Точная верхняя и нижняя границы

В статье есть список источников, но не хватает сносок. Без сносок сложно определить, из какого источника взято каждое отдельное утверждение. Вы можете улучшить статью, проставив сноски на источники, подтверждающие информацию. Сведения без сносок могут быть удалены. (7 июня 2024)

Точная верхняя граница множества ${\displaystyle X}$, точная верхняя грань множества ${\displaystyle X}$, мажоранта множества ${\displaystyle X}$, супремум множества ${\displaystyle X}$ — обобщение понятия максимума множества ${\displaystyle X}$. Обычно обозначается как ${\displaystyle \sup X}$ (читается супремум икс).

Точная нижняя граница множества ${\displaystyle X}$, точная нижняя грань множества ${\displaystyle X}$, миноранта множества ${\displaystyle X}$, инфинум множества ${\displaystyle X}$ — обобщение понятия минимума множества ${\displaystyle X}$. Обычно обозначаются как ${\displaystyle \inf X}$ (читается инфимум икс).

Мажоранта (или верхняя грань (граница)) числового множества ${\displaystyle X}$ — такое число ${\displaystyle a}$, для которого верно следующее: ${\displaystyle \forall x\in X\Rightarrow x\leqslant a}$.

Миноранта (или нижняя грань (граница)) числового множества ${\displaystyle X}$ — такое число ${\displaystyle b}$, для которого верно следующее: ${\displaystyle \forall x\in X\Rightarrow x\geqslant b}$.

Подобным образом вводятся аналогичные понятия и для подмножеств нечисловых частично упорядоченных множеств. Эти понятия будут использованы ниже.

Точной верхней гранью (наименьшей верхней границей, супре́мумом (лат. supremum — самый высокий)) подмножества ${\displaystyle X}$ частично упорядоченного множества (или класса) ${\displaystyle M}$ называется такой наименьший элемент множества ${\displaystyle M}$, который равен или больше всех элементов множества ${\displaystyle X}$. Другими словами, супремум — наименьшая из верхних границ (верхняя грань). Обозначается ${\displaystyle \sup X}$.

Более формально:

${\displaystyle S_{X}=\{y\in M\mid \forall x\in X\!:x\leqslant y\}}$ — множество верхних граней ${\displaystyle X}$, то есть, таких элементов множества ${\displaystyle M}$, которые равны или больше элементов множества ${\displaystyle X}$;

${\displaystyle s=\sup(X)\iff S_{X}\ni s\;|\;\forall y\in S_{X}\!:s\leqslant y}$.

Точной нижней гранью (наибольшей нижней границей, и́нфимумом (лат. infimum — самый низкий)) подмножества ${\displaystyle X}$ частично упорядоченного множества (или класса) ${\displaystyle M}$ называется такой наибольший элемент множества ${\displaystyle M}$, который равен или меньше всех элементов множества ${\displaystyle X}$. Другими словами, инфимум — наибольшая из нижних границ (нижняя грань). Обозначается ${\displaystyle \inf X}$.

• В определении супремума множества ${\displaystyle X}$ (${\displaystyle \sup X}$) не говорится о том, принадлежит ли элемент, равный ${\displaystyle \sup X}$, множеству ${\displaystyle X}$.
• В определении инфинума множества ${\displaystyle X}$ (${\displaystyle \inf X}$) не говорится о том, принадлежит ли элемент, равный ${\displaystyle \inf X}$, множеству ${\displaystyle X}$.
• Если элемент ${\displaystyle s}$, ${\displaystyle =\sup X}$, ${\displaystyle \in X}$, то говорят, что ${\displaystyle s}$ является максимумом множества ${\displaystyle X}$ и пишут ${\displaystyle s=\max X}$.
• Если элемент ${\displaystyle i}$, ${\displaystyle =\inf X}$, ${\displaystyle \in X}$, то говорят, что ${\displaystyle i}$ является минимумом множества ${\displaystyle X}$ и пишут ${\displaystyle i=\min X}$.
• Приведённые определения ссылаются сами на себя — являются непредикативными. Ведь в каждом из них определяемое понятие является элементом множества, через которое оно определяется. Сторонники конструктивизма в математике выступают против использования подобных определений, в рамках своих теорий либо не допускают, либо различными методами устраняют элементы «порочного круга».
• При оценке неизвестных констант используют термины «оценка сверху» и «оценка снизу». При этом оценка сверху является нижней границей некоторого известного множества. А оценка снизу — верхней границей. Выражение «upper bound» может переводится с английского языка на русский и как «оценка сверху», и как «верхняя граница», что иногда приводит к путанице. Аналогична ситуация и с выражением «lower bound».

• Пусть ${\displaystyle X}$ — множество, элементами которого являются такие рациональные числа, которые больше числа 5. Например, числа 5.1, 5.01, 5.001 принадлежат множеству ${\displaystyle X}$, так как больше числа 5. Но число 5 не принадлежит множеству ${\displaystyle X}$, так как не больше числа 5 (а равно числу 5). У множества ${\displaystyle X}$ не существует минимума. Ведь какое бы число ${\displaystyle x}$, большее числа 5, не взять, между числом 5 и числом ${\displaystyle x}$ всегда найдётся число, равное среднему арифметическому чисел 5 и ${\displaystyle x}$: ${\displaystyle {\frac {\left(5+x\right)}{2}}}$. Но у множества ${\displaystyle X}$ существует инфимум. Инфинум множества ${\displaystyle X}$ равен числу 5: ${\displaystyle \inf {X}=5}$. Инфимум не является минимумом. Ведь число 5 не принадлежит множеству ${\displaystyle X}$.
• Если же определить множество всех натуральных чисел, больших пяти, то у такого множества есть минимум, и он равен шести. Вообще говоря, у любого непустого подмножества множества натуральных чисел существует минимум.
• Для множества ${\displaystyle S=\left\{{\frac {1}{k}}\mid k\in \mathbb {N} \right\}=\left\{1,\;{\frac {1}{2}},\;{\frac {1}{3}},\;\ldots \right\}}$

${\displaystyle \sup S=1}$; ${\displaystyle \inf S=0}$.

• Множество положительных рациональных чисел ${\displaystyle \mathbb {Q} _{+}=\{x\in \mathbb {Q} \mid x>0\}}$ не имеет точной верхней грани в ${\displaystyle \mathbb {Q} }$, точная нижняя грань ${\displaystyle \inf \mathbb {Q} _{+}=0}$.
• Множество ${\displaystyle X=\{x\in \mathbb {Q} \mid x^{2}<2\}}$ рациональных чисел, квадрат которых меньше двух, не имеет точных верхней и нижней граней в ${\displaystyle \mathbb {Q} }$, но если его рассматривать как подмножество множества действительных чисел, то

${\displaystyle \sup X={\sqrt {2}}}$ и ${\displaystyle \inf X=-{\sqrt {2}}}$.

Непустое подмножество действительных чисел ${\displaystyle A}$, ограниченное сверху, имеет точную верхнюю грань; аналогичное ${\displaystyle B}$, ограниченное снизу, — точную нижнюю грань. То есть существуют ${\displaystyle {\bar {a}}}$ и ${\displaystyle {\underline {b}}}$ такие, что:

${\displaystyle {\bar {a}}=\sup A:{\begin{cases}\forall a\in A\Rightarrow a\leqslant {\bar {a}},\\\forall {\bar {a}}'<{\bar {a}}\,\,\exists a\in A:a>{\bar {a}}';\end{cases}}\ \ \ \ (1)}$

${\displaystyle {\underline {b}}=\inf B:{\begin{cases}\forall b\in B\Rightarrow b\geqslant {\underline {b}},\\\forall {\underline {b}}'>{\underline {b}}\,\,\exists b\in B:b<{\underline {b}}';\end{cases}}\ \ \ \ (2)}$

Для непустого множества ${\displaystyle X}$, ограниченного сверху. Для множества, ограниченного снизу, рассуждения проводятся аналогично.

Представим все числа ${\displaystyle x\in X}$ в виде бесконечных десятичных дробей: ${\displaystyle x={\overline {x_{0},x_{1}\dots x_{m}\dots }}}$, где ${\displaystyle x_{0}\in \mathbb {N} \cup \{0\};\;\forall i\in \mathbb {N} ,\,x_{i}}$ — цифра.

Множество ${\displaystyle X_{0}=\{x_{0}\mid \forall {\overline {x_{0},x_{1}\ldots x_{m}\ldots }}\in X\}}$ непусто и ограниченно сверху по определению ${\displaystyle X}$. Так как ${\displaystyle X_{0}\subset \mathbb {N} \cup \{0\}}$ и ограничено сверху, существует конечное число элементов ${\displaystyle X_{0}}$, больших некоторого ${\displaystyle {\tilde {x}}_{0}\in X_{0}}$ (иначе бы из принципа индукции следовала неограниченность ${\displaystyle X_{0}}$ сверху). Среди таких выберем ${\displaystyle a_{0}=\max X_{0}}$.

Множество ${\displaystyle X_{1}=\{{\overline {a_{0},x_{1}}}\mid \forall {\overline {a_{0},x_{1}\ldots x_{m}\ldots }}\in X\}}$ непусто и состоит не более чем из десяти элементов, поэтому существует ${\displaystyle a_{1}=\max X_{1}}$.

Допустим, что для некоторого номера ${\displaystyle m}$ построено десятичное число ${\displaystyle {\overline {a_{0},a_{1}\dots a_{m}}}}$ такое, что ${\displaystyle \exists x\in X:x={\overline {a_{0},a_{1}\ldots a_{m}\ldots }}}$, причём ${\displaystyle \forall x\in X:x={\overline {x_{0},x_{1}\ldots x_{m}\ldots }}\Rightarrow {\overline {x_{0},x_{1}\ldots x_{m}}}\leqslant {\overline {a_{0},a_{1}\ldots a_{m}}}}$ (десятичная запись всякого элемента исходного множества до ${\displaystyle m}$-го знака после запятой не превосходит ${\displaystyle {\overline {a_{0},a_{1}\dots a_{m}}}}$, причём существует хотя бы 1 элемент, десятичная запись которого начинается с ${\displaystyle a_{0},a_{1}\dots a_{m}}$).

Обозначим ${\displaystyle X_{m+1}=\{{\overline {a_{0},\ldots a_{m+1}}}\mid \forall {\overline {a_{0},\ldots a_{m+1}\ldots }}\in X\}}$ (множество из элементов ${\displaystyle X}$, начинающихся в десятичной записи с ${\displaystyle a_{0},a_{1}\dots a_{m}a_{m+1}}$). По определению числа ${\displaystyle {\overline {a_{0},a_{1}\ldots a_{m}}}}$, множество ${\displaystyle X_{m+1}}$ непусто. Оно конечно, поэтому существует число ${\displaystyle {\overline {a_{0},a_{1}\dots a_{m}a_{m+1}}}=\max X_{m+1}}$, обладающее теми же свойствами, что и ${\displaystyle a_{m}}$.

Таким образом, согласно принципу индукции, для любого ${\displaystyle n}$ оказывается определённой цифра ${\displaystyle a_{n}}$ и поэтому однозначно определяется бесконечная десятичная дробь

${\displaystyle a\equiv {\overline {a_{0},a_{1}\ldots a_{n}\ldots }}\in \mathbb {R} }$.

Возьмем произвольное число ${\displaystyle x\in X,x={\overline {x_{0},x_{1}\dots x_{n}\dots }}}$. По построению числа ${\displaystyle a}$, для любого номера ${\displaystyle n}$ выполняется ${\displaystyle {\overline {x_{0},x_{1}\dots x_{n}}}\leqslant {\overline {a_{0},a_{1}\dots a_{n}}}}$ и поэтому ${\displaystyle x\leqslant a}$. Поскольку рассуждение выполнено ${\displaystyle \forall x\in X}$, то ${\displaystyle a=\sup X}$, причём вторая строка определения оказывается выполненной из построения ${\displaystyle a}$.

Выберем ${\displaystyle a'<a}$. Нетрудно видеть, что хотя бы одна цифра в десятичной записи ${\displaystyle a'}$ меньше соответствующей в записи ${\displaystyle a}$. Рассмотрим полученное ${\displaystyle X_{i}}$ по первому номеру такой цифры. Поскольку оно не пусто, ${\displaystyle \exists x\in X_{i}\subset X:x>a'}$.

Для непустого множества ${\displaystyle X}$, ограниченного сверху, рассмотрим ${\displaystyle {\overline {X}}}$ — непустое множество верхних граней ${\displaystyle X}$. По определению, ${\displaystyle {\overline {x}}\geqslant x,\forall x\in X,\forall {\overline {x}}\in {\overline {X}}}$ (множество ${\displaystyle X}$ лежит левее ${\displaystyle {\overline {X}}}$). Согласно непрерывности, ${\displaystyle \exists c\in \mathbb {R} :\forall x\in X\leqslant c\leqslant \forall {\overline {x}}\in {\overline {X}}}$. По определению ${\displaystyle {\overline {X}}}$, в любом случае ${\displaystyle c\in {\overline {X}}}$ (иначе ${\displaystyle {\overline {X}}}$ — не множество верхних граней, а лишь какое-то его подмножество). Так как ${\displaystyle c}$ является наименьшим элементом ${\displaystyle {\overline {X}}}$, то ${\displaystyle c=\sup X}$.

Проверим вторую строку определения. Выберем ${\displaystyle c'<c}$. Пусть ${\displaystyle \not \exists x\in X:x>c'}$, тогда ${\displaystyle \forall x\in X:x\leqslant c'}$, а это значит, что ${\displaystyle c'\in {\overline {X}}}$, но ${\displaystyle c'<c}$, а ${\displaystyle c}$ — наименьший элемент ${\displaystyle {\overline {X}}}$. Противоречие, значит ${\displaystyle \exists x\in X:x>c'}$. Вообще говоря, рассуждение верно ${\displaystyle \forall c'}$.

Для множества, ограниченного снизу, рассуждения аналогичны.

• По теореме о гранях для любого ограниченного сверху подмножества ${\displaystyle \mathbb {R} }$ существует ${\displaystyle \sup }$.
• По теореме о гранях для любого ограниченного снизу подмножества ${\displaystyle \mathbb {R} }$ существует ${\displaystyle \inf }$.
• Вещественное число ${\displaystyle s}$ является ${\displaystyle \sup X}$ тогда и только тогда, когда:

${\displaystyle s}$ есть верхняя грань ${\displaystyle X}$, то есть для всех элементов ${\displaystyle x\in X}$, ${\displaystyle x\leqslant s}$;

для любого ${\displaystyle \varepsilon >0}$ найдётся ${\displaystyle x\in X}$, такой, что ${\displaystyle x+\varepsilon >s}$ (то есть к ${\displaystyle s}$ можно сколь угодно «близко подобраться» из множества ${\displaystyle X}$, а при ${\displaystyle s\in X}$ очевидно, что ${\displaystyle s+\varepsilon >s}$).

• Утверждение, аналогичное последнему, верно и для точной нижней грани.

• Существенный супремум

• Богданов Ю. С., Кастрица О. А., Сыроид Ю. Б. Математический анализ: Учебное пособие для вузов. — М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2003.- С. 11-14. ISBN 5-238-00500-8
• Богданов Ю. С. Лекции по математическому анализу. Ч. 1. — Мн.: Издательство БГУ, 1974. — С. 3—8.
• У. Рудин. Основы математического анализа. — М.: Мир, 1976. — 320 с.