\gamma }=(a+c\cos {\gamma })c\sin {\gamma }}$

где ${\displaystyle c}$ — боковая сторона, ${\displaystyle b}$ — бо́льшее основание, ${\displaystyle a}$ — меньшее основание, ${\displaystyle \gamma }$ — угол между бо́льшим основанием и боковой стороной^[12].

• Площадь равнобедренной трапеции через её стороны

${\displaystyle S={\frac {a+b}{2}}{\sqrt {c^{2}-{\frac {1}{4}}(b-a)^{2}}}}$

• Площадь равнобедренной трапеции, диагонали которой взаимно перпендикулярны, равна квадрату её высоты:

${\displaystyle S=h^{2}.}$

В этом случае средняя линия совпадает по длине с высотой трапеции, т. е. ${\displaystyle m=h}$.

История[править | править код]

Слово «трапеция» происходит от греческого слова др.-греч. τραπέζιον «столик» (уменьш. от τράπεζα «стол»), означающего стол. В русском языке от этого слова происходит слово «трапеза» (еда).

Примечания[править | править код]