Полярная система координат

Поля́рная систе́ма координа́т (лат. polus — полюс, от др.-греч. πόλος — полюс, ось^[1]) — система координат на плоскости, определяющаяся двумя полярными координатами ${\displaystyle \rho }$ и ${\displaystyle \varphi }$, которые связаны с декартовыми прямоугольными координатами ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle y}$ следующими выражениями:

${\displaystyle x=\rho \cos \varphi ,\quad }$ ${\displaystyle y=\rho \sin \varphi ,}$

где ${\displaystyle \quad 0\leqslant \rho <+\infty ,\quad }$ ${\displaystyle 0\leqslant \varphi <2\pi }$^[2][3].

Такие ограничения на значения полярных координат ставятся для того, чтобы соответствие между точками плоскости, отличными от полюса, и парами полярных координат ${\displaystyle (\rho ,\varphi )}$ получилось взаимно однозначным^[4].

Полярные координаты — координаты произвольной точки ${\displaystyle M}$ плоскости в выбранной полярной системе координат в виде следующих двух чисел: полярный радиус ${\displaystyle \rho }$, — расстояние от полюса ${\displaystyle O}$ до точки ${\displaystyle M}$; полярный угол ${\displaystyle \varphi }$, — угол, на который поворачивается полярная ось ${\displaystyle OX}$ до совмещения с точкой ${\displaystyle M}$^{[5][6][7][8][9][3][2][10][11]}.

В этих определениях предполагается, что полюс ${\displaystyle O}$ и точка ${\displaystyle M}$ не совпадают. Полюс ${\displaystyle O}$ находится на особом положении: его полярный радиус ${\displaystyle \rho }$ полагается равным нулю, а полярный угол ${\displaystyle \varphi }$ — неопределённым, то есть ему можно приписать любое значение (иногда приписывают значение ${\displaystyle \varphi =0}$^[10])^{[12][6][7][8][9][3][2][10]}.

Полярная система координат ортогональна^[2]. Ортогональные координатные линии^[англ.] полярной системы координат суть концентрические окружности при ${\displaystyle \rho ={\text{const}}}$ и лучи при ${\displaystyle \varphi ={\text{const}}}$^[3][2][10].

Полярная система координат особенно проста и полезна в случаях, когда отношения между точками проще изобразить в виде радиусов и углов, тогда как в более распространённой декартовой системе координат такие отношения можно установить только путём применения тригонометрических уравнений^[13].

Примеры неоднозначности координат. Как полярные координаты ${\displaystyle \rho =3}$, ${\displaystyle \varphi =-{\frac {\pi }{2}}}$, так и ${\displaystyle \rho =3}$, ${\displaystyle \varphi ={\frac {3\pi }{2}}}$ задают одну и ту же точку плоскости. Как полярные координаты ${\displaystyle \rho =1}$, ${\displaystyle \varphi =0}$, так и ${\displaystyle \rho =1}$, ${\displaystyle \varphi =2\pi }$ и ${\displaystyle \rho =1}$, ${\displaystyle \varphi =-2\pi }$ задают также одну и ту же точку плоскости (см. рисунок справа с этими точками ${\displaystyle N}$ и ${\displaystyle A}$)^[5].

Часто требуется в ущерб однозначности поддерживать непрерывное изменение полярных координат точек (например, у уравнениях, описывающих кривые на плоскости). Тогда отказываются от приведённых ограничений для ${\displaystyle \rho }$ и ${\displaystyle \varphi }$. Закон изменения значений полярных координат ${\displaystyle \rho }$ и ${\displaystyle \varphi }$ выясняется в каждом конкретном случае. Обычно в качестве полярного угла берут величину ${\displaystyle \varphi +k\pi }$, где ${\displaystyle k}$ — произвольное целое число, а полярному радиусу приписывают знак плюс или минус, смотря по ситуации (имеется более подробное описание^[12])^[4][9].

Обобщённая полярная система координат — система координат на плоскости, определяющаяся двумя обобщёнными полярными координатами ${\displaystyle r}$ и ${\displaystyle \psi }$, которые связаны с декартовыми прямоугольными координатами ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle y}$ следующими выражениями^[2][3]:

${\displaystyle x=ar\cos \psi ,\quad }$ ${\displaystyle y=br\sin \psi ,}$

где ${\displaystyle \quad 0\leqslant r<+\infty ,\quad }$ ${\displaystyle 0\leqslant \psi <2\pi ,\quad }$ ${\displaystyle a,b>0,\quad }$ ${\displaystyle a\neq b}$.

Координатные линии обобщённой полярной системы координат суть эллипсы при ${\displaystyle r={\text{const}}}$ и лучи при ${\displaystyle \psi ={\text{const}}}$^[2][3].

Полярную систему координат в трёхмерном пространстве представляют цилиндрическая система координат и сферическая система координат^[3].

Понятие угла и радиуса были известны ещё в первом тысячелетии до нашей эры. Греческий астроном Гиппарх (190—120 до н. э.) создал таблицу, в которой для разных углов приводились длины хорд. Существуют свидетельства применения им полярных координат для определения положения небесных тел^[14]. Архимед в своём сочинении «Спирали» описывает так называемую спираль Архимеда, функцию, радиус которой зависит от угла. Работы греческих исследователей, однако, не развились в целостное определение системы координат.

В IX веке персидский математик Хаббаш аль-Хасиб (аль-Марвази́) применял методы картографических проекций и сферической тригонометрии для преобразования полярных координат в другую систему координат с центром в некоторой точке на сфере, в этом случае, для определения Киблы — направления на Мекку^[15]. Персидский астроном Абу Райхан Бируни (973—1048) выдвинул идеи, которые выглядят как описание полярной системы координат. Он был первым, кто, примерно в 1025 году, описал полярную экви-азимутальную равнопромежуточную проекцию небесной сферы^[16].

Существуют разные версии о введении полярных координат в качестве формальной системы координат. Полная история возникновения и исследования описана в работе профессора из Гарварда Джулиан Лоувел Кулидж «Происхождение полярных координат»^[17]. Грегуар де Сен-Венсан и Бонавентура Кавальери независимо друг от друга пришли к похожей концепции в середине XVII века. Сен-Венсан описал полярную систему в личных заметках в 1625 году, напечатав свои труды в 1647; а Кавальери напечатал свои труды в 1635 году, и исправленную версию в 1653 году. Кавальери применял полярные координаты для вычисления площади, ограниченной спиралью Архимеда. Блез Паскаль впоследствии использовал полярные координаты для вычисления длин параболических дуг.

В книге «Метод флюксий» (англ. Method of Fluxions, написана в 1671 году, напечатана в 1736 году) сэр Исаак Ньютон исследовал преобразование между полярными координатами, которые он обозначал как «Седьмой способ; Для спиралей» («англ. Seventh Manner; For Spirals»), и девятью другими системами координат^[18]. В статье, опубликованной в 1691 году в журнале Acta eruditorum, Якоб Бернулли использовал систему с точкой на прямой, которые он назвал полюсом и полярной осью соответственно. Координаты задавались как расстояние от полюса и угол от полярной оси. Работа Бернулли была посвящена проблеме нахождения радиуса кривизны кривых, определённых в этой системе координат.

Введение термина «полярные координаты» приписывают Грегорио Фонтана. В XVIII веке он входил в лексикон итальянских авторов. В английский язык термин попал через перевод трактата Сильвестра Лакруа «Дифференциальное и интегральное исчисление», выполненного в 1816 году Джорджем Пикоком^[19][20] Для трёхмерного пространства полярные координаты впервые предложил Алекси Клеро, а Леонард Эйлер был первым, кто разработал соответствующую систему^[17].

Поля́рная систе́ма координа́т (лат. polus — полюс, от др.-греч. πόλος — полюс, ось^[1]) — система координат на плоскости, которую определяют следующие пять объектов (см. рисунок справа с этими объектами)^{[5][21][7][8][10][9]}:

• масштаб, то есть единица измерения длины;
• единица измерения плоских углов (обычно радиан)^[5];
• ориентация плоскости, то есть направление её вращения, которое выбрано положительным (обычно против часовой стрелки^[8][10]);
• фиксированная точка плоскости ${\displaystyle O}$. Эта точка называется началом, или полюсом, системы координат;
• луч ${\displaystyle OX}$, исходящий из точки ${\displaystyle O}$ и от неё направленный (обычно горизонтальный^[10]). Этот луч называется полярной осью.

Полярные координаты — координаты произвольной точки ${\displaystyle M}$ плоскости в выбранной полярной системе координат в виде следующих двух чисел^{[5][6][7][8][9][3][2][10]}:

• первая полярная координата, или полярный радиус ${\displaystyle \rho }$, — расстояние от полюса ${\displaystyle O}$ до точки ${\displaystyle M}$;
• вторая полярная координата, или полярный угол ${\displaystyle \varphi }$, — угол, на который поворачивается полярная ось до совмещения с точкой ${\displaystyle M}$.

Точка ${\displaystyle M}$, имеющая полярные координаты, обозначаемые греческими буквами ${\displaystyle \rho }$ и ${\displaystyle \varphi }$, записываетсчя символом ${\displaystyle M(\rho ,\varphi )}$ (иногда ${\displaystyle M\langle \varphi ,r\rangle }$)^[7][22].

В этих определениях предполагается, что полюс ${\displaystyle O}$ и точка ${\displaystyle M}$ не совпадают. Полюс ${\displaystyle O}$ находится на особом положении: его полярный радиус ${\displaystyle \rho }$ полагается равным нулю, а полярный угол ${\displaystyle \varphi }$ — неопределённым, то есть ему можно приписать любое значение (иногда приписывают значение ${\displaystyle \varphi =0}$^[10])^{[12][6][7][8][9][3][2][10]}.

Раньше первой полярной координатой могли называть полярный угол ${\displaystyle \varphi }$, а второй — полярный радиус ${\displaystyle \rho }$^[6]. Полярный радиус также могут обозначать латинской буквой ${\displaystyle r}$^[6], а полярный угол ${\displaystyle \varphi }$ могут называть амплитудой, или фазой, и обозначать ${\displaystyle \theta }$^[6][8][9].

Полярная система координат ортогональна^[2]. Ортогональные координатные линии^[англ.] полярной системы координат суть концентрические окружности при ${\displaystyle \rho ={\text{const}}}$ и лучи при ${\displaystyle \varphi ={\text{const}}}$^[3][2][10].

Полярная система координат особенно проста и полезна в случаях, когда отношения между точками проще изобразить в виде радиусов и углов, тогда как в более распространённой декартовой системе координат такие отношения можно установить только путём применения тригонометрических уравнений^[13].

Примеры неоднозначности координат. Как полярные координаты ${\displaystyle \rho =3}$, ${\displaystyle \varphi =-{\frac {\pi }{2}}}$, так и ${\displaystyle \rho =3}$, ${\displaystyle \varphi ={\frac {3\pi }{2}}}$ задают одну и ту же точку плоскости ${\displaystyle N}$. Как полярные координаты ${\displaystyle \rho =1}$, ${\displaystyle \varphi =0}$, так и ${\displaystyle \rho =1}$, ${\displaystyle \varphi =2\pi }$ и ${\displaystyle \rho =1}$, ${\displaystyle \varphi =-2\pi }$ задают также одну и ту же точку плоскости ${\displaystyle A}$ (см. рисунок справа с этими точками)^[5].

Каждой паре значений полярных координат ${\displaystyle \rho }$ и ${\displaystyle \varphi }$ соответствует только одна точка плоскости, но одной и той же точке плоскости ${\displaystyle M}$ соответствует бесконечное множество значений полярного угла ${\displaystyle \varphi }$, отличающихся друг от друга на число, кратное ${\displaystyle 2\pi }$ (см. пример 1)^[5].

Как правило, полагают, что значения полярных координат ${\displaystyle \rho }$ и ${\displaystyle \varphi }$ точек плоскости, отличных от полюса, лежат в следующих границах^{[4][9][3][10]}:

${\displaystyle 0<\rho <+\infty ,\quad }$ ${\displaystyle 0\leqslant \varphi <2\pi }$

(иногда ${\displaystyle \quad 0<\rho <+\infty ,\quad }$ ${\displaystyle -\pi <\varphi \leqslant \pi }$^[5][8][10]).

Такие ограничения на значения полярных координат ставятся для того, чтобы соответствие между точками плоскости, отличными от полюса, и парами полярных координат ${\displaystyle (\rho ,\varphi )}$ получилось взаимно однозначным^[4].

Главное значение полярного угла — значение полярного угла ${\displaystyle \varphi }$, при котором получается взаимно-однозначное соответствие между точками плоскости, отличными от полюса, и парами полярных координат. Как правило, это значения ${\displaystyle 0\leqslant \varphi <2\pi }$ (иногда используются значения ${\displaystyle -\pi <\varphi \leqslant \pi }$)^[5][8][10].

Примеры главных значений полярных углов. Точке плоскости ${\displaystyle N}$ из предыдущего примера отвечают полярные координаты ${\displaystyle \rho =3}$, ${\displaystyle \varphi ={\frac {3\pi }{2}}+2k\pi }$, где ${\displaystyle k}$ есть целое число, при этом главное значение полярного угла ${\displaystyle {\frac {3\pi }{2}}}$. Точке плоскости ${\displaystyle A}$ из примера 1 отвечают полярные координаты ${\displaystyle \rho =1}$, ${\displaystyle \varphi =2k\pi }$, при этом главное значение полярного угла ${\displaystyle \varphi =0}$^[12].

Часто требуется в ущерб однозначности поддерживать непрерывное изменение полярных координат точек (например, у уравнениях, описывающих кривые на плоскости). Тогда отказываются от приведённых ограничений для ${\displaystyle \rho }$ и ${\displaystyle \varphi }$. Закон изменения значений полярных координат ${\displaystyle \rho }$ и ${\displaystyle \varphi }$ выясняется в каждом конкретном случае. Например (имеется более подробное описание^[12])^[4][9]:

• при вращении некоторой точки по окружности в обе стороны (когда ${\displaystyle \rho ={\text{const}}}$) естественно считать, что полярный угол этой точки может принимать значения, большие ${\displaystyle 2\pi }$ или меньшие нуля;
• при движении точки по прямой, проходящей через полюс (когда ${\displaystyle \varphi ={\text{const}}}$), естественно считать, что при переходе через полюс полярный радиус точки меняет знак.

Обобщённая полярная система координат — система координат на плоскости, определяющаяся двумя обобщёнными полярными координатами ${\displaystyle r}$ и ${\displaystyle \psi }$, которые связаны с декартовыми прямоугольными координатами ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle y}$ следующими выражениями^[2][3]:

${\displaystyle x=ar\cos \psi ,\quad }$ ${\displaystyle y=br\sin \psi ,}$

где ${\displaystyle \quad 0\leqslant r<+\infty ,\quad }$ ${\displaystyle 0\leqslant \psi <2\pi ,\quad }$ ${\displaystyle a,b>0,\quad }$ ${\displaystyle a\neq b}$.

Координатные линии обобщённой полярной системы координат суть эллипсы при ${\displaystyle r={\text{const}}}$ и лучи при ${\displaystyle \psi ={\text{const}}}$^[2][3].

Полярную систему координат в трёхмерном пространстве представляют цилиндрическая система координат и сферическая система координат^[3].

Иногда приходится одновременно использовать и полярную и декартову системы координат. в такой ситуации появляются две задачи: по полярным координата некоторой точки определить её декартовы координаты, и наоборот. Решим эти две задачи в частном случае, когда полярная и декартова системы координат связаны определённым образом^[23].

Если на плоскости задана некоторая полярная система координат, то тем самым задана и следующая строго определённая декартова система координат, и наоборот^[24].

Декартова система координат, определённая данной полярной — система координат, определённая следующим образом^[25][4]:

• масштаб декартовой системы равен масштабу полярной;
• начало декартовой системы ${\displaystyle O}$ совпадает с началом полярной ${\displaystyle O}$;
• положительная полуось абсцисс ${\displaystyle OX}$ декартовой системы совпадает с полярной осью ${\displaystyle OX}$;
• ориентация декартовой системы совпадает с ориентацией полярной;
• ось ординат ${\displaystyle OY}$ декартовой системы совпадает с её осью абсцисс ${\displaystyle OX}$, повёрнутой на угол ${\displaystyle \varphi ={\frac {\pi }{2}}}$ в положительном направлении.

Полярная система координат, определённая данной декартовой — система координат, определённая следующим образом^[26][23]:

• масштаб полярной системы равен масштабу декартовой;
• начало полярной системы ${\displaystyle O}$ совпадает с началом декартовой ${\displaystyle O}$;
• полярная ось ${\displaystyle OX}$ совпадает с положительной полуосью абсцисс ${\displaystyle OX}$ декартовой системы;
• ориентация полярной системы совпадает с ориентацией декартовой;
• полярная ось ${\displaystyle OX}$, повёрнутая на угол ${\displaystyle \varphi ={\frac {\pi }{2}}}$ в положительном направлении, совпадает с положительной полуосью ординат ${\displaystyle OY}$ декартовой системы.

Если для данной декартовой системы координат построить определённую ею полярную, а потом для этой полярной системы координат построить определённую ею декартову, то получится исходная декартова система координат. И наоборот^[26].

В итоге получаем следующую теорему^[26].

Теорема соответствия систем координат. Каждой декартовой системы координат соответствует строго определённая полярная, и наоборот^[26].

В случае положительного полярного радиуса ${\displaystyle \rho \geqslant 0}$ очень легко доказывается^[23] следующая достаточно очевидная теорема^[26][4].

Теорема представления декартовых координат. Формулы, выражающие декартовы координаты через полярные, имеют следующий вид^[23][26][4]:

${\displaystyle x=\rho \cos \varphi ,\quad }$ ${\displaystyle y=\rho \sin \varphi .}$

Следующую теорему можно легко доказать непосредственно или вывести её из предыдущей теоремы^[23].

Теорема представления полярных координат. Формулы, выражающие полярные координаты через декартовы, имеют следующий вид^[27]:

${\displaystyle \rho ={\sqrt {x^{2}+y^{2}}},}$

${\displaystyle \cos \varphi ={\frac {x}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}},\quad }$ ${\displaystyle \sin \varphi ={\frac {y}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}},}$

${\displaystyle \operatorname {tg} \varphi ={\frac {y}{x}}.}$

Следует иметь ввиду, что одной формулы ${\displaystyle \operatorname {tg} \varphi ={\frac {y}{x}}}$ или только одной из формул ${\displaystyle \cos \varphi ={\frac {x}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}}$, ${\displaystyle \sin \varphi ={\frac {y}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}}$ недостаточно для правильного определения полярного угла ${\displaystyle \varphi }$, что подтверждает следующая задача^[27].

Задача вычисления полярных координат. Пусть декартовы координаты точки ${\displaystyle M}$ плоскости равны ${\displaystyle x=2}$, ${\displaystyle y=-2}$. Вычислит полярные координаты этой точки^[27].

Решение. 1. Сразу получаем: ${\displaystyle \rho ={\sqrt {2^{2}+(-2)^{2}}}=2{\sqrt {2}}}$, ${\displaystyle \operatorname {tg} \varphi ={\frac {-2}{2}}=-1}$. Следовательно, либо ${\displaystyle \varphi ={\frac {3\pi }{4}}+2k\pi }$, либо ${\displaystyle \varphi ={\frac {7\pi }{4}}+2k\pi }$. Но поскольку данная точка лежит в четвёртой четверти, то верно только второе значение, и главное значение полярного угла ${\displaystyle \varphi }$ равно ${\displaystyle {\frac {7\pi }{4}}}$^[27].

2. Используем другую формулу: ${\displaystyle \cos \varphi ={\frac {2}{2{\sqrt {2}}}}={\frac {\sqrt {2}}{2}}}$. Следовательно, либо ${\displaystyle \varphi ={\frac {\pi }{4}}+2k\pi }$, либо ${\displaystyle \varphi ={\frac {7\pi }{4}}+2k\pi }$. Но поскольку данная точка лежит в четвёртой четверти, то верно только второе значение. Получили то же самое, что и раньше^[28].

Определим главное значение полярного угла ${\displaystyle \varphi }$ произвольной точки ${\displaystyle M(\rho ,\varphi )}$ плоскости по её декартовым координатам ${\displaystyle (x,y)}$, используя квадрант точки М и формулу ${\displaystyle \operatorname {tg} \varphi ={\frac {y}{x}}}$^[4][29]:

• для главного значения полярного угла в полуинтервале ${\displaystyle [0,2\pi )}$ имеем следующие формулы:

${\displaystyle \rho >0,\quad }$ ${\displaystyle 0\leqslant \varphi <2\pi ,}$

${\displaystyle \varphi ={\begin{cases}\operatorname {arctg} {\displaystyle {\frac {y}{x}}},&x>0,y\geqslant 0;\\\operatorname {arctg} {\displaystyle {\frac {y}{x}}}+2\pi ,&x>0,y<0;\\\operatorname {arctg} {\displaystyle {\frac {y}{x}}}+\pi ,&x<0;\\{\displaystyle {\frac {\pi }{2}}},&x=0,y>0;\\{\displaystyle {\frac {3\pi }{2}}},&x=0,y<0;\end{cases}}}$

• для главного значения полярного угла в полуинтервале ${\displaystyle (-\pi ,\;\pi ]}$ имеем следующие формулы:

${\displaystyle \rho >0,\quad }$ ${\displaystyle -\pi <\varphi \leqslant \pi ,}$

${\displaystyle \varphi ={\begin{cases}\operatorname {arctg} {\displaystyle {\frac {y}{x}}},&x>0;\\\operatorname {arctg} {\displaystyle {\frac {y}{x}}}+\pi ,&x<0,y\geqslant 0;\\\operatorname {arctg} {\displaystyle {\frac {y}{x}}}-\pi ,&x<0,y<0;\\{\displaystyle {\frac {\pi }{2}}},&x=0,y>0;\\-{\displaystyle {\frac {\pi }{2}}},&x=0,y<0.\end{cases}}}$

Учитывая, что для вычисления полярного угла недостаточно знать отношение ${\displaystyle y}$ к ${\displaystyle x}$, а ещё нужны знаки одного из этих чисел, многие из современных языков программирования имеют среди своих функций? помимо функции обычного арктангенса, ещё и дополнительную функцию арктангенса с двумя аргументами для числителя и знаменателя. Например, в системе компьютерной алгебры Mathematica язык программирования Wolfram поддерживает функцию ArcTan, которую можно использовать как с одним аргументом, так и с двумя^[30].

Пусть полярный радиус может принимать любые вещественные значения. Тогда формулы перехода между полярными и декартовыми координатами принимают другой вид (три формулы остаются прежними, три формулы изменяются):

${\displaystyle x=\rho \cos \varphi ,\quad }$ ${\displaystyle y=\rho \sin \varphi .}$

${\displaystyle \rho =\pm {\sqrt {x^{2}+y^{2}}},}$

${\displaystyle \cos \varphi ={\frac {x}{\pm {\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}},\quad }$ ${\displaystyle \sin \varphi ={\frac {y}{\pm {\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}},}$

${\displaystyle \operatorname {tg} \varphi ={\frac {y}{x}},}$

причём для конкретной точки на плоскости в знаке плюс-минус берётся либо только плюс, либо только минус^[27].

Определим главное значение полярного угла ${\displaystyle \varphi }$ произвольной точки ${\displaystyle M(\rho ,\varphi )}$ плоскости по её декартовым координатам ${\displaystyle (x,y)}$ при ${\displaystyle \rho <0}$, используя квадрант точки М и формулу ${\displaystyle \operatorname {tg} \varphi ={\frac {y}{x}}}$^[4][29]:

• для главного значения полярного угла в полуинтервале ${\displaystyle [0,2\pi )}$ имеем следующие формулы:

${\displaystyle \rho <0,\quad }$ ${\displaystyle 0\leqslant \varphi <2\pi ,}$

${\displaystyle \varphi ={\begin{cases}\operatorname {arctg} {\displaystyle {\frac {y}{x}}}+\pi ,&x>0;\\\operatorname {arctg} {\displaystyle {\frac {y}{x}}}+2\pi ,&x<0,y\geqslant 0;\\\operatorname {arctg} {\displaystyle {\frac {y}{x}}}+\pi ,&x<0,y<0;\\{\displaystyle {\frac {3\pi }{2}}},&x=0,y>0;\\{\displaystyle {\frac {\pi }{2}}},&x=0,y<0;\end{cases}}}$

• для главного значения полярного угла в полуинтервале ${\displaystyle (-\pi ,\;\pi ]}$ имеем следующие формулы:

${\displaystyle \rho <0,\quad }$ ${\displaystyle -\pi <\varphi \leqslant \pi ,}$

${\displaystyle \varphi ={\begin{cases}\operatorname {arctg} {\displaystyle {\frac {y}{x}}}-\pi ,&x>0,y\geqslant ;\\\operatorname {arctg} {\displaystyle {\frac {y}{x}}}+\pi ,&x>0,y<0;\\\operatorname {arctg} {\displaystyle {\frac {y}{x}}},&x<0;\\-{\displaystyle {\frac {\pi }{2}}},&x=0,y>0;\\{\displaystyle {\frac {\pi }{2}}},&x=0,y<0.\end{cases}}}$

Формулы перехода от полярной системы координат к декартовой позволяют сформулировать более простое определение полярной системы координат^{[2][3][31][32]}.

Поля́рная систе́ма координа́т — система координат на плоскости, определяющаяся двумя полярными координатами ${\displaystyle \rho }$ и ${\displaystyle \varphi }$, которые связаны с декартовыми прямоугольными координатами ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle y}$ следующими выражениями:

${\displaystyle x=\rho \cos \varphi ,\quad }$ ${\displaystyle y=\rho \sin \varphi ,}$

где ${\displaystyle \quad 0\leqslant \rho <+\infty ,\quad }$ ${\displaystyle 0\leqslant \varphi <2\pi }$^[2][3].

Такое определение даёт возможность ввести следующее понятие обобщённой полярной системы координат^[2][3].

Обобщённая полярная система координат — система координат на плоскости, определяющаяся двумя обобщёнными полярными координатами ${\displaystyle r}$ и ${\displaystyle \psi }$, которые связаны с декартовыми прямоугольными координатами ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle y}$ следующими выражениями^[2][3]:

${\displaystyle x=ar\cos \psi ,\quad }$ ${\displaystyle y=br\sin \psi ,}$

где ${\displaystyle \quad 0\leqslant r<+\infty ,\quad }$ ${\displaystyle 0\leqslant \psi <2\pi ,\quad }$ ${\displaystyle a,b>0,\quad }$ ${\displaystyle a\neq b}$.

Координатные линии обобщённой полярной системы координат суть эллипсы при ${\displaystyle r={\text{const}}}$ и лучи при ${\displaystyle \psi ={\text{const}}}$^[2][3].

Окружность, проходящая через полюс — окружность, на которой находится полюс ${\displaystyle O}$ полярной системы координат. Использование такой окружности достаточно распространено в геометрии, например, на её уравнении основан вывод уравнений улитки Паскаля и кардиоиды. В декартовой системе координат ${\displaystyle XOY}$ уравнение такой окружности радиуса ${\displaystyle R}$ легко получается по теореме Пифагора (см. рисунок справа с прямоугольным треугольником ${\displaystyle CMP}$):

${\displaystyle (x-R)^{2}+y^{2}=R^{2}}$,

причём центр ${\displaystyle C}$ окружности находится на положительной полуоси ${\displaystyle OX}$^[28].

С помощью формул

${\displaystyle x=\rho \cos \varphi ,\quad }$ ${\displaystyle \rho ={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}$

легко вычисляется уравнение этой окружности в полярной системе координат с полюсом ${\displaystyle O}$ и полярной осью ${\displaystyle OX}$^[28]:

${\displaystyle \rho ^{2}-2R\rho \cos \varphi =0}$.

Полученное уравнение окружности распадается на два уравнения^[28]:

${\displaystyle \rho =0}$;

${\displaystyle \rho -2R\cos \varphi =0}$.

Первое уравнение есть уравнение полюса ${\displaystyle O}$. Второе уравнение есть уравнение всей окружности, при этом полюс ${\displaystyle O}$ получается при ${\displaystyle \varphi ={\frac {\pi }{2}}}$ и ${\displaystyle \varphi =-{\frac {\pi }{2}}}$. Следовательно, первое уравнение можно отбросить, окончательно получаем уравнение такой окружности в полярной системе координат^[28]:

${\displaystyle \rho =2R\cos \varphi }$.

Это уравнение можно получить непосредственно, без привлечения декартовой системы координат, по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника ${\displaystyle MOK}$ (см. рисунок справа вверху с этим треугольником)^[28].

Приведём уравнения окружности, проходящей через полюс, соответственно в декартовой и полярной системах координат с центром окружности, находящимся^[33]:

• на положительной полуоси ${\displaystyle OY}$:

${\displaystyle x^{2}+(y-R)^{2}=R^{2}}$,

${\displaystyle \rho =2R\sin \varphi }$;

• на отрицательной полуоси ${\displaystyle OY}$:

${\displaystyle x^{2}+(y+R)^{2}=R^{2}}$,

${\displaystyle \rho =-2R\sin \varphi }$;

• на отрицательной полуоси ${\displaystyle OX}$:

${\displaystyle (x+R)^{2}+y^{2}=R^{2}}$,

${\displaystyle \rho =-2R\cos \varphi }$.

Рассмотрим следующее уравнение окружности, проходящей через полюс:

${\displaystyle (x-R)^{2}+y^{2}=R^{2}}$,

когда центр окружности находится на положительной полуоси ${\displaystyle OX}$ (см. рисунок справа с такой окружностью). Если использовать только неотрицательные значения полярного радиуса ${\displaystyle \rho }$ и не вводить отрицательных, то в этом уравнении угол ${\displaystyle \varphi }$ можно использовать только в первой и четвёртой четвертях, а во второй и третьей — нельзя, поскольку, например, при ${\displaystyle \varphi ={\frac {3\pi }{4}}}$ из уравнения следует ${\displaystyle \rho =-R{\sqrt {2}}}$. Это вытекает из того, что луч ${\displaystyle ON}$ и окружность имеют только одну общую точку: полюс^[28].

Но в том случае, когда используются отрицательные значения полярного радиуса ${\displaystyle \rho }$, то как раз полярные координаты

${\displaystyle \rho =-R{\sqrt {2}},\quad }$ ${\displaystyle \varphi ={\frac {3\pi }{4}}}$

и соответствуют точке ${\displaystyle L}$ на продолжении луча ${\displaystyle ON}$^[28].

Независимо от знаков декартовых координат частные производные функций перехода между полярными и декартовыми координатами

${\displaystyle x=\rho \cos \varphi ,\quad }$ ${\displaystyle y=\rho \sin \varphi ,}$

${\displaystyle \rho =\pm {\sqrt {x^{2}+y^{2}}},\quad }$ ${\displaystyle \varphi =\operatorname {arctg} {\frac {y}{x}}}$

имеют следующий очень простой вид, благодаря чему получаем удобные якобианы^[34]:

${\displaystyle \det {\frac {D(x,\,y)}{D(\rho ,\,\varphi )}}={\begin{vmatrix}{\dfrac {\partial x}{\partial \rho }}&{\dfrac {\partial x}{\partial \varphi }}\\{\dfrac {\partial y}{\partial \rho }}&{\dfrac {\partial y}{\partial \varphi }}\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}\cos(\varphi )&-\rho \sin(\varphi )\\\sin(\varphi )&\rho \cos(\varphi )\end{vmatrix}}=\rho }$;

${\displaystyle \det {\frac {D(\rho ,\;\varphi )}{D(x,\;y)}}={\begin{vmatrix}{\dfrac {\partial \rho }{\partial x}}&{\dfrac {\partial \rho }{\partial y}}\\{\dfrac {\partial \varphi }{\partial x}}&{\dfrac {\partial \varphi }{\partial y}}\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}\cos(\varphi )&\sin(\varphi )\\-{\dfrac {1}{\rho }}\sin(\varphi )&{\dfrac {1}{\rho }}\cos(\varphi )\end{vmatrix}}={\dfrac {1}{\rho }}}$.

Элемент длины в полярной системе координат определяется следующей формулой^[35]:

${\displaystyle dl={\sqrt {d\rho ^{2}+\rho ^{2}d\varphi ^{2}}}.}$

Вычислим элемент длины на плоскости в полярной системе координат. Пусть дана некоторая дуга и произвольную точку ${\displaystyle M}$ на ней (см. рисунок справа с толстой синей дугой). Проведём координатную окружность (с центром в начале координат ${\displaystyle O}$) радиуса ${\displaystyle OM=\rho }$. Рассмотрим криволинейный треугольник ${\displaystyle MKN}$, образованный дугой окружности ${\displaystyle {\stackrel {\smile }{MK}}=\rho \Delta \varphi }$, отрезком ${\displaystyle KN=\Delta \rho }$ и частью ${\displaystyle {\stackrel {\smile }{MN}}=\Delta l}$ исходной дуги, причём у этого треугольника угол при вершине ${\displaystyle K}$ прямой. Теорема Пифагора для такого криволинейного треугольника в точности не соблюдается, но когда дуга ${\displaystyle {\stackrel {\smile }{MN}}}$ бесконечно мала, сумма квадратов «катетов» эквивалентна квадрату «гипотенузы»:

${\displaystyle {\stackrel {\smile }{MN}}\approx {\sqrt {KN^{2}+{\stackrel {\smile }{KM}}\,\!^{2}}}}$,

то есть в других обозначениях

${\displaystyle \Delta l\approx {\sqrt {\Delta \rho ^{2}+\rho ^{2}\Delta \varphi ^{2}}}\approx {\sqrt {d\rho ^{2}+\rho ^{2}d\varphi ^{2}}}}$,

а эта формула и представляет элемент длины дуги ${\displaystyle l}$ в полярной системе координат^[35].

Дифференциал дуги в полярной системе координат можно вычислить, исходя из элемента длины в декартовой системе координат

${\displaystyle dl={\sqrt {dx^{2}+dy^{2}}}}$,

используя формулы, выражающие декартовы координаты через полярные^[36]:

${\displaystyle x=\rho \cos \varphi ,\quad }$ ${\displaystyle y=\rho \sin \varphi .}$

Действительно, вычислим дифференциалы координат

${\displaystyle dx=d(\rho \cos \varphi )=\cos \varphi \,d\rho -\rho \sin \varphi \,d\varphi }$,

${\displaystyle dy=d(\rho \sin \varphi )=\sin \varphi \,d\rho +\rho \cos \varphi \,d\varphi }$

и подставим эти равенства в элемент длины в декартовых координатах, получим^[36]:

${\displaystyle dl={\sqrt {(\cos \varphi \,d\rho -\rho \sin \varphi \,d\varphi )^{2}+(\sin \varphi \,d\rho +\rho \cos \varphi \,d\varphi )^{2}}}=}$

${\displaystyle {}={\sqrt {d\rho ^{2}+\rho ^{2}d\varphi ^{2}}}}$.

Коэффициенты Ламе^[2][3]:

${\displaystyle L_{\rho }=1,\quad }$ ${\displaystyle L_{\varphi }=\rho .}$

Элемент площади^[2][3]:

${\displaystyle ds=\rho d\rho d\varphi .}$

Градиенты^[37]:

${\displaystyle \operatorname {grad} _{\rho }f={\frac {\partial f}{\partial \rho }},\quad }$ ${\displaystyle \operatorname {grad} _{\varphi }f={\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial f}{\partial \varphi }}.}$

Дивергенция^[37]:

${\displaystyle \operatorname {div} a={\frac {1}{\rho }}a_{\rho }+{\frac {\partial a_{\rho }}{\partial \rho }}+{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial a_{\varphi }}{\partial \varphi }}.}$

Оператор Лапласа^[37][3]:

${\displaystyle \Delta f={\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial }{\partial \rho }}\left(\rho {\frac {\partial f}{\partial \rho }}\right)+{\frac {1}{\rho ^{2}}}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial \varphi ^{2}}}=}$

${\displaystyle {}={\frac {\partial ^{2}f}{\partial \rho ^{2}}}+{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial f}{\partial \rho }}+{\frac {1}{\rho ^{2}}}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial \varphi ^{2}}}.}$

Благодаря радиальной природе полярной системы координат, некоторые кривые могут быть достаточно просто описаны полярным уравнением, тогда как уравнение в прямоугольной системе координат было бы намного сложнее. Среди самых известных кривых: полярная роза, архимедова спираль, Лемниската, улитка Паскаля и кардиоида.

Общее уравнение окружности с центром в (${\displaystyle r_{0},\;\theta }$) и радиусом ${\displaystyle a}$ имеет вид:

${\displaystyle r^{2}-2rr_{0}\cos(\varphi -\theta )+r_{0}^{2}=a^{2}.}$

Это уравнение может быть упрощено для частных случаев, например

${\displaystyle r(\varphi )=a}$

является уравнением, определяющим окружность с центром в полюсе и радиусом ${\displaystyle a}$^[38].

Радиальные прямые (те, которые проходят через полюс) определяются уравнением

${\displaystyle \varphi =\theta }$,

где ${\displaystyle \theta }$ — угол, на который прямая отклоняется от полярной оси, то есть, ${\displaystyle \theta =\mathrm {arctg} \,m}$, где ${\displaystyle m}$ — наклон прямой в прямоугольной системе координат. Нерадиальная прямая, перпендикулярно пересекает радиальную прямую ${\displaystyle \varphi =\theta }$ в точке ${\displaystyle (r_{0},\;\theta )}$ определяется уравнением

${\displaystyle r(\varphi )=r_{0}\sec(\varphi -\theta ).}$

Полярная роза — известная математическая кривая, похожая на цветок с лепестками. Она может быть определена простым уравнением в полярных координатах:

${\displaystyle r(\varphi )=a\cos(k\varphi +\theta _{0})}$

для произвольной постоянной ${\displaystyle \theta _{0}}$ (включая 0). Если ${\displaystyle k}$ — целое число, то это уравнение будет определять розу с ${\displaystyle k}$ лепестками для нечётных ${\displaystyle k}$, либо с ${\displaystyle 2k}$ лепестками для чётных ${\displaystyle k}$. Если ${\displaystyle k}$ — рациональное, но не целое, график, заданный уравнением, образует фигуру, подобную розе, но лепестки будут перекрываться. Если ${\displaystyle k}$ — иррациональное, то роза состоит из бесконечного множества частично накладывающихся друг на друга лепестков. Розы с 2, 6, 10, 14 и т. д. лепестками этим уравнением определить невозможно. Переменная ${\displaystyle a}$ определяет длину лепестков.

Если считать, что радиус не может быть отрицательным, то при любом натуральном ${\displaystyle k}$ мы будем иметь ${\displaystyle k}$-лепестковую розу. Таким образом, уравнение ${\displaystyle r(\varphi )=\cos(2\varphi )}$ будет определять розу с двумя лепестками. С геометрической точки зрения радиус — это расстояние от полюса до точки и он не может быть отрицательным.

Архимедова спираль названа в честь её изобретателя, древнегреческого математика Архимеда. Эту спираль можно определить с помощью простого полярного уравнения:

${\displaystyle r(\varphi )=a+b\varphi .}$

Изменения параметра ${\displaystyle a}$ приводят к повороту спирали, а параметра ${\displaystyle b}$ — расстояния между витками, которое является константой для конкретной спирали. Спираль Архимеда имеет две ветви, одну для ${\displaystyle \varphi >0}$ а другую для ${\displaystyle \varphi <0}$. Две ветви плавно соединяются в полюсе. Зеркальное отображение одной ветви относительно прямой, проходящей через угол 90°/270°, даст другую ветвь. Эта кривая интересна тем, что была описана в математической литературе одной из первых, после конического сечения, и лучше других определяется именно полярным уравнением.

Коническое сечение, один из фокусов которого находится в полюсе, а другой — где-то на полярной оси, так, что ось лежит вдоль полярной оси, задаётся уравнением:

${\displaystyle r={\frac {\ell }{1-e\cos \varphi }},}$

где ${\displaystyle e}$ — эксцентриситет,

${\displaystyle \ell }$ — фокальный параметр — расстояние от фокуса до директрисы.

Если ${\displaystyle e>1}$ это уравнение определяет гиперболу; если ${\displaystyle e=1,}$ то параболу; если ${\displaystyle e<1,}$ то эллипс. Особым случаем является ${\displaystyle e=0}$, определяющим окружность с радиусом ${\displaystyle \ell }$.

Например, уравнение эллипса в полярных координатах, когда ось координат направлена по одной из осей эллипса и начало координат находится в одном из его фокусов будет:

${\displaystyle r(\varphi )={\frac {a(1-e^{2})}{1\pm e\cos \varphi }}={\frac {\ell }{1\pm e\cos \varphi }},}$

где ${\displaystyle a}$ — длина полуоси эллипса вдоль оси координат.

Знак в знаменателе последнего выражения отрицательный, если направление оси координат к центру эллипса и положительный если иначе.

Каждое комплексное число может быть представлено точкой на комплексной плоскости, и, соответственно, положение этой точки может задаваться любой системой координат, например, в декартовых координатах (прямоугольная или декартова форма), либо в полярных координатах (полярная форма).

Комплексное число ${\displaystyle z}$ может быть записано в прямоугольной форме так:

${\displaystyle z=x+iy,}$

где ${\displaystyle i}$ — мнимая единица,

или в полярной системе координат:

${\displaystyle z=r\cdot (\cos \varphi +i\sin \varphi ),}$

отсюда:

${\displaystyle z=re^{i\varphi }}$,

где ${\displaystyle e}$ — число Эйлера.

Согласно формуле Эйлера, оба представления эквивалентны^[39]. В этой формуле, как и в других формулах, где углы находятся в показателе степени, угол ${\displaystyle \varphi }$ всегда задан в радианах.

Для перехода между прямоугольным и полярным представлением комплексных чисел могут использоваться формулы преобразования между системами координат (см. формулы преобразования между системами координат выше).

Операции умножения, деления и возведения в степень комплексных чисел проще проводить в полярной форме. Согласно этим правилам:

• Умножение:

${\displaystyle r_{0}e^{i\varphi _{0}}\cdot r_{1}e^{i\varphi _{1}}=r_{0}r_{1}e^{i(\varphi _{0}+\varphi _{1})}.}$

• Деление:

${\displaystyle {\frac {r_{0}e^{i\varphi _{0}}}{r_{1}e^{i\varphi _{1}}}}={\frac {r_{0}}{r_{1}}}e^{i(\varphi _{0}-\varphi _{1})}.}$

• Возведение в степень (формула Муавра):

${\displaystyle (re^{i\varphi })^{n}=r^{n}e^{in\varphi }.}$

Операции математического анализа тоже можно сформулировать, используя полярные координаты^[40][41].

Справедливы следующие формулы:

${\displaystyle r{\frac {\partial }{\partial r}}=x{\frac {\partial }{\partial x}}+y{\frac {\partial }{\partial y}},}$

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial \varphi }}=-y{\frac {\partial }{\partial x}}+x{\frac {\partial }{\partial y}}.}$

Чтобы найти тангенс угла наклона касательной к любой данной точке полярной кривой ${\displaystyle r(\varphi )}$ в декартовых координатах, выразим их через систему уравнений в параметрическом виде:

${\displaystyle x=r(\varphi )\cos \varphi ,}$

${\displaystyle y=r(\varphi )\sin \varphi .}$

Дифференцируя оба уравнения по ${\displaystyle \varphi }$ получим:

${\displaystyle {\frac {dx}{d\varphi }}=r'(\varphi )\cos \varphi -r(\varphi )\sin \varphi ,}$

${\displaystyle {\frac {dy}{d\varphi }}=r'(\varphi )\sin \varphi +r(\varphi )\cos \varphi .}$

Разделив эти уравнения (второе на первое), получим искомый тангенс угла наклона касательной в декартовой системе координат в точке ${\displaystyle (r,\;r(\varphi ))}$:

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {r'(\varphi )\sin \varphi +r(\varphi )\cos \varphi }{r'(\varphi )\cos \varphi -r(\varphi )\sin \varphi }}.}$

Пусть ${\displaystyle R}$ — область, которая ограничена кривой, заданной в полярных координатах как ${\displaystyle r(\varphi )}$ и двумя лучами определяемыми как ${\displaystyle \varphi =a}$ и ${\displaystyle \varphi =b,}$ где ${\displaystyle 0<b-a<2\pi }$. Тогда площадь этой области равна определённому интегралу:

${\displaystyle {\frac {1}{2}}\int \limits _{a}^{b}[r(\varphi )]^{2}\,d\varphi .}$

Этот результат получен следующим образом. Разобьём интервал ${\displaystyle [a,\;b]}$ на произвольное число равных подынтервалов ${\displaystyle n}$. Тогда длина каждого подынтервала ${\displaystyle \Delta \varphi }$ равна ${\displaystyle b-a}$ (полная длина интервала) делённая на ${\displaystyle n}$ (число подынтервалов). Пусть для каждого подынтервала ${\displaystyle i=1,\;2,\;\ldots ,\;n}$ ${\displaystyle \varphi _{i}}$ — значение функкции в некоторой точке интервала. Построив секторы с центром в полюсе, радиусами ${\displaystyle r(\varphi _{i})}$, центральными углами ${\displaystyle \Delta \varphi }$ и длиной дуги ${\displaystyle r(\varphi _{i})\Delta \varphi }$. Площадь каждого такого сектора будет ${\displaystyle {\frac {1}{2}}r(\varphi _{i})^{2}\Delta \varphi }$. Отсюда, полная площадь всех секторов приближённо равна искомой площади фигуры:

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{2}}r(\varphi _{i})^{2}\,\Delta \varphi .}$

Если число подынтервалов ${\displaystyle n}$