Схематичное представление различия форм частиц. Показаны два параметра: сферичность (чем выше объект, тем больше сферичность) и круглость (чем правее объект, тем больше круглость). Сфери́чность — количественная мера того, насколько сферическим (круглым) является объект.
Определённая Х. Уоделлом (H. Wadell ) в 1935 году[1] сферичность Ψ {\displaystyle \Psi } частицы представляет собой отношение площади поверхности сферы (того же объёма, что и данная частица) к площади поверхности частицы:
Ψ = π 1 3 ( 6 V p ) 2 3 A p , {\displaystyle \Psi ={\frac {\pi ^{\frac {1}{3}}(6V_{p})^{\frac {2}{3}}}{A_{p}}},} где V p {\displaystyle V_{p}} равно объёму частицы и A p {\displaystyle A_{p}} равно площади поверхности частицы. Сферичность сферы равна единице по определению, а вследствие изопериметрического неравенства сферичность любого другого тела меньше единицы.
Хакон Уоделл определил сферичность как отношение площади поверхности сферы равного с данной частицей объёма к площади поверхности данной частицы. Рассмотрим сначала сферическую частицу, у которой площадь поверхности A s {\displaystyle A_{s}} , а её объём V p {\displaystyle V_{p}} равен объёму исследуемой частицы.
Выразим площадь поверхности этой частицы A s {\displaystyle A_{s}} через её объём V p {\displaystyle V_{p}} :
A s 3 = ( 4 π r 2 ) 3 = 4 3 π 3 r 6 = 4 π ( 4 2 π 2 r 6 ) = 4 π ⋅ 3 2 ( 4 2 π 2 3 2 r 6 ) = 36 π ( 4 π 3 r 3 ) 2 = 36 π V p 2 . {\displaystyle A_{s}^{3}=\left(4\pi r^{2}\right)^{3}=4^{3}\pi ^{3}r^{6}=4\pi \left(4^{2}\pi ^{2}r^{6}\right)=4\pi \cdot 3^{2}\left({\frac {4^{2}\pi ^{2}}{3^{2}}}r^{6}\right)=36\pi \left({\frac {4\pi }{3}}r^{3}\right)^{2}=36\,\pi V_{p}^{2}.} Следовательно,
A s = ( 36 π V p 2 ) 1 3 = 36 1 3 π 1 3 V p 2 3 = 6 2 3 π 1 3 V p 2 3 = π 1 3 ( 6 V p ) 2 3 . {\displaystyle A_{s}=\left(36\,\pi V_{p}^{2}\right)^{\frac {1}{3}}=36^{\frac {1}{3}}\pi ^{\frac {1}{3}}V_{p}^{\frac {2}{3}}=6^{\frac {2}{3}}\pi ^{\frac {1}{3}}V_{p}^{\frac {2}{3}}=\pi ^{\frac {1}{3}}\left(6V_{p}\right)^{\frac {2}{3}}.} Тогда выражение сферичности Ψ {\displaystyle \Psi } для произвольной частицы, имеющей площадь поверхности A p {\displaystyle A_{p}} и объём V p {\displaystyle V_{p}} , приобретает вид
Ψ = A s A p = π 1 3 ( 6 V p ) 2 3 A p . {\displaystyle \Psi ={\frac {A_{s}}{A_{p}}}={\frac {\pi ^{\frac {1}{3}}\left(6V_{p}\right)^{\frac {2}{3}}}{A_{p}}}.} Сферичность Ψ {\displaystyle \Psi } сплюснутого сфероида равна
Ψ = π 1 3 ( 6 V p ) 2 3 A p = 2 a b 2 3 a + b 2 a 2 − b 2 ln ( a + a 2 − b 2 b ) , {\displaystyle \Psi ={\frac {\pi ^{\frac {1}{3}}(6V_{p})^{\frac {2}{3}}}{A_{p}}}={\frac {2{\sqrt[{3}]{ab^{2}}}}{a+{\frac {b^{2}}{\sqrt {a^{2}-b^{2}}}}\ln {\left({\frac {a+{\sqrt {a^{2}-b^{2}}}}{b}}\right)}}},} где a и b равны большой и малой полуосям сфероида.
Название Рисунок Объём Площадь поверхности Сферичность Платоновы тела Тетраэдр 2 12 s 3 {\displaystyle {\frac {\sqrt {2}}{12}}\,s^{3}} 3 s 2 {\displaystyle {\sqrt {3}}\,s^{2}} ( π 6 3 ) 1 3 ≈ 0.671 {\displaystyle \left({\frac {\pi }{6{\sqrt {3}}}}\right)^{\frac {1}{3}}\approx 0.671} Куб (гексаэдр) s 3 {\displaystyle \,s^{3}} 6 s 2 {\displaystyle 6\,s^{2}} ( π 6 ) 1 3 ≈ 0.806 {\displaystyle \left({\frac {\pi }{6}}\right)^{\frac {1}{3}}\approx 0.806}
Октаэдр 1 3 2 s 3 {\displaystyle {\frac {1}{3}}{\sqrt {2}}\,s^{3}} 2 3 s 2 {\displaystyle 2{\sqrt {3}}\,s^{2}} ( π 3 3 ) 1 3 ≈ 0.846 {\displaystyle \left({\frac {\pi }{3{\sqrt {3}}}}\right)^{\frac {1}{3}}\approx 0.846}
Додекаэдр 1 4 ( 15 + 7 5 ) s 3 {\displaystyle {\frac {1}{4}}\left(15+7{\sqrt {5}}\right)\,s^{3}} 3 25 + 10 5 s 2 {\displaystyle 3{\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}\,s^{2}} ( ( 15 + 7 5 ) 2 π 12 ( 25 + 10 5 ) 3 2 ) 1 3 ≈ 0.910 {\displaystyle \left({\frac {\left(15+7{\sqrt {5}}\right)^{2}\pi }{12\left(25+10{\sqrt {5}}\right)^{\frac {3}{2}}}}\right)^{\frac {1}{3}}\approx 0.910}
Икосаэдр 5 12 ( 3 + 5 ) s 3 {\displaystyle {\frac {5}{12}}\left(3+{\sqrt {5}}\right)\,s^{3}} 5 3 s 2 {\displaystyle 5{\sqrt {3}}\,s^{2}} ( ( 3 + 5 ) 2 π 60 3 ) 1 3 ≈ 0.939 {\displaystyle \left({\frac {\left(3+{\sqrt {5}}\right)^{2}\pi }{60{\sqrt {3}}}}\right)^{\frac {1}{3}}\approx 0.939} Тела с осевой симметрией Конус ( h = 2 2 r ) {\displaystyle (h=2{\sqrt {2}}r)} 1 3 π r 2 h {\displaystyle {\frac {1}{3}}\pi \,r^{2}h} = 2 2 3 π r 3 {\displaystyle ={\frac {2{\sqrt {2}}}{3}}\pi \,r^{3}}
π r ( r + r 2 + h 2 ) {\displaystyle \pi \,r(r+{\sqrt {r^{2}+h^{2}}})} = 4 π r 2 {\displaystyle =4\pi \,r^{2}}
( 1 2 ) 1 3 ≈ 0.794 {\displaystyle \left({\frac {1}{2}}\right)^{\frac {1}{3}}\approx 0.794} Полусфера 2 3 π r 3 {\displaystyle {\frac {2}{3}}\pi \,r^{3}} 3 π r 2 {\displaystyle 3\pi \,r^{2}} ( 16 27 ) 1 3 ≈ 0.840 {\displaystyle \left({\frac {16}{27}}\right)^{\frac {1}{3}}\approx 0.840}
Цилиндр ( h = 2 r ) {\displaystyle (h=2\,r)} π r 2 h = 2 π r 3 {\displaystyle \pi r^{2}h=2\pi \,r^{3}} 2 π r ( r + h ) = 6 π r 2 {\displaystyle 2\pi r(r+h)=6\pi \,r^{2}} ( 2 3 ) 1 3 ≈ 0.874 {\displaystyle \left({\frac {2}{3}}\right)^{\frac {1}{3}}\approx 0.874}
Тор ( R = r ) {\displaystyle (R=r)} 2 π 2 R r 2 = 2 π 2 r 3 {\displaystyle 2\pi ^{2}Rr^{2}=2\pi ^{2}\,r^{3}} 4 π 2 R r = 4 π 2 r 2 {\displaystyle 4\pi ^{2}Rr=4\pi ^{2}\,r^{2}} ( 9 4 π ) 1 3 ≈ 0.894 {\displaystyle \left({\frac {9}{4\pi }}\right)^{\frac {1}{3}}\approx 0.894}
Сфера 4 3 π r 3 {\displaystyle {\frac {4}{3}}\pi r^{3}} 4 π r 2 {\displaystyle 4\pi \,r^{2}} 1 {\displaystyle 1\,}