Теорема о девяти точках на кубической кривой

Теорема о 9 точках на кубической кривой — теорема алгебраической геометрии, которая гласит, что

Если 8 из 9 точек пересечения двух троек прямых (на рисунке справа — синих и красных) лежат на кубике (кривой третьего порядка, чёрной), то девятая тоже лежит на ней.

На этой теореме основана возможность определить структуру группы на кубической кривой.

Доказательство[править | править код]

Ниже приведено простое доказательство, использующее исключительно факты из школьной программы. Оно состоит из трёх частей: двух лемм и собственно теоремы.

Лемма 1[править | править код]

Если многочлен от двух переменных ${\displaystyle P\,(x,\,y)}$ в бесконечном числе точек на прямой ${\displaystyle l:\,ax+by+c=0}$ принимает нулевое значение, то он делится на уравнение этой прямой, то есть ${\displaystyle P\,(x,\,y)\,\vdots \,ax+by+c}$.

Обозначим ${\displaystyle z\,:=\,ax+by+c}$. В условии задана прямая, поэтому либо ${\displaystyle a}$, либо ${\displaystyle b}$ не равно 0. Будем считать, что это ${\displaystyle b}$, тогда ${\displaystyle y={\frac {z-ax-c}{b}}=S\,(x,z)}$, а ${\displaystyle P\,(x,\,y)=P\,(x,\,S\,(x,\,z))=F\,(x,\,z)=z\cdot Q\,(x,\,z)+R\,(x)}$. На прямой ${\displaystyle l:\,z=0}$ многочлен ${\displaystyle F\,(x,\,z)=R\,(x)=0}$, но при этом ${\displaystyle x}$ может принимать бесконечное число различных значений, поэтому ${\displaystyle R\,(x)\equiv 0}$, а значит ${\displaystyle P\,(x,\,y)=F\,(x,\,z)\,\vdots \,z=ax+by+c}$. ■

Лемма 2[править | править код]

Если кубики ${\displaystyle P\,(x,\,y)}$ и ${\displaystyle Q\,(x,\,y)}$ пересекаются в трёх точках на прямой ${\displaystyle l:\,ax+by+c=0}$, то существует такое число ${\displaystyle t}$, что ${\displaystyle P\,(x,\,y)-t\cdot Q\,(x,\,y)\,\vdots \,ax+by+c}$.

Аналогично лемме 1 будем считать, что ${\displaystyle b\neq 0}$, тогда для точек прямой ${\displaystyle l}$ выполняется равенство ${\displaystyle P\,(x,\,y)=P\,\left(x,\,-{\frac {ax+c}{b}}\right)=P_{1}\,(x)}$, аналогично ${\displaystyle Q\,(x,\,y)=Q_{1}\,(x)}$. Многочлены ${\displaystyle P_{1}\,(x)}$ и ${\displaystyle Q_{1}\,(x)}$ равны 0 в трёх общих точках, их степень не выше 3, поэтому существует такое число ${\displaystyle t}$, что ${\displaystyle P\,(x,\,y)=t\cdot Q\,(x,\,y)}$ для всех точек на этой прямой. Применив лемму 1, получаем доказываемое утверждение. ■

Доказательство теоремы[править | править код]

В дальнейшем для краткости параметры многочленов ${\displaystyle (x,\,y)}$ будут опущены. Обозначим уравнение чёрной кубики за ${\displaystyle H}$, красных прямых за ${\displaystyle K_{1},K_{2}}$ и ${\displaystyle K_{3}}$, а красной кубики за ${\displaystyle K=K_{1}\cdot K_{2}\cdot K_{3}}$. Аналогично для синих прямых и кубики ${\displaystyle S=S_{1}\cdot S_{2}\cdot S_{3}}$. При этом будем считать нумерацию такой, что необходимо доказать принадлежность точки пересечения ${\displaystyle K_{2}\cap S_{2}}$ кубике ${\displaystyle H}$.

Применив для прямой ${\displaystyle K_{1}}$ и кубик ${\displaystyle S}$ и ${\displaystyle H}$ лемму 2, получаем, что существует число ${\displaystyle a}$, для которого ${\displaystyle H-a\cdot S\,\vdots \,K_{1}}$. Аналогично существует такое ${\displaystyle b}$, что ${\displaystyle H-b\cdot K\,\vdots \,S_{1}}$. Тогда многочлен третьей степени ${\displaystyle A=H-a\cdot S-b\cdot K}$ делится на ${\displaystyle K_{1}}$ и ${\displaystyle S_{1}}$, то есть ${\displaystyle A=A_{1}\cdot K_{1}}$. Многочлен ${\displaystyle A}$ равен нулю для всех точек прямой ${\displaystyle S_{1}}$, прямые ${\displaystyle K_{1}}$ и ${\displaystyle S_{1}}$ общего положения, а значит ${\displaystyle K_{1}}$ принимает значение 0 ровно в одной точек прямой ${\displaystyle S_{1}}$. Поэтому ${\displaystyle A_{1}}$ равно нулю в бесконечном числе точек прямой ${\displaystyle S_{1}}$ и по лемме 1 делится на её уравнение. Таким образом ${\displaystyle A\,\vdots \,K_{1}\cdot S_{1}}$, а значит ${\displaystyle A=K_{1}\cdot S_{1}\cdot Q}$, где ${\displaystyle Q}$ — многочлен степени не выше первой, то есть прямая или нуль.

Предположим, что ${\displaystyle Q}$ — прямая. Левая часть равенства ${\displaystyle H-a\cdot S-b\cdot K=K_{1}\cdot S_{1}\cdot Q}$ равна нулю в точках ${\displaystyle K_{2}\cap S_{3},K_{3}\cap S_{3}}$ и ${\displaystyle K_{3}\cap S_{2}}$, а значит один из трёх множителей в правой части также равен нулю. Но прямые ${\displaystyle K_{1}}$ и ${\displaystyle S_{1}}$ не проходят через эти точки, поэтому все они лежат на одной прямой — ${\displaystyle Q}$. Но это невозможно.

Таким образом ${\displaystyle Q\equiv 0}$, а значит ${\displaystyle H=a\cdot S+b\cdot K}$. Но кубики ${\displaystyle K}$ и ${\displaystyle S}$ проходят через точку ${\displaystyle K_{2}\cap S_{2}}$, а значит и кубика ${\displaystyle H}$ проходит через эту точку. ■

Применение[править | править код]

С помощью теоремы о 9 точках просто доказываются некоторые факты из проективной геометрии, например теорема Паскаля:

Если шестиугольник вписан в коническое сечение, то точки пересечения трёх пар противоположных сторон лежат на одной прямой.

На рисунке справа шестиугольник с 3 красными и 3 синими сторонами вписан в чёрную параболу. Красные и синие прямые пересекаются в 9 зелёных точках, 6 из которых лежат на параболе, а через 2 другие проведена чёрная прямая. Поскольку чёрная кубика, содержит 8 зелёных точек, образованных пересечением красной и синей кубик, она содержит и девятую точку. Но эта точка не лежит на параболе, а значит она принадлежит прямой. ■

Также она может использоваться для доказательства ассоциативности операции сложения точек на эллиптической кривой^[1]. А именно, если A, B, C, O принадлежат кубической кривой. Для трёх прямых BC, O (A + B) и A (B + C); и для трёх прямых AB, O (B + C) и C (A + B). Следующие восемь точек А, В, С, А + В, -А-В, В + С, -B-C, O лежат на кубике. Следовательно и девятая точка -A-(B+C)=-(A+B)-C принадлежит ей.

Теорема Шаля[править | править код]

Теорема Шаля — обобщение для случая, когда взяты не тройки прямых, а произвольные кубики^[2]:

Если в проективной плоскости две кубики имеют 9 общих точек, то любая другая кубика, проходящая через 8 из них, проходит и через девятую.

Примечания[править | править код]

См. также[править | править код]

• Теорема Кэли-Бахараха^[англ.]
• Коника девяти точек