Систе́ма аксио́м Це́рмело — Фре́нкеля (ZF ) — наиболее широко используемый вариант аксиоматической теории множеств , являющийся фактическим стандартом для оснований математики . Сформулирована Эрнстом Цермело в 1908 году как средство преодоления парадоксов теории множеств , и уточнена Абрахамом Френкелем в 1921 году .
К этой системе аксиом часто добавляют аксиому выбора , и называют системой Цермело — Френкеля с аксиомой выбора (ZFC , англ. Zermelo—Fraenkel set theory with the axiom of Choice ).
Эта система аксиом записана на языке логики первого порядка . Существуют и другие системы; например, система аксиом фон Неймана — Бернайса — Гёделя (NBG) наряду с множествами рассматривает так называемые классы объектов , при этом она равносильна ZF в том смысле, что любая теорема о множествах (то есть не упоминающая о классах), доказуемая в одной системе, также доказуема и в другой.
Теория множеств Цермело — Френкеля (ZF) — теория первого порядка с равенством с одним двуместным предикатным символом ∈ {\displaystyle \in } и следующими аксиомами:
∀ A ∀ B ( ∀ b ( b ∈ A ↔ b ∈ B ) → A = B ) {\displaystyle \forall A\forall B\ (\forall b\ (b\in A\leftrightarrow b\in B)\rightarrow A=B)} — аксиома объёмности (экстенсиональности) ; ∀ A ∃ D ∀ c ( c ∈ D ↔ ∃ a ( a ∈ A ∧ c ∈ a ) ) {\displaystyle \forall A\ \exists D\ \forall c\ {\bigl (}c\in D\leftrightarrow \exists a\ (a\in A\ \land \ c\in a){\bigr )}} — аксиома объединения ; ∀ A ∃ B ∀ b ( b ∈ B ↔ ∀ d ( d ∈ b → d ∈ A ) ) {\displaystyle \forall A\ \exists B\ \forall b\ (b\in B\leftrightarrow \forall d\ {\bigl (}d\in b\rightarrow d\in A{\bigr )})} — аксиома булеана ; ∃ A ∃ E ( ∀ c ¬ ( c ∈ E ) ∧ E ∈ A ∧ ∀ b ( b ∈ A → ∀ c ( ∀ d ( d ∈ c ↔ d = b ∨ ∀ a ( a ∈ d ↔ a = b ) ) → c ∈ A ) ) ) {\displaystyle \exists A\ \exists E\ {\bigl (}\forall c\ \lnot {\bigl (}c\in E{\bigr )}\land E\in A\ \land \ \forall b\ (b\in A\rightarrow \forall c{\bigl (}\forall d{\bigl (}d\in c\leftrightarrow d=b\lor \forall a{\bigl (}a\in d\leftrightarrow a=b{\bigr )}{\bigr )}\rightarrow c\in A){\bigr )}{\bigr )}} — аксиома бесконечности ; ∀ A ( ∃ a ( a ∈ A ) → ∃ b ( b ∈ A ∧ ∀ c ( c ∈ b → ¬ ( c ∈ A ) ) ) ) {\displaystyle \forall A\ {\Bigl (}\exists a{\bigl (}a\in A{\bigr )}\rightarrow \exists b\ {\bigl (}b\in A\ \land \ \forall c\ (c\in b\rightarrow \lnot {\bigl (}c\in A){\bigr )}{\bigr )}{\Bigr )}} — аксиома регулярности ; ∀ x ∀ y ∀ z ( φ [ x , y ] ∧ φ [ x , z ] → y = z ) → ∀ A ∃ D ∀ c ( c ∈ D ↔ ∃ b ( b ∈ A ∧ φ [ b , c ] ) ) {\displaystyle \forall x\ \forall y\ \forall z\ {\bigl (}\varphi [x,y]\land \varphi [x,z]\rightarrow y=z{\bigr )}\rightarrow \forall A\ \exists D\ \forall c\ {\bigl (}c\in D\leftrightarrow \exists b\ (b\in A\ \land \ \varphi [b,c]){\bigr )}} — схема преобразования . Иногда также к этим аксиомам добавляют следующие:
∃ E ∀ c ¬ ( c ∈ E ) {\displaystyle \exists E\ \forall c\ \lnot {\bigl (}c\in E{\bigr )}} — аксиома пустого множества ; ∀ a 1 ∀ a 2 ∃ C ∀ b ( b ∈ C ↔ ( b = a 1 ∨ b = a 2 ) ) {\displaystyle \forall a_{1}\forall a_{2}\ \exists C\ \forall b\ {\bigl (}b\in C\leftrightarrow (b=a_{1}\ \lor \ b=a_{2}){\bigr )}} — аксиома пары ; ∀ A ∃ C ∀ b ( b ∈ C ↔ b ∈ A ∧ φ [ b ] ) {\displaystyle \forall A\ \exists C\ \forall b\ {\bigl (}b\in C\leftrightarrow b\in A\land \varphi [b]{\bigr )}} — схема выделения . Однако эти аксиомы избыточны и могут быть выведены из основных.
Теория множеств Цермело — Френкеля с аксиомой выбора (ZFC) получается из ZF добавлением к списку аксиом ещё одной дополнительной аксиомы, называемой аксиомой выбора :
∀ A ( ( ∃ a ( a ∈ A ) ∧ ∀ b ( b ∈ A → ∃ a ( a ∈ b ) ) ∧ ∀ b 1 ∀ b 2 ∀ c ( b 1 ∈ A ∧ b 2 ∈ A ∧ c ∈ b 1 ∧ c ∈ b 2 → b 1 = b 2 ) ) → ( ∃ D ∀ b ( b ∈ A → ∃ d ( d ∈ b ∧ d ∈ D ) ∧ ∀ d 1 ∀ d 2 ( d 1 ∈ b ∧ d 2 ∈ b ∧ d 1 ∈ D ∧ d 2 ∈ D → d 1 = d 2 ) ) ) ) {\displaystyle \forall A\ {\bigl (}{\bigl (}\exists a{\bigl (}a\in A{\bigr )}\ \land \ \forall b\ (b\in A\rightarrow \exists a{\bigl (}a\in b{\bigr )}{\bigr )}\ \land \ \forall b_{1}\ \forall b_{2}\ \forall c\ (b_{1}\in A\land b_{2}\in A\land c\in b_{1}\land c\in b_{2}\rightarrow b_{1}=b_{2}{\bigr )}{\bigr )}\rightarrow {\bigl (}\exists D\ \forall b{\bigl (}b\in A\rightarrow \exists d{\bigl (}d\in b\land d\in D{\bigr )}\land \forall d_{1}\ \forall d_{2}\ {\bigl (}d_{1}\in b\land d_{2}\in b\land d_{1}\in D\land d_{2}\in D\rightarrow d_{1}=d_{2}{\bigr )}{\bigr )}{\bigr )}{\bigr )}} — аксиома выбора Аксиомы ZFC включают в себя:
0) группу высказываний о равенстве множеств (аксиома 1),
1) группу высказываний о существовании множеств (аксиомы 0, 6),
2) группу высказываний об образовании множеств из уже имеющихся множеств (аксиомы 2, 3, 4 и схемы 5, 7), в которой можно выделить три подгруппы,
3) группу высказываний об упорядоченности образованных множеств (аксиомы 8, 9).
0. Критерий равенства множеств в ZFC [ править | править код ] Следующее высказывание выражает достаточное условие идентичности двух множеств.
∀ A 1 ∀ A 2 ( ∀ b ( b ∈ A 1 ↔ b ∈ A 2 ) → A 1 = A 2 ) {\displaystyle \forall A_{1}\forall A_{2}\ (\forall b\ (b\in A_{1}\leftrightarrow b\in A_{2})\to A_{1}=A_{2})} Примечание
«Аксиому объёмности» можно сформулировать следующим образом: «Если каждый элемент первого множества принадлежит второму множеству, а каждый элемент второго множества принадлежит первому множеству, тогда оба множества идентичны.»
Необходимое условие идентичности двух множеств имеет вид ∀ A 1 ∀ A 2 ( A 1 = A 2 → ∀ b ( b ∈ A 1 ↔ b ∈ A 2 ) ) {\displaystyle \forall A_{1}\forall A_{2}\ (A_{1}=A_{2}\to \forall b\ (b\in A_{1}\leftrightarrow b\in A_{2}))} и выводится из аксиом предиката = {\displaystyle =} , а именно:
∀ a ( a = a ) {\displaystyle \forall a\ (a=a)} , ∀ A 1 ∀ A 2 ( A 1 = A 2 → ( φ [ A 1 ] → φ [ A 2 ] ) ) {\displaystyle \forall A_{1}\forall A_{2}\ (A_{1}=A_{2}\to (\varphi [A_{1}]\to \varphi [A_{2}]))} , где φ [ a 1 ] {\displaystyle \varphi [a_{1}]} — любое математически корректное суждение об a 1 {\displaystyle a_{1}} , а φ [ a 2 ] {\displaystyle \varphi [a_{2}]} — то же самое суждение, но об a 2 {\displaystyle a_{2}} . Соединение указанного необходимого условия [идентичности множеств] с аксиомой объёмности даёт следующий критерий равенства множеств :
∀ A 1 ∀ A 2 ( A 1 = A 2 ↔ ∀ b ( b ∈ A 1 ↔ b ∈ A 2 ) ) {\displaystyle \forall A_{1}\forall A_{2}\ (A_{1}=A_{2}\leftrightarrow \forall b\ (b\in A_{1}\leftrightarrow b\in A_{2})\ )} 1. Аксиомы ZFC о существовании множеств [ править | править код ] «Аксиома объёмности» была бы бесполезным высказыванием, если бы не существовало ни одного множества или существовало только одно множество.
Следующие два высказывания гарантируют существование по меньшей мере двух разных множеств, а именно: а) множества, в котором нет ничего, и б) множества, содержащего бесконечное количество элементов.
∃ A ∀ b ( b ∉ A ) {\displaystyle \exists A\forall b\ (b\notin A)} Примечание
«Аксиому [существования] пустого множества» можно сформулировать следующим образом: «Существует [по меньшей мере одно] множество без единого элемента.»
Доказывается, что «аксиома пустого множества» равносильна высказыванию ∃ ! A ∀ b ( b ∉ A ) {\displaystyle \exists !A\forall b\ (b\notin A)} . Поэтому единственному множеству a {\displaystyle a} можно присвоить имя. Употребительны два имени: ∅ {\displaystyle \varnothing } и { } {\displaystyle \{\}} . Используя указанные имена, «аксиому пустого множества» записывают так:
∀ b ( b ∉ ∅ ) {\displaystyle \forall b\ (b\notin \varnothing )} и ∀ b ( b ∉ { } ) {\displaystyle \forall b\ (b\notin \{\})} ∃ A ( ∅ ∈ A ∧ ∀ b ( b ∈ A → b ∪ { b } ∈ A ) ) {\displaystyle \exists A\ (\varnothing \in A\ \land \ \forall b\ (b\in A\to b\cup \{b\}\in A)\ )} , где b ∪ { b } = { c : c ∈ b ∨ c = b } {\displaystyle b\cup \{b\}=\{c\colon c\in b\ \lor \ c=b\}} Примечание
«Аксиому бесконечности» можно сформулировать следующим образом: «Существует [по меньшей мере одно] „бесконечное множество “, которое состоит из ∅ , ∅ ∪ { ∅ } , ∅ ∪ { ∅ } ∪ { ∅ ∪ { ∅ } } , … {\displaystyle \varnothing ,\ \ \varnothing \cup \{\varnothing \},\ \ \varnothing \cup \{\varnothing \}\cup \{\varnothing \cup \{\varnothing \}\},\ \ldots } .»
Высказывание о существовании бесконечного множества отличается от (ложного в данной аксиоматике) высказывания о существовании «множества всех множеств » ( ∃ A ∀ b ( b ∈ A ) {\displaystyle \exists A\forall b\ (b\in A)} ).
2. Аксиомы ZFC об образовании множеств [ править | править код ] Следующие пять высказываний можно назвать аксиомами образования множеств [из имеющихся множеств, включая ∅ {\displaystyle \varnothing } и по меньшей мере одну ∞ {\displaystyle \infty } ].
Каждое из этих пяти высказываний создано на основе высказывания ∀ A ∃ b ( b = φ [ A ] ) {\displaystyle \forall A\exists b\ (b=\varphi [A])} , которое выводится из аксиом предиката = {\displaystyle =} .
Эти пять высказываний можно объединить в следующие подгруппы:
2.0) группу постулатов об образовании множеств путём перечисления их элементов,
2.1) группу деклараций об учреждении и об упразднении семейств множеств,
2.2) группу схем образования множеств с помощью математически корректных суждений.
2.0. Постулат об образовании множеств путём перечисления их элементов: Аксиома пары [ править | править код ] Простейший способ образовать новое множество [из уже имеющихся множеств] состоит в том, чтобы «ткнуть пальцем» в каждое множество, которое должно стать элементом [образуемого множества]. В ZFC указанный способ образования множеств представлен одной аксиомой, в которой «тыканье пальцем» моделируется с помощью предиката = {\displaystyle =} .
2.0 Аксиома пары
∀ a 1 ∀ a 2 ∃ c ∀ b ( b ∈ c ↔ b = a 1 ∨ b = a 2 ) {\displaystyle \forall a_{1}\forall a_{2}\exists c\forall b\ (b\in c\leftrightarrow b=a_{1}\ \lor \ b=a_{2})} , что есть ∀ a 1 ∀ a 2 ∃ c ( c = { b : b = a 1 ∨ b = a 2 } ) {\displaystyle \forall a_{1}\forall a_{2}\exists c\ (c=\{b\colon b=a_{1}\ \lor \ b=a_{2}\})} Примечание
«Аксиому [неупорядоченной] пары» можно сформулировать следующим образом: «Из любых двух множеств можно образовать „неупорядоченную пару“, то есть такое множество c {\displaystyle c} , каждый элемент b {\displaystyle b} которого идентичен данному множеству a 1 {\displaystyle a_{1}} или данному множеству a 2 {\displaystyle a_{2}} ».
Примеры 1. a 1 = 0 ∧ a 2 = 1 ⇒ ∃ c ∀ b ( b ∈ c ↔ b = 0 ∨ b = 1 ) {\displaystyle 1.\ a_{1}=0\ \land \ a_{2}=1\Rightarrow \exists c\forall b\ (b\in c\leftrightarrow b=0\ \lor \ b=1)} 2. a 1 = ∅ ∧ a 2 = { ∅ } ⇒ ∃ c ∀ b ( b ∈ c ↔ b = ∅ ∨ b = { ∅ } ) {\displaystyle 2.\ a_{1}=\varnothing \ \land \ a_{2}=\{\varnothing \}\Rightarrow \exists c\forall b\ (b\in c\leftrightarrow b=\varnothing \ \lor \ b=\{\varnothing \}\ )} Доказывается, что «аксиома пары» равносильна высказыванию ∀ a 1 ∀ a 2 ∃ ! c ∀ b ( b ∈ c ↔ b = a 1 ∨ b = a 2 ) {\displaystyle \forall a_{1}\forall a_{2}\exists !c\forall b\ (b\in c\leftrightarrow b=a_{1}\ \lor \ b=a_{2})} . Поэтому единственному множеству c {\displaystyle c} можно присвоить имя { a 1 , a 2 } {\displaystyle \{a_{1},a_{2}\}} . Используя указанное имя, «аксиому пары» записывают так:
∀ a 1 ∀ a 2 ∀ b ( b ∈ { a 1 , a 2 } ↔ b = a 1 ∨ b = a 2 ) {\displaystyle \forall a_{1}\forall a_{2}\forall b\ (b\in \{a_{1},a_{2}\}\leftrightarrow b=a_{1}\ \lor \ b=a_{2})} или ∀ a 1 ∀ a 2 ( { a 1 , a 2 } = { b : b = a 1 ∨ b = a 2 } ) {\displaystyle \forall a_{1}\forall a_{2}\ (\{a_{1},a_{2}\}=\{b\colon b=a_{1}\ \lor \ b=a_{2}\})} 2.1. Декларации об учреждении и об упразднении семейств множеств [ править | править код ] Следующие две аксиомы, именуемые «аксиомой множества подмножеств» и «аксиомой объединения», можно рассматривать как естественное дополнение к «аксиоме пары». Чтобы убедиться в этом, заметим следующее.
Известно, что каждое множество z {\displaystyle z} имеет подмножества , включая [копию пустого множества] ∅ {\displaystyle \varnothing } и [копию самого множества] z {\displaystyle z} . Иначе говоря,
∀ z ∃ x ∃ y ( x ⊆ z ∧ y ⊆ z ) ∧ ∀ z ( ∅ ⊆ z ∧ z ⊆ z ) {\displaystyle \forall z\exists x\exists y\ (x\subseteq z\ \land \ y\subseteq z)\quad \land \quad \forall z\ (\varnothing \subseteq z\ \land \ z\subseteq z)} . Руководствуясь «аксиомой пары», из названных подмножеств можно образовать неупорядоченную пару { ∅ , z } {\displaystyle \{\varnothing ,z\}} . Назовём эту пару семейством F a m 2 ( z ) {\displaystyle Fam_{2}(z)} .
Если можно образовать семейство F a m 2 ( z ) {\displaystyle Fam_{2}(z)} из двух подмножеств множества z {\displaystyle z} , тогда можно объявить об образовании семейства F a m a ( z ) {\displaystyle Fam_{a}(z)} из всех подмножеств множества z {\displaystyle z} .
Чтобы объявить об образовании семейства F a m a ( z ) {\displaystyle Fam_{a}(z)} достаточно потребовать, чтобы каждый элемент b {\displaystyle b} названного семейства был подмножеством множества z {\displaystyle z} , а каждое подмножество b {\displaystyle b} названного множества было элементом семейства F a m a ( z ) {\displaystyle Fam_{a}(z)} . Иначе говоря, ∀ b ( b ∈ F a m a ( z ) → b ⊆ z ) ∧ ∀ b ( b ⊆ z → b ∈ F a m a ( z ) ) {\displaystyle \forall b\ (b\in Fam_{a}(z)\to b\subseteq z)\ \land \ \forall b\ (b\subseteq z\to b\in Fam_{a}(z)\ )} , что равносильно предложению ∀ b ( b ∈ F a m a ( z ) ↔ b ⊆ z ) {\displaystyle \forall b\ (b\in Fam_{a}(z)\leftrightarrow b\subseteq z)} , которое подразумевает предложение ∃ d ∀ b ( b ∈ d ↔ b ⊆ z ) {\displaystyle \exists d\forall b\ (b\in d\leftrightarrow b\subseteq z)} , которое является частным случаем высказывания ∀ a ∃ d ∀ b ( b ∈ d ↔ b ⊆ a ) {\displaystyle \forall a\exists d\forall b\ (b\in d\leftrightarrow b\subseteq a)} . Если можно объявить об учреждении семейства F a m a ( z ) {\displaystyle Fam_{a}(z)} , тогда можно объявить об упразднении названного семейства.
Мыслимы различные способы упразднения семейства F a m a ( z ) {\displaystyle Fam_{a}(z)} , включая: 1) его полное упразднение (уничтожение), то есть D e l ( F a m a ( z ) ) = ∅ {\displaystyle Del(Fam_{a}(z))=\varnothing } , что равносильно ∀ c ( c ∈ D e l ( F a m a ( z ) ) ↔ c ∈ ∅ ) {\displaystyle \forall c\ (c\in Del(Fam_{a}(z))\leftrightarrow c\in \varnothing )} , 2) его фиктивное упразднение (резервирование), то есть F i c ( F a m a ( z ) ) = F a m a ( z ) {\displaystyle Fic(Fam_{a}(z))=Fam_{a}(z)} , что равносильно ∀ c ( c ∈ F i c ( F a m a ( z ) ) ↔ c ∈ F a m a ( z ) ) {\displaystyle \forall c\ (c\in Fic(Fam_{a}(z))\leftrightarrow c\in Fam_{a}(z))} , 3) его реверсивное упразднение (расформирование), то есть R e v ( F a m a ( z ) ) = z {\displaystyle Rev(Fam_{a}(z))=z} , что равносильно ∀ c ( c ∈ R e v ( F a m a ( z ) ) ↔ c ∈ z ) {\displaystyle \forall c\ (c\in Rev(Fam_{a}(z))\leftrightarrow c\in z)} . Поскольку c ∈ z ⇔ { c } ∈ F a m a ( z ) ⇔ ∃ b ( b = { c } ∧ b ∈ F a m a ( z ) ) ⇔ ∃ b ( c ∈ b ∧ b ∈ F a m a ( z ) ) {\displaystyle c\in z\Leftrightarrow \{c\}\in Fam_{a}(z)\Leftrightarrow \exists b\ (b=\{c\}\ \land \ b\in Fam_{a}(z))\Leftrightarrow \exists b\ (c\in b\ \land \ b\in Fam_{a}(z))} , постольку предложение ∀ c ( c ∈ R e v ( F a m a ( z ) ) ↔ c ∈ z ) {\displaystyle \forall c\ (c\in Rev(Fam_{a}(z))\leftrightarrow c\in z)} равносильно предложению ∀ c ( c ∈ R e v ( F a m a ( z ) ) ↔ ∃ b ( c ∈ b ∧ b ∈ F a m a ( z ) ) ) {\displaystyle \forall c\ (c\in Rev(Fam_{a}(z))\leftrightarrow \exists b\ (c\in b\ \land \ b\in Fam_{a}(z))\ )} , которое подразумевает предложение ∃ d ∀ c ( c ∈ d ↔ ∃ b ( c ∈ b ∧ b ∈ F a m a ( z ) ) ) {\displaystyle \exists d\forall c\ (c\in d\leftrightarrow \exists b\ (c\in b\ \land \ b\in Fam_{a}(z))\ )} , которое является частным случаем высказывания ∀ a ∃ d ∀ c ( c ∈ d ↔ ∃ b ( c ∈ b ∧ b ∈ a ) ) {\displaystyle \forall a\exists d\forall c\ (c\in d\leftrightarrow \exists b\ (c\in b\ \land \ b\in a)\ )} . Из изложенного следует, что высказывания ∀ a ∃ d ∀ b ( b ∈ d ↔ b ⊆ a ) {\displaystyle \forall a\exists d\forall b\ (b\in d\leftrightarrow b\subseteq a)} и ∀ a ∃ d ∀ c ( c ∈ d ↔ ∃ b ( c ∈ b ∧ b ∈ a ) ) {\displaystyle \forall a\exists d\forall c\ (c\in d\leftrightarrow \exists b\ (c\in b\ \land \ b\in a)\ )} можно считать независимыми условно.
∀ a ∃ d ∀ b ( b ∈ d ↔ b ⊆ a ) {\displaystyle \forall a\exists d\forall b\ (b\in d\leftrightarrow b\subseteq a)} , что есть ∀ a ∃ d ( d = { b : b ⊆ a } ) {\displaystyle \forall a\exists d\ (d=\{b\colon b\subseteq a\})} , где b ⊆ a ⇔ ∀ c ( c ∈ b → c ∈ a ) {\displaystyle b\subseteq a\Leftrightarrow \forall c\ (c\in b\to c\in a)} Примечание
«Аксиому множества подмножеств» можно сформулировать следующим образом: «Из любого множества a {\displaystyle a} можно образовать „суперкучу“, то есть множество d {\displaystyle d} , состоящее из (собственных либо несобственных) подмножеств b {\displaystyle b} данного множества a {\displaystyle a} .»
Примеры 1. a = ∅ ⇒ ∃ d ∀ b ( b ∈ d ↔ b ∈ { ∅ } ) {\displaystyle 1.\ a=\varnothing \Rightarrow \exists d\forall b\ (b\in d\leftrightarrow b\in \{\varnothing \})} , так как ∀ a ( ∅ ⊆ a ∧ a ⊆ a ) {\displaystyle \forall a\ (\varnothing \subseteq a\land a\subseteq a)} 2. a = { ∅ } ⇒ ∃ d ∀ b ( b ∈ d ↔ b ∈ { ∅ , { ∅ } } ) ⇔ ∃ d ∀ b ( b ∈ d ↔ b = ∅ ∨ b = { ∅ } ) {\displaystyle 2.\ a=\{\varnothing \}\Rightarrow \exists d\forall b\ (b\in d\leftrightarrow b\in \{\varnothing ,\{\varnothing \}\})\Leftrightarrow \exists d\forall b\ (b\in d\leftrightarrow b=\varnothing \ \lor \ b=\{\varnothing \})} 3. a = { 1 , 2 , 3 } ⇒ ∃ d ∀ b ( b ∈ d ↔ b ∈ { ∅ , { 1 } , { 2 } , { 3 } , { 1 , 2 } , { 1 , 3 } , { 2 , 3 } , { 1 , 2 , 3 } } ) {\displaystyle 3.\ a=\{1,2,3\}\Rightarrow \exists d\forall b\ (b\in d\leftrightarrow b\in \{\varnothing ,\{1\},\{2\},\{3\},\{1,2\},\{1,3\},\{2,3\},\{1,2,3\}\})} 4. a = { a 1 , a 2 } ⇒ ∃ d ∀ b ( b ∈ d ↔ b ∈ { ∅ , { a 1 } , { a 2 } , { a 1 , a 2 } } ) {\displaystyle 4.\ a=\{a_{1},a_{2}\}\Rightarrow \exists d\forall b(b\in d\leftrightarrow b\in \{\varnothing ,\{a_{1}\},\{a_{2}\},\{a_{1},a_{2}\}\})} Доказывается, что «аксиома множества подмножеств» равносильна высказыванию ∀ a ∃ ! d ∀ b ( b ∈ d ↔ b ⊆ a ) {\displaystyle \forall a\exists !d\forall b\ (b\in d\leftrightarrow b\subseteq a)} . Поэтому единственному множеству d {\displaystyle d} можно присвоить имя P ( a ) {\displaystyle {\mathcal {P}}(a)} , которое произносится: «множество всех подмножеств [множества] a {\displaystyle a} ». Используя указанное имя, «аксиому множества подмножеств» записывают так:
∀ a ∀ b ( b ∈ P ( a ) ↔ b ⊆ a ) {\displaystyle \forall a\forall b\ (b\in {\mathcal {P}}(a)\leftrightarrow b\subseteq a)} или ∀ a ( P ( a ) = { b : b ⊆ a } ) {\displaystyle \forall a\ ({\mathcal {P}}(a)=\{b\colon b\subseteq a\})} ∀ a ∃ d ∀ c ( c ∈ d ↔ ∃ b ( b ∈ a ∧ c ∈ b ) ) {\displaystyle \forall a\exists d\forall c\ (c\in d\leftrightarrow \exists b\ (b\in a\ \land \ c\in b)\ )} , что есть ∀ a ∃ d ( d = { c : ∃ b ( b ∈ a ∧ c ∈ b ) } ) {\displaystyle \forall a\exists d\ (d=\{c\colon \exists b\ (b\in a\ \land \ c\in b)\})} Примечание
Аксиому объединения [множеств] можно сформулировать следующим образом: «Из любого семейства множеств можно образовать „кучу-малу“, то есть такое множество d {\displaystyle d} , каждый элемент c {\displaystyle c} которого принадлежит по меньшей мере одному множеству b {\displaystyle b} данного семейства a {\displaystyle a} ».
Примеры 1. a = P ( ∅ ) = { ∅ } ⇒ ∃ d ∀ c ( c ∈ d ↔ c ∈ ∅ ) {\displaystyle 1.\ a={\mathcal {P}}(\varnothing )=\{\varnothing \}\Rightarrow \exists d\forall c\ (c\in d\leftrightarrow c\in \varnothing )} 2. a = P ( P ( ∅ ) ) = { ∅ , { ∅ } } ⇒ ∃ d ∀ c ( c ∈ d ↔ c ∈ P ( ∅ ) ) ⇔ ∃ d ∀ c ( c ∈ d ↔ c ∈ { ∅ } ) {\displaystyle 2.\ a={\mathcal {P}}({\mathcal {P}}(\varnothing ))=\{\varnothing ,\{\varnothing \}\}\Rightarrow \exists d\forall c\ (c\in d\leftrightarrow c\in {\mathcal {P}}(\varnothing )\ )\Leftrightarrow \exists d\forall c\ (c\in d\leftrightarrow c\in \{\varnothing \})} 3. a = { b 1 , b 2 , b 3 } = { { 0 , 1 } , { 1 , 2 } , { 3 } } ⇒ ∃ d ∀ c ( c ∈ d ↔ c ∈ { 0 , 1 } ∨ c ∈ { 1 , 2 } ∨ c ∈ { 3 } ) ⇔ ∃ d ∀ c ( c ∈ d ↔ c ∈ { 0 , 1 , 2 , 3 } ) {\displaystyle {\begin{aligned}3.\ a=\{b_{1},b_{2},b_{3}\}=\{\{0,1\},\{1,2\},\{3\}\}\Rightarrow \exists d\forall c\ (c\in d\leftrightarrow c\in \{0,1\}\lor c\in \{1,2\}\lor c\in \{3\})\\\ \Leftrightarrow \exists d\forall c\ (c\in d\leftrightarrow c\in \{0,1,2,3\})\end{aligned}}} 4. a = { b , { b } } ⇒ ∃ d ∀ c ( c ∈ d ↔ c ∈ b ∪ { b } ) ⇔ ∃ d ∀ c ( c ∈ d ↔ c ∈ b ∨ c = b ) {\displaystyle 4.\ a=\{b,\{b\}\}\Rightarrow \exists d\forall c\ (c\in d\leftrightarrow c\in b\cup \{b\})\Leftrightarrow \exists d\forall c\ (c\in d\leftrightarrow c\in b\ \lor \ c=b)} 5. a = ( a 1 , a 2 ) = { { a 1 } , { a 1 , a 2 } } = { { a 1 , a 1 } , { a 1 , a 2 } } ⇒ ∃ d ∀ c ( c ∈ d ↔ c ∈ { a 1 , a 2 } ) {\displaystyle 5.\ a=(a_{1},a_{2})=\{\{a_{1}\},\{a_{1},a_{2}\}\}=\{\{a_{1},a_{1}\},\{a_{1},a_{2}\}\}\Rightarrow \exists d\forall c\ (c\in d\leftrightarrow c\in \{a_{1},a_{2}\})} 6. a = ⟨ a 1 , a 2 ⟩ = { a 1 , { a 1 , a 2 } } ⇒ ∃ d ∀ c ( c ∈ d ↔ c ∈ a 1 ∪ { a 1 , a 2 } ) {\displaystyle 6.\ a=\langle a_{1},a_{2}\rangle =\{a_{1},\{a_{1},a_{2}\}\}\Rightarrow \exists d\forall c\ (c\in d\leftrightarrow c\in a_{1}\cup \{a_{1},a_{2}\})} 7. a = P ( { a 1 , a 2 } ) = { ∅ , { a 1 } , { a 2 } , { a 1 , a 2 } } ⇒ ∃ d ∀ c ( c ∈ d ↔ c ∈ { a 1 , a 2 } ) {\displaystyle 7.\ a={\mathcal {P}}(\{a_{1},a_{2}\})=\{\varnothing ,\{a_{1}\},\{a_{2}\},\{a_{1},a_{2}\}\}\Rightarrow \exists d\forall c\ (c\in d\leftrightarrow c\in \{a_{1},a_{2}\})} Доказывается, что аксиома объединения равносильна высказыванию ∀ a ∃ ! d ∀ c ( c ∈ d ↔ ∃ b ( b ∈ a ∧ c ∈ b ) ) {\displaystyle \forall a\exists !d\forall c\ (c\in d\leftrightarrow \exists b\ (b\in a\ \land \ c\in b)\ )} . Поэтому единственному множеству d {\displaystyle d} можно присвоить имя ∪ a {\displaystyle \cup \,a} , которое произносится: «объединение множеств семейства a {\displaystyle a} ». Используя указанное имя, аксиому объединения записывают так:
∀ a ∀ c ( c ∈ ∪ a ↔ ∃ b ( b ∈ a ∧ c ∈ b ) ) {\displaystyle \forall a\forall c\ (c\in \cup a\leftrightarrow \exists b\ (b\in a\ \land \ c\in b)\ )} или ∀ a ( ∪ a = { c : ∃ b ( b ∈ a ∧ c ∈ b ) } ) {\displaystyle \forall a\ (\cup a=\{c\colon \exists b\ (b\in a\ \land \ c\in b)\}\ )} . Объединение множеств семейства a {\displaystyle a} ( ∪ a {\displaystyle \cup a} ) не следует путать с пересечением множеств семейства a {\displaystyle a} ( ∩ a {\displaystyle \cap a} ), о котором известно:
∀ a ∀ c ( c ∈ ∩ a ↔ ∀ b ( b ∈ a → c ∈ b ) {\displaystyle \forall a\forall c\ (c\in \cap a\leftrightarrow \forall b\ (b\in a\to c\in b)} , то есть ∀ a ( ∩ a = { c : ∀ b ( b ∈ a → c ∈ b ) } ) {\displaystyle \forall a\ (\cap a=\{c\colon \forall b\ (b\in a\to c\in b)\})} 2.2. Схемы образования множеств с помощью математически корректных суждений [ править | править код ] Среди математических высказываний встречаются аксиомы связи, включая:
а) аксиому связи между алгебраической операцией + {\displaystyle +} (сложить) и алгебраической операцией ⋅ {\displaystyle \cdot } (умножить)
∀ x ∀ y ∀ z ( x ∈ R ∧ y ∈ R ∧ z ∈ R → ( x + y ) ⋅ z = x ⋅ z + y ⋅ z ) {\displaystyle \forall x\forall y\forall z\ (x\in \mathbb {R} \land \ y\in \mathbb {R} \land z\in \mathbb {R} \to (x+y)\cdot z=x\cdot z+y\cdot z)} , б) аксиому связи между отношением порядка ≤ {\displaystyle \leq } (меньше или равно) и алгебраической операцией + {\displaystyle +} (сложить)
∀ x ∀ y ∀ z ( x ∈ R ∧ y ∈ R ∧ z ∈ R → ( x ≤ y → x + z ≤ y + z ) ) {\displaystyle \forall x\forall y\forall z\ (x\in \mathbb {R} \land y\in \mathbb {R} \land z\in \mathbb {R} \to (x\leq y\to x+z\leq y+z))} Следующие два высказывания, именуемые «схемой выделения» и «схемой преобразования», являются аксиомами связи между множествами (например, множеством { 0 , 1 } {\displaystyle \{0,1\}} ) и математически корректными суждениями (например, суждением x ≤ 0 {\displaystyle x\leq 0} ).
«Схема выделения» и «схема преобразования» выражают следующую простую мысль: «Каждое математически корректное суждение об элементах любого множества приводит к образованию [того же самого или другого] множества.»
Математически корректные суждения, фигурирующие в «схеме выделения», позволяют «довести [до товарного вида]» множества, которые образованы, например, с помощью аксиомы множества подмножеств.
Математически корректные суждения, фигурирующие в «схеме преобразования», позволяют создавать «[математические] изделия» из [«неотёсанных»] множеств, образованных, например, с помощью аксиомы множества подмножеств.
∀ a ∃ c ∀ b ( b ∈ c ↔ b ∈ a ∧ Φ [ b ] ) {\displaystyle \forall a\exists c\forall b\ (b\in c\leftrightarrow b\in a\ \land \ \Phi [b]\ )} , что есть ∀ a ∃ c ( c = { b : b ∈ a ∧ Φ [ b ] } ) {\displaystyle \forall a\exists c\ (c=\{b\colon b\in a\ \land \ \Phi [b]\}\ )} , где Φ [ b ] {\displaystyle \Phi [b]} — любое математически корректное суждение о b {\displaystyle b} , но не о множестве a {\displaystyle a} и не о множестве c {\displaystyle c} . Примечание
Схему выделения [подмножеств] можно сформулировать следующим образом: «Из каждого множества можно выделить [по меньшей мере одно] подмножество c {\displaystyle c} , высказав суждение Φ {\displaystyle \Phi } о каждом элементе b {\displaystyle b} данного множества a {\displaystyle a} .»
Примеры 1. ( Φ [ x ] ↔ x = x ) ⇒ ∀ a ∃ c ∀ b ( b ∈ c ↔ b ∈ a ∧ b = b ) {\displaystyle 1.\ (\Phi [x]\leftrightarrow x=x)\Rightarrow \forall a\exists c\forall b\ (b\in c\leftrightarrow b\in a\ \land \ b=b)} 2. ( Φ [ x ] ↔ x ≠ x ) ⇒ ∀ a ∃ c ∀ b ( b ∈ c ↔ b ∈ a ∧ b ≠ b ) {\displaystyle 2.\ (\Phi [x]\leftrightarrow x\neq x)\Rightarrow \forall a\exists c\forall b\ (b\in c\leftrightarrow b\in a\ \land \ b\neq b)} 3. ( Φ [ x ] ↔ x ∈ y ) ⇒ ∀ a ∃ c ∀ b ( b ∈ c ↔ b ∈ a ∧ b ∈ y ) {\displaystyle 3.\ (\Phi [x]\leftrightarrow x\in y)\Rightarrow \forall a\exists c\forall b\ (b\in c\leftrightarrow b\in a\ \land \ b\in y)} 4. ( Φ [ x ] ↔ x ∉ y ) ⇒ ∀ a ∃ c ∀ b ( b ∈ c ↔ b ∈ a ∧ b ∉ y ) {\displaystyle 4.\ (\Phi [x]\leftrightarrow x\notin y)\Rightarrow \forall a\exists c\forall b\ (b\in c\leftrightarrow b\in a\ \land \ b\notin y)} 5. ( Φ [ x ] ↔ x < 2 ) ∧ a = N ⇒ ∃ c ∀ b ( b ∈ c ↔ b ∈ N ∧ b < 2 ) ⇔ ∃ c ∀ b ( b ∈ c ↔ b ∈ { 0 , 1 } ) {\displaystyle 5.\ (\Phi [x]\leftrightarrow x<2)\ \land \ a=\mathbb {N} \Rightarrow \exists c\forall b\ (b\in c\leftrightarrow b\in \mathbb {N} \ \land \ b<2)\Leftrightarrow \exists c\forall b\ (b\in c\leftrightarrow b\in \{0,1\})} 6. ( Φ [ x ] ↔ ∃ k ( k ∈ N ∧ x = 2 k ) ) ∧ a = N ⇒ ∃ c ∀ b ( b ∈ c ↔ b ∈ N ∧ ∃ k ( k ∈ N ∧ b = 2 k ) ) ⇔ ∃ c ∀ b ( b ∈ c ↔ b ∈ { 0 , 2 , 4 , 6 , … } ) {\displaystyle {\begin{aligned}6.\ (\Phi [x]\leftrightarrow \exists k\ (k\in \mathbb {N} \land x=2k))\land a=\mathbb {N} \Rightarrow \exists c\forall b\ (b\in c\leftrightarrow b\in \mathbb {N} \land \exists k\ (k\in \mathbb {N} \land b=2k))\\\ \Leftrightarrow \exists c\forall b\ (b\in c\leftrightarrow b\in \{0,2,4,6,\ldots \})\end{aligned}}} 7. ( Φ [ x ] ↔ ∃ u ∃ v ( u ∈ U ∧ v ∈ V ∧ x = ( u , v ) ) ) ∧ a = P ( P ( U ∪ V ) ) ⇒ ∃ c ∀ b ( b ∈ c ↔ b ∈ P ( P ( U ∪ V ) ) ∧ ∃ u ∃ v ( u ∈ U ∧ v ∈ V ∧ b = ( u , v ) ) ) {\displaystyle {\begin{aligned}7.\ (\Phi [x]\ \leftrightarrow \ \exists u\exists v\ (u\in U\ \land \ v\in V\ \land \ x=(u,v)\ )\ )\quad \land \quad a={\mathcal {P}}({\mathcal {P}}(U\cup V))\\\ \Rightarrow \exists c\forall b\ (b\in c\leftrightarrow b\in {\mathcal {P}}({\mathcal {P}}(U\cup V))\ \land \ \exists u\exists v\ (u\in U\land v\in V\land b=(u,v)))\end{aligned}}} Доказывается, что схема выделения равносильна высказыванию ∀ a ∃ ! c ∀ b ( b ∈ c ↔ b ∈ a ∧ Φ [ b ] ) {\displaystyle \forall a\exists !c\forall b\ (b\in c\leftrightarrow b\in a\ \land \ \Phi [b]\ )} . Поэтому единственному подмножеству c {\displaystyle c} можно присвоить имя { x : x ∈ a ∧ Φ [ x ] } {\displaystyle \{x\colon x\in a\land \Phi [x]\}} . Используя указанное имя, схему выделения записывают так:
∀ a ∀ b ( b ∈ { x : x ∈ a ∧ Φ [ x ] } ↔ b ∈ a ∧ Φ [ b ] ) {\displaystyle \forall a\forall b\ (b\in \{x\colon x\in a\land \Phi [x]\}\leftrightarrow b\in a\ \land \ \Phi [b]\ )} или ∀ a ( { x : x ∈ a ∧ Φ [ x ] } = { b : b ∈ a ∧ Φ [ b ] } {\displaystyle \forall a(\{x\colon x\in a\ \land \ \Phi [x]\}=\{b\colon b\in a\ \land \ \Phi [b]\}} Схема выделения равносильна счётному множеству аксиом.
∀ x ∃ ! y ( ϕ [ x , y ] ) → ∀ a ∃ d ∀ c ( c ∈ d ↔ ∃ b ( b ∈ a ∧ ϕ [ b , c ] ) ) {\displaystyle \forall x\exists !y\ (\phi [x,y])\ \to \ \forall a\exists d\forall c\ (c\in d\leftrightarrow \exists b\ (b\in a\ \land \ \phi [b,c]\ )\ )} , что есть ∀ x ∃ ! y ( ϕ [ x , y ] ) → ∀ a ∃ d ( d = { c : ∃ b ( b ∈ a ∧ ϕ [ b , c ] ) } ) {\displaystyle \forall x\exists !y\ (\phi [x,y])\ \to \ \forall a\exists d\ (d=\{c\colon \exists b\ (b\in a\ \land \ \phi [b,c])\}\ )} Примечание
Схему преобразования [множеств] можно сформулировать следующим образом: «Любое множество можно преобразовать в [то же самое или другое] множество d {\displaystyle d} , высказав любое истинное математически корректное функциональное суждение ϕ {\displaystyle \phi } обо всех элементах b {\displaystyle b} данного множества a {\displaystyle a} .»
Примеры 1. ( ϕ [ x , y ] ↔ y = x ) ⇒ ∀ a ∃ d ∀ c ( c ∈ d ↔ ∃ b ( b ∈ a ∧ c = b ) ) ⇔ ∀ a ∃ d ∀ c ( c ∈ d ↔ c ∈ a ) {\displaystyle 1.\ (\phi [x,y]\leftrightarrow y=x)\Rightarrow \forall a\exists d\forall c\ (c\in d\leftrightarrow \exists b\ (b\in a\ \land \ c=b))\Leftrightarrow \forall a\exists d\forall c\ (c\in d\leftrightarrow c\in a)} 2. ( ϕ [ x , y ] ↔ y = x 2 ) ∧ a = { 1 , 2 , 3 } ⇒ ∃ d ∀ c ( c ∈ d ↔ ∃ b ( b ∈ { 1 , 2 , 3 } ∧ c = b 2 ) ) ⇔ ∃ d ∀ c ( c ∈ d ↔ c ∈ { 1 , 4 , 9 } ) {\displaystyle {\begin{aligned}2.\ (\phi [x,y]\leftrightarrow y=x^{2})\ \land \ a=\{1,2,3\}\Rightarrow \exists d\forall c\ (c\in d\leftrightarrow \exists b\ (b\in \{1,2,3\}\ \land \ c=b^{2}))\\\ \Leftrightarrow \exists d\forall c\ (c\in d\leftrightarrow c\in \{1,4,9\})\end{aligned}}} 3. ( ϕ [ x , y ] ↔ y = f ( x ) ) ⇒ ∀ a ∃ d ∀ c ( c ∈ d ↔ ∃ b ( b ∈ a ∧ c = f ( b ) ) ) {\displaystyle 3.\ (\phi [x,y]\leftrightarrow y=f(x))\Rightarrow \forall a\exists d\forall c\ (c\in d\leftrightarrow \exists b\ (b\in a\ \land \ c=f(b)\ )\ )} 4. ( ϕ [ x , y ] ↔ ( x = ∅ → y = a 1 ) ∧ ( x ≠ ∅ → y = a 2 ) ) ∧ a = P ( P ( ∅ ) ) = { ∅ , { ∅ } } ⇒ ∃ d ∀ c ( c ∈ d ↔ ∃ b ( b ∈ { ∅ , { ∅ } } ∧ ( b = ∅ → c = a 1 ) ∧ ( b ≠ ∅ → c = a 2 ) ) ) ⇔ ∃ d ∀ c ( c ∈ d ↔ c = a 1 ∨ c = a 2 ) {\displaystyle {\begin{aligned}4.\ (\phi [x,y]\leftrightarrow (x=\varnothing \to y=a_{1})\land (x\neq \varnothing \to y=a_{2})\ )\quad \land \quad a={\mathcal {P}}({\mathcal {P}}(\varnothing ))=\{\varnothing ,\{\varnothing \}\}\\\ \Rightarrow \exists d\forall c\ (c\in d\leftrightarrow \exists b\ (b\in \{\varnothing ,\{\varnothing \}\}\land (b=\varnothing \to c=a_{1})\land (b\neq \varnothing \to c=a_{2})\ ))\\\ \Leftrightarrow \exists d\forall c\ (c\in d\leftrightarrow c=a_{1}\ \lor \ c=a_{2})\end{aligned}}} 5. ( ϕ [ x , y ] ↔ y = 2 x ) ∧ a = N ⇒ ∃ d ∀ c ( c ∈ d ↔ ∃ b ( b ∈ N ∧ c = 2 b ) ) ⇔ ∃ d ∀ c ( c ∈ d ↔ c ∈ { 0 , 2 , 4 , 6 , … } ) {\displaystyle {\begin{aligned}5.\ (\phi [x,y]\leftrightarrow y=2x)\ \land \ a=\mathbb {N} \Rightarrow \exists d\forall c\ (c\in d\leftrightarrow \exists b\ (b\in \mathbb {N} \land c=2b))\\\ \Leftrightarrow \exists d\forall c\ (c\in d\leftrightarrow c\in \{0,2,4,6,\ldots \})\end{aligned}}} 6. ( ϕ [ x , y ] ↔ y = 2 x + 1 ) ∧ a = N ⇒ ∃ d ∀ c ( c ∈ d ↔ ∃ b ( b ∈ N ∧ c = 2 b + 1 ) ) ⇔ ∃ d ∀ c ( c ∈ d ↔ c ∈ { 1 , 3 , 5 , 7 , … } ) {\displaystyle {\begin{aligned}6.\ (\phi [x,y]\leftrightarrow y=2x+1)\ \land \ a=\mathbb {N} \Rightarrow \exists d\forall c\ (c\in d\leftrightarrow \exists b\ (b\in \mathbb {N} \land c=2b+1))\\\ \Leftrightarrow \exists d\forall c\ (c\in d\leftrightarrow c\in \{1,3,5,7,\ldots \})\end{aligned}}} 7. ( ϕ [ x , y ] ↔ ( x ∈ N ∧ x < 2 → y = x ) ∧ ( x ∈ N ∧ ¬ ( x < 2 ) → y = 1 ) ) ∧ a = N ⇒ ∃ d ∀ c ( c ∈ d ↔ ∃ b ( b ∈ N ∧ ( b ∈ N ∧ b < 2 → c = b ) ∧ ( b ∈ N ∧ ¬ ( b < 2 ) → c = 1 ) ) ) ⇔ ∃ d ∀ c ( c ∈ d ↔ c ∈ N ∧ c < 2 ) ⇔ ∃ d ∀ c ( c ∈ d ↔ c ∈ { 0 , 1 } ) {\displaystyle {\begin{aligned}7.\ (\phi [x,y]\leftrightarrow (x\in \mathbb {N} \ \land \ x<2\to y=x)\ \land \ (x\in \mathbb {N} \ \land \ \neg (x<2)\to y=1))\quad \land \quad a=\mathbb {N} \\\ \Rightarrow \exists d\forall c(c\in d\leftrightarrow \exists b(b\in \mathbb {N} \ \land \ (b\in \mathbb {N} \land b<2\to c=b)\ \land \ (b\in \mathbb {N} \land \neg (b<2)\to c=1)))\\\ \Leftrightarrow \exists d\forall c\ (c\in d\leftrightarrow c\in \mathbb {N} \ \land \ c<2)\Leftrightarrow \exists d\forall c\ (c\in d\leftrightarrow c\in \{0,1\})\end{aligned}}} Доказывается, что в схеме преобразования множество d {\displaystyle d} единственно. Поэтому указанному множеству можно присвоить имя { y : ∃ x ( x ∈ a ∧ ϕ [ x , y ] ) } {\displaystyle \{y\colon \exists x\ (x\in a\ \land \ \phi [x,y])\}} . Используя указанное имя, схему преобразования записывают так:
∀ x ∃ ! y ( ϕ [ x , y ] ) → ∀ a ∀ c ( c ∈ { y : ∃ x ( x ∈ a ∧ ϕ [ x , y ] ) } ↔ ∃ b ( b ∈ a ∧ ϕ [ b , c ] ) ) {\displaystyle \forall x\exists !y(\phi [x,y])\to \forall a\forall c\ (c\in \{y\colon \exists x\ (x\in a\ \land \ \phi [x,y])\}\leftrightarrow \exists b\ (b\in a\ \land \ \phi [b,c])\ )} или ∀ x ∃ ! y ( ϕ [ x , y ] ) → ∀ a ( { y : ∃ x ( x ∈ a ∧ ϕ [ x , y ] ) } = { c : ∃ b ( b ∈ a ∧ ϕ [ b , c ] ) } ) {\displaystyle \forall x\exists !y(\phi [x,y])\to \forall a(\{y\colon \exists x\ (x\in a\ \land \ \phi [x,y])\}=\{c\colon \exists b\ (b\in a\ \land \ \phi [b,c])\}\ )} Схема преобразования равносильна счётному множеству аксиом.
3. Аксиомы ZFC об упорядоченности множеств [ править | править код ] Следующие два высказывания определяют упорядоченность множеств, которые образованы из ∅ {\displaystyle \varnothing } и каждой ∞ {\displaystyle \infty } с помощью аксиом образования множеств.
∀ a ( a ≠ ∅ → ∃ b ( b ∈ a ∧ ∀ c ( c ∈ b → c ∉ a ) ) ) {\displaystyle \forall a\ (a\neq \varnothing \to \exists b\ (b\in a\ \land \ \forall c\ (c\in b\to c\notin a)\ )\ )} Примечание
«Аксиому регулярности» можно сформулировать следующим образом: «В любом семействе множеств есть [по меньшей мере одно] множество b {\displaystyle b} , каждый элемент c {\displaystyle c} которого не принадлежит данному семейству a {\displaystyle a} .»
Примеры 1. a = { x } ⇒ a ≠ ∅ ⇒ ∃ b ( b ∈ { x } ∧ ∀ c ( c ∈ b → c ∉ { x } ) ) ⇔ ∃ b ( b ∈ { x } ∧ ∀ c ( c ∈ { x } → c ∉ b ) ) ⇒ ∀ x ( x ∉ x ) ⇔ ∀ a ( a ∉ a ) ⇔ ∀ a ∀ b ( a ∈ b ∨ b ∈ a → a ≠ b ) {\displaystyle {\begin{aligned}1.\ a=\{x\}\Rightarrow a\neq \varnothing \Rightarrow \exists b\ (b\in \{x\}\land \forall c\ (c\in b\to c\notin \{x\})\ )\\\ \Leftrightarrow \exists b\ (b\in \{x\}\land \forall c\ (c\in \{x\}\to c\notin b))\Rightarrow \forall x(x\notin x)\\\ \Leftrightarrow \forall a(a\notin a)\Leftrightarrow \forall a\forall b\ (a\in b\ \lor \ b\in a\to a\neq b)\end{aligned}}} Сравните с высказываниями ∀ a ( a = a ) {\displaystyle \forall a\ (a=a)} и ∀ a ( a ≮ a ) {\displaystyle \forall a\ (a\not <a)} , а также ∀ a ∀ b ( a < b ∨ b < a → a ≠ b ) {\displaystyle \forall a\forall b\ (a<b\ \lor \ b<a\to a\neq b)} . 2. a = { x , y } ⇒ a ≠ ∅ ⇒ ∃ b ( b ∈ { x , y } ∧ ∀ c ( c ∈ b → c ∉ { x , y } ) ) ⇒ ∀ x ∀ y ( x ∈ y → y ∉ x ) ⇔ ∀ a ∀ b ( a ∈ b → b ∉ a ) {\displaystyle {\begin{aligned}2.\ a=\{x,y\}\Rightarrow a\neq \varnothing \Rightarrow \exists b\ (b\in \{x,y\}\ \land \ \forall c\ (c\in b\to c\notin \{x,y\}))\\\ \Rightarrow \forall x\forall y\ (x\in y\to y\notin x)\\\ \Leftrightarrow \forall a\forall b\ (a\in b\to b\notin a)\end{aligned}}} Сравните с высказываниями ∀ a ∀ b ( a = b → b = a ) {\displaystyle \forall a\forall b\ (a=b\to b=a)} и ∀ a ∀ b ( a < b → b ≮ a ) {\displaystyle \forall a\forall b\ (a<b\to b\not <a)} . 3. a = { x , y , z } ⇒ a ≠ ∅ ⇒ ∃ b ( b ∈ { x , y , z } ∧ ∀ c ( c ∈ b → c ∉ { x , y , z } ) ) ⇒ ∀ a ∀ b ∀ c ( a ∈ b ∧ b ∈ c → c ∉ a ) {\displaystyle {\begin{aligned}3.\ a=\{x,y,z\}\Rightarrow a\neq \varnothing \Rightarrow \exists b\ (b\in \{x,y,z\}\land \forall c\ (c\in b\to c\notin \{x,y,z\}))\\\ \Rightarrow \forall a\forall b\forall c\ (a\in b\land b\in c\to c\notin a)\end{aligned}}} Сравните с высказываниями ∀ a ∀ b ∀ c ( a = b ∧ b = c → c = a ) {\displaystyle \forall a\forall b\forall c\ (a=b\land b=c\to c=a)} и ∀ a ∀ b ∀ c ( a < b ∧ b < c → c ≮ a ) {\displaystyle \forall a\forall b\forall c\ (a<b\land b<c\to c\not <a)} . ∀ a ( a ≠ ∅ ∧ ∀ b ( b ∈ a → b ≠ ∅ ) ∧ ∀ b 1 ∀ b 2 ( b 1 ≠ b 2 ∧ { b 1 , b 2 } ⊆ a → b 1 ∩ b 2 = ∅ ) → ∃ d ∀ b ( b ∈ a → ∃ c ( b ∩ d = { c } ) ) ) {\displaystyle {\begin{aligned}\forall a\ (a\neq \varnothing \land \forall b\ (b\in a\to b\neq \varnothing )\land \forall b_{1}\forall b_{2}\ (b_{1}\neq b_{2}\land \{b_{1},b_{2}\}\subseteq a\to b_{1}\cap b_{2}=\varnothing )\\\ \to \exists d\forall b\ (b\in a\to \exists c\ (b\cap d=\{c\})\ )\ )\end{aligned}}} Примечание
«Аксиому выбора» можно сформулировать следующим образом: «Из любого семейства непустых попарно непересекающихся множеств можно выбрать „делегацию“, то есть такое множество d {\displaystyle d} , в котором есть по одному элементу c {\displaystyle c} от каждого множества b {\displaystyle b} данного семейства a {\displaystyle a} .»
Пример Предположим, что семейство образовано из множества неотрицательных чётных чисел и множества неотрицательных нечётных чисел. В таком случае, выполнены все условия «аксиомы выбора», а именно: 1. { { 0 , 2 , 4 , … } , { 1 , 3 , 5 , … } } ≠ ∅ {\displaystyle 1.\quad \{\{0,2,4,\ldots \},\ \{1,3,5,\ldots \}\}\neq \varnothing } , 2. { 0 , 2 , 4 , … } ≠ ∅ ∧ { 1 , 3 , 5 , … } ≠ ∅ {\displaystyle 2.\quad \{0,2,4,\ldots \}\neq \varnothing \quad \land \quad \{1,3,5,\ldots \}\neq \varnothing } , 3. { 0 , 2 , 4 , … } ∩ { 1 , 3 , 5 , … } = ∅ {\displaystyle 3.\quad \{0,2,4,\ldots \}\ \cap \ \{1,3,5,\ldots \}=\varnothing } . Следовательно, можно образовать по меньшей мере одну «делегацию» в составе одного «делегата» (например, числа ноль) от множества { 0 , 2 , 4 , … } {\displaystyle \{0,2,4,\ldots \}} и одного «делегата» (например, числа один) от множества { 1 , 3 , 5 , … } {\displaystyle \{1,3,5,\ldots \}} . Действительно: { 0 , 2 , 4 , … } ∩ { 0 , 1 } = { 0 } {\displaystyle \{0,2,4,\ldots \}\ \cap \ \{0,1\}=\{0\}} . { 1 , 3 , 5 , … } ∩ { 0 , 1 } = { 1 } {\displaystyle \{1,3,5,\ldots \}\ \cap \ \{0,1\}=\{1\}} . 1. Если ZFC непротиворечива, то её непротиворечивость не может быть доказана средствами ZFC, согласно второй теореме Гёделя .
По-видимому, первоначальный вариант теории множеств, умышленно названный немецким математиком Георгом Кантором учением о множествах, состоял из двух аксиом, а именно:
1) аксиомы объёмности ∀ a 1 ∀ a 2 ( ∀ b ( b ∈ a 1 ↔ b ∈ a 2 ) → a 1 = a 2 ) {\displaystyle \forall a_{1}\forall a_{2}\ (\forall b\ (b\in a_{1}\leftrightarrow b\in a_{2})\to a_{1}=a_{2})} , которая позволяет сформулировать критерий равенства множеств , 2) «аксиомы математической свободы» ∀ a ∃ b ∀ c ( c ∈ b ↔ Φ [ a , c ] ) {\displaystyle \forall a\exists b\forall c\ (c\in b\leftrightarrow \Phi [a,c])} , которая позволяет создавать множества с помощью «суждения свободы» Φ [ a , c ] {\displaystyle \Phi [a,c]} . «Аксиома математической свободы» имеет рациональные следствия, включая следующие:
∃ b ∀ c ( c ∈ b ↔ c ≠ c ) {\displaystyle \exists b\forall c\ (c\in b\leftrightarrow c\neq c)} , ∀ a ∃ b ∀ c ( c ∈ b ↔ c = a ) {\displaystyle \forall a\exists b\forall c\ (c\in b\leftrightarrow c=a)} , ∀ a ∃ b ∀ c ( c ∈ b ↔ c = a ∨ c = x ) {\displaystyle \forall a\exists b\forall c\ (c\in b\leftrightarrow c=a\ \lor \ c=x)} , ∀ a ∃ b ∀ c ( c ∈ b ↔ c ∈ a ∧ Φ [ c ] ) {\displaystyle \forall a\exists b\forall c\ (c\in b\leftrightarrow c\in a\land \Phi [c])} , ∀ a ∃ b ∀ c ( c ∈ b ↔ c ⊆ a ) {\displaystyle \forall a\exists b\forall c\ (c\in b\leftrightarrow c\subseteq a)} , ∀ a ∃ b ∀ c ( c ∈ b ↔ ∃ d ( d ∈ a ∧ c ∈ d ) ) {\displaystyle \forall a\exists b\forall c\ (c\in b\leftrightarrow \exists d\ (d\in a\land c\in d))} . В 1903 году английский философ Бертран Рассел обратил внимание на следующее:
1) руководствуясь «аксиомой математической свободы», невозможно отличить «свободу» от «вседозволенности», 2) выбрав в качестве Φ [ a , c ] {\displaystyle \Phi [a,c]} тривиальнейшее математическое суждение c = c {\displaystyle c=c} , мы получаем высказывание о существовании «множества всех множеств» ∃ b ∀ c ( c ∈ b ↔ c = c ) {\displaystyle \exists b\forall c\ (c\in b\leftrightarrow c=c)} , от которого «один шаг» до парадокса Рассела . Эти критические высказывания о «немецком учении [о множествах]» побудили немецкого математика Эрнста Цермело заменить «аксиому математической свободы» такими её следствиями, которые не вызывали бы протеста у математиков.
В 1908 году в журнале Mathematische Annalen Эрнст Цермело опубликовал следующие семь аксиом:
1) аксиому объёмности (нем. Axiom der Bestimmtheit ); 2) аксиому о существовании «элементарных множеств» (нем. Axiom der Elementarmengen ) ∅ {\displaystyle \varnothing } , { a } {\displaystyle \{a\}} и { a 1 , a 2 } {\displaystyle \{a_{1},a_{2}\}} , которую можно записать в следующем виде: ∃ a ∀ b ( b ∉ a ) ∧ ∀ a ∃ c ∀ b ( b ∈ c ↔ b = a ) ∧ ∀ a 1 ∀ a 2 ∃ c ∀ b ( b ∈ c ↔ b = a 1 ∨ b = a 2 ) {\displaystyle \exists a\forall b\ (b\notin a)\ \land \ \forall a\exists c\forall b\ (b\in c\leftrightarrow b=a)\ \land \ \forall a_{1}\forall a_{2}\exists c\forall b\ (b\in c\ \leftrightarrow \ b=a_{1}\ \lor \ b=a_{2})} ; 3) схему выделения (нем. Axiom der Aussonderung ); 4) аксиому множества подмножеств (нем. Axiom der Potenzmenge ); 5) аксиому объединения (нем. Axiom der Vereinigung ); 6) аксиому выбора (нем. Axiom der Auswahl ); 7) аксиому бесконечности (нем. Axiom der Unendlichkeit ) в формулировке, отличной от современной формулировки. Так «учение о множествах» превратилось в теорию множеств, а именно в теорию ZC [Z ermelo set theory with the Axiom of C hoice].
Последняя аксиома теории ZC (аксиома бесконечности) сблизила сторонников Георга Кантора со сторонниками Леопольда Кронекера , которые рассматривали множество натуральных чисел N {\displaystyle \mathbb {N} } как священный грааль математики.
Предпоследняя аксиома теории ZC (аксиома выбора) стала предметом оживлённых математических дискуссий. Действительно, эта аксиома не является следствием «аксиомы математической свободы».
В 1922 году немецкий математик Абрахам Френкель и норвежский математик Туральф Скулем дополнили теорию ZC схемой преобразования . В результате теория ZC превратилась в теорию ZFC [Z ermelo-F raenkel set theory with the Axiom of C hoice].
В 1925 году венгерский математик Джон фон Нейман дополнил теорию ZFC аксиомой регулярности . Одно из следствий этой аксиомы ( ∀ a ( a ∉ a ) {\displaystyle \forall a\ (a\notin a)} ) «похоронило» и «множество всех множеств», и «парадокс Рассела ».
Колмогоров А. Н. , Драгалин А. Г. Математическая логика. — М.: УРСС, 2005. — 240 с. Френкель А. А. , Бар-Хиллел И. Основания теории множеств. — М.: Мир, 1966. — 556 с. Fraenkel, Abraham ; Bar-Hillel, Yehoshua ; Lévy, Azriel (англ.) ( рус. . Foundations of Set Theory (неопр.) . — North-Holland , 1973. Fraenkel’s final word on ZF and ZFC. Hatcher, William. The Logical Foundations of Mathematics. — Pergamon Press (англ.) ( рус. , 1982. Hinman, Peter. Fundamentals of Mathematical Logic. — A K Peters (англ.) ( рус. , 2005. — ISBN 978-1-56881-262-5 . Jech, Thomas (англ.) ( рус. . Set Theory: The Third Millennium Edition, Revised and Expanded (англ.) . — Springer (англ.) ( рус. , 2003. — ISBN 3-540-44085-2 . Kunen, Kenneth (англ.) ( рус. . Set Theory: An Introduction to Independence Proofs (англ.) . — Elsevier , 1980. — ISBN 0-444-86839-9 . Levy, Azriel. Basic Set Theory. — Dover Publications , 2002. — ISBN 0486420795 . Link, Godehard. Formalism and Beyond: On the Nature of Mathematical Discourse (англ.) . — Walter de Gruyter GmbH & Co KG , 2014. — ISBN 978-1-61451-829-7 . Quine, Willard van Orman. Set Theory and Its Logic . — Revised. — Cambridge, Massachusetts and London, England: Harvard University Press , 1969. — ISBN 0-674-80207-1 . Montague, Richard . Semantical closure and non-finite axiomatizability // Infinistic Methods. — London: Pergamon Press (англ.) ( рус. , 1961. — С. 45—69. Shoenfield, Joseph R. (англ.) ( рус. . Axioms of set theory // Handbook of Mathematical Logic / Barwise, K. J. (англ.) ( рус. . — 1977. — ISBN 0-7204-2285-X . Takeuti, Gaisi; Zaring, W M. Introduction to Axiomatic Set Theory. — 1982. Tarski, Alfred (англ.) ( рус. . On well-ordered subsets of any set (англ.) // Fundamenta Mathematicae : journal. — 1939. — Vol. 32 . — P. 176—183 . Ссылки на внешние ресурсы
Словари и энциклопедии