Теорема Каратеодори о продолжении меры

В теории меры теорема Каратеодори утверждает, что произвольная счётно-аддитивная мера на некотором кольце ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ подмножеств множества ${\displaystyle \Omega }$ может быть продолжена на σ-кольцо, порождённое кольцом ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$. В случае σ-конечности меры такое продолжение является единственным. Из теоремы, в частности, вытекает существование и единственность меры Бореля и меры Лебега.

Утверждение[править | править код]

Пусть ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ — кольцо подмножеств множества ${\displaystyle \Omega }$ с мерой ${\displaystyle \mu :{\mathcal {R}}\to [0,+\infty ]}$, а ${\displaystyle \sigma ({\mathcal {R}})}$ — σ-кольцо, порождённое ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$. Теорема Каратеодори утверждает, что существует мера ${\displaystyle \mu ':\sigma ({\mathcal {R}})\to [0,+\infty ]}$, являющаяся продолжением меры ${\displaystyle \mu }$, то есть, ${\displaystyle \mu '|_{\mathcal {R}}=\mu }$. Кроме того, если мера ${\displaystyle \mu }$ σ-конечна, то такое продолжение ${\displaystyle \mu '}$ единственно и также σ-конечно.

Полукольцо[править | править код]

В более общем виде такое продолжение существует для меры, заданной на полукольце, то есть семействе подмножеств ${\displaystyle S}$, удовлетворяющих следующим условиям:

• ${\displaystyle \varnothing \in S}$;
• для любых ${\displaystyle A,B\in S}$ пересечение ${\displaystyle A\cap B\in S}$;
• для любых ${\displaystyle A,B\in S}$ существуют такие попарно непересекающиеся множества ${\displaystyle K_{i}\in S}$, где ${\displaystyle i=1,2,\ldots ,n}$, что ${\displaystyle A\setminus B=\biguplus _{i=1}^{n}{K_{i}}}$.

Однако этот случай легко сводится к предыдущему, поскольку каждое полукольцо ${\displaystyle S}$ порождает кольцо ${\displaystyle R(S)}$, элементами которого являются всевозможные конечные дизъюнктные объединения множеств из ${\displaystyle S}$:

${\displaystyle R(S)=\{A:A=\biguplus _{i=1}^{n}{A_{i}},A_{i}\in S\}}$,

а мера ${\displaystyle \mu }$, заданная на полукольце, продолжается на всё кольцо:

${\displaystyle \mu (A)=\sum _{i=1}^{n}{\mu (A_{i})}}$ , где ${\displaystyle A=\biguplus _{i=1}^{n}{A_{i}}}$, ${\displaystyle A_{i}\in S}$.

Построение продолжения[править | править код]

Пусть ${\displaystyle \mu }$ — мера, определённая на кольце ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ подмножеств множества ${\displaystyle \Omega }$. Тогда на подмножествах ${\displaystyle A\subset \Omega }$ можно определить функцию

${\displaystyle \mu ^{*}(A)=\inf \left\{\sum _{k=1}^{\infty }\mathrm {\mu } \,(E_{k})\,\mid \,E_{k}\in {\mathcal {R}},\,A\subset \bigcup _{k=1}^{\infty }E_{k}\right\}.}$

Эта функция является внешней мерой, порождённой мерой ${\displaystyle \mu }$. Обозначим через ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{\mu }}$ семейство подмножеств ${\displaystyle A}$ множества ${\displaystyle \Omega }$, таких что для всех ${\displaystyle E\subset \Omega }$ выполняется ${\displaystyle \mu ^{*}(E\cap A)+\mu ^{*}(E\setminus A)=\mu ^{*}(E)}$.

Тогда ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{\mu }}$ является σ-кольцом, и на нём можно определить меру ${\displaystyle {\overline {\mu }}(A)=\mu ^{*}(A)}$ для всех ${\displaystyle A\in {\mathcal {M}}_{\mu }}$. Определённая таким образом функция является мерой, которая совпадает с ${\displaystyle \mu }$ на множествах кольца ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$. Также ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{\mu }}$ содержит σ-алгебру ${\displaystyle \sigma ({\mathcal {R}})}$ и сужение ${\displaystyle {\overline {\mu }}}$ на элементы ${\displaystyle \sigma ({\mathcal {R}})}$ и будет необходимым расширением меры.

σ-кольцо ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{\mu }}$ является пополнением кольца ${\displaystyle \sigma ({\mathcal {R}})}$, соответственно, они совпадают, если определённая мера на ${\displaystyle \sigma ({\mathcal {R}})}$ является полной.

Примеры[править | править код]

• Если на действительной прямой взять полукольцо ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ интервалов ${\displaystyle [a,b]}$, где ${\displaystyle a<b}$ и мера ${\displaystyle [a,b]}$ равна ${\displaystyle b-a}$, то представленная конструкция дает определение меры Бореля на борелевских множествах ${\displaystyle \sigma ({\mathcal {S}})}$. Множеству ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{\mu }}$ здесь соответствует множество измеримых по Лебегу множеств.
• Условие σ-конечности является необходимым для единственности продолжения. Например, на множестве ${\displaystyle X}$ всех рациональных чисел промежутка ${\displaystyle [0,1]}$ можно задать полукольцо промежутков с рациональными концами ${\displaystyle [a,b)}$, где ${\displaystyle a<b}$ — рациональные числа из промежутка ${\displaystyle [0,1]}$. σ-кольцо, порождённое этим полукольцом, является множеством всех подмножеств ${\displaystyle X}$. Пусть теперь ${\displaystyle \mu (A)}$ равно количеству элементов ${\displaystyle A}$, а ${\displaystyle \mu '(A)=2\mu (A)}$. Тогда обе меры совпадают на полукольце и порождённом кольце (поскольку все непустые множества полукольца и кольца являются бесконечными, то обе меры на всех этих множествах равны ${\displaystyle \infty }$), но не совпадают на порождённом σ-кольце. То есть в данном случае продолжение не является единственным.

Литература[править | править код]

• Халмош П. Р. Теория меры. М.: Изд-во иностр. лит., 1953
• Дороговцев А. Я. Элементы общей теории меры и интеграла. Киев, 1989

Для улучшения этой статьи желательно: Проставить сноски, внести более точные указания на источники. Оформить список литературы. После исправления проблемы исключите её из списка. Удалите шаблон, если устранены все недостатки.