Пространство столбцов

Wikipedia open wikipedia design.

Вектор-строки матрицы. Пространство строк матрицы — это линейная оболочка вектор-строк.
Вектор-столбцы матрицы. Пространство столбцов матрицы — это линейная оболочка вектор-столбцов.

Пространство столбцов (также образ, область значений) матрицы  — это линейная оболочка (множество всех возможных линейных комбинаций) её вектор-столбцов. Пространство столбцов матрицы также является образом или областью значений соответствующего ей отображения.

Пусть  — некоторое поле. Пространство столбцов матрицы размера с компонентами из является линейным подпространством координатного пространства . Размерность пространства столбцов называется рангом матрицы и не превосходит [1]. Понятие также определено для матриц заданных над кольцом .

Пространство строк определяется аналогично.

В данной статье рассматриваются матрицы над вещественными числами, то есть, пространства строк и столбцов являются подпространствами и соответственно[2].

Обзор[править | править код]

Пусть  — матрица размера .Тогда имеют место такие утверждения про её ранг , где и  — её пространства столбцов и строк соответственно:

  1. [3],
  2. равен числу опорных элементов в любом ступенчатом виде ,
  3. равен наибольшему числу линейно независимых строк или столбцов матрицы [4].

Пространство столбцов матрицы совпадает с множеством линейных комбинаций столбцов . То есть, если , то , где  — линейная оболочка .

Действие матрицы на некоторый вектор может быть представлено как линейная комбинация столбцов с коэффициентами, соответствующими координатам . Значит, всегда лежит в . Таким образом, если рассматривать матрицу как линейное отображение из в , то пространство столбцов матрицы будет соответствовать образу данного отображения.

Концепция пространства столбцов может быть обобщена на матрицы, заданные над полем комплексных чисел или, в общем случае, над произвольным полем .

Пример

Дана матрицы :

Её строки:

  • ,
  • ,
  • ,
  • .

Следовательно, пространство строк матрицы это подпространство , заданное как . Это пространство четырёхмерно в силу того, что эти четыре строки линейно независимы. Кроме того, в данном случае все строки ортогональны вектору , из чего можно сделать вывод, что пространство строк состоит из всех векторов , которые ортогональны вектору .

Пространство столбцов[править | править код]

Определение[править | править код]

Пусть  — некоторое поле скаляров, над которым задана матрица размера со столбцами . Линейная комбинация этих векторов — это любой вектор вида:

Где  — скаляры. Множество всех возможных комбинаций называется пространством столбцов . То есть, пространство столбцов  — это линейная оболочка векторов .

Любая линейная комбинация столбцов матрицы может быть записана как умножение матрицы на некоторый вектор-столбец:

Таким образом, пространство столбцов состоит из всех возможных произведений , где , что то же самое, что образ (или область значений) соответствующего отображения.

Пример
Если , то её столбцы это и .
Линейная комбинация и  — это любой вектор, имеющий следующий вид:
Множество всех таких векторов образует пространство столбцов . В данном случае пространство столбцов это в точности множество векторов , удовлетворяющих уравнению .
В декартовой системе координат это множество соответствует некоторой плоскости, проходящей через начало отсчёт в трёхмерном пространстве.

Базис[править | править код]

Столбцы матрицы порождают пространство столбцов, но они могут не образовывать базис если столбцы не линейно независимы. К счасть, элементарные преобразования строк матрицы не меняют линейные зависимости между столбцами. Это позволяет находить базис в пространстве столбцов методом Гаусса.

Например, дана такая матрица:

Столбцы этой матрицы не линейно независимы, что значит, что базис образует некоторое подмножество столбцов. Чтобы найти его, приведём к ступенчатому виду по строкам:

[5]

Первый, второй и четвёртый столбцы линейно независимы, в то время как третий является линейной комбинацией первых двух (точнее, ). Поэтому первый, второй и четвёртый столбцы образуют базис в пространстве столбцов:

Стоит обратить внимание, что независимые столбцы это в точности столбцы, содержащие ведущие элементы, что позволяет сводить задачу поиска базиса в множестве столбцов к приведению матрицы к ступенчатому виду.

Алгоритм выше может быть использован для поиска зависимостей и нахождения базиса в любом множестве векторов. Также нахождение базиса пространства столбцов эквивалентно нахождению оного для пространства строк транспонированной матрицы . На практике (например, при работе с большими матрицами) для нахождения базиса обычно используется сингулярное разложение.

Размерность[править | править код]

Основная статья: Ранг матрицы

Размерность пространства столбцов называется рангом матрицы. Ранг равен числу ведущих элементов в ступенчатом виде матрицы, а также наибольшему числу её линейно независимых столбцов. Например, ранг матрицы выше равен .

Так как пространство столбцов это образ соответствующего отображения, ранг матрицы равен размерности образа. Например, для отображения заданного матрицей выше отображает в некоторое трёхмерное подпространство.

Размерность ядра матрицы равна числу столбцов, которые не содержат ведущих элементов[6]. Ранг и размерность ядра матрицы c столбцами связаны уравнением:

Связь с коядром[править | править код]

Коядро (левый аннулятор) матрицы это множество векторов таких что . Коядро матрицы совпадает с ядром . Произведение на может быть записано в виде скалярных произведений векторов

Потому что строки являются транспонированными столбцами матрицы . Поэтому тогда и только тогда когда ортогонален ко всем столбцам .

Отсюда следует, что коядро (ядро ) — это ортогональное дополнение к пространству столбцов .

Для матрицы над кольцами[править | править код]

Аналогичным образом пространство столбцов (иногда с уточнением как правое пространство столбцов) может быть определено для матриц над кольцом как:

Где . Координатное пространство при этом меняется на правый свободный модуль, что также меняет порядок в умножении на скаляр вектора на скаляр таким образом, что они записываются в порядке вектор-скаляр[7].

См. также[править | править код]

Примечания[править | править код]

  1. Линейная алгебра — очень хорошо изученная математическая дисциплина с огромным числом источников. Почти все материалы из этой статьи могут быть найдены в Lay (2005), Meyer (2001), и Strang (2005).
  2. Anton (1987, p. 179)
  3. Anton (1987, p. 183)
  4. Beauregard & Fraleigh (1973, p. 254)
  5. В указанных вычислениях используется метод Метод Гаусса — Жордана. Каждый из изображенных шагов включает несколько элементарных преобразований строк.
  6. Столбцы без ведущих элементов представляют свободные уравнения в соответствующей однородной системе линейных уравнений.
  7. Это важно только если не коммутативно. В действительности такая форма это не более чем результат умножения матрицы на столбец , в котором порядок множителей сохранён, в отличие от формулы выше.

Литература[править | править код]

Ссылки[править | править код]



This page is based on a Wikipedia article written by contributors (read/edit).
Text is available under the CC BY-SA 4.0 license; additional terms may apply.
Images, videos and audio are available under their respective licenses.

Destek