Подмодуль

Подмодуль ― подмножество модуля, являющееся подгруппой его аддитивной группы и замкнутое относительно умножения на элементы основного кольца. В частности, левый (правый) идеал кольца ${\displaystyle R}$ является подмодулем левого (правого) ${\displaystyle R}$-модуля ${\displaystyle R}$.

Связанные определения[править | править код]

• Подмодуль, отличный от всего модуля, называется собственным.
• Подмодуль называется больши́м (или существенным), если он имеет ненулевое пересечение с любым другим ненулевым подмодулем.
  • Например, целые числа образуют большой подмодуль группы рациональных чисел.
• Каждый модуль является большим подмодулем своей инъективной оболочки.
• Подмодуль ${\displaystyle A}$ модуля ${\displaystyle B}$ называется малым (или косущественным), если для любого подмодуля ${\displaystyle A'\subset B}$ равенство ${\displaystyle A+A'=B}$ влечет ${\displaystyle A'=B}$.
  • Малым оказывается, например, всякий собственный подмодуль цепного модуля.

Свойства[править | править код]

• Множество подмодулей данного модуля, упорядоченное по включению, является полной дедекиндовой решёткой.
• Сумма всех малых подмодулей совпадает с пересечением всех максимальных подмодулей.
• Левый идеал ${\displaystyle I}$ принадлежит радикалу Джекобсона тогда и только тогда, когда ${\displaystyle IM}$ мал в ${\displaystyle M}$ для всякого конечно порождённого левого модуля ${\displaystyle M}$.
• Элементы малого подмодуля являются необразующими, то есть любая система образующих модуля остается таковой после удаления любого из этих элементов (это, конечно, не означает, что их можно удалить все сразу!).
• Радикал Джекобсона кольца эндоморфизмов модуля совпадает с множеством эндоморфизмов, имеющих малый образ.
• Если ${\displaystyle \phi }$ ― гомоморфизм модуля ${\displaystyle A}$ в модуль ${\displaystyle B}$, то множество
      ${\displaystyle \phi ^{-1}(0)\subset A}$
  оказывается подмодулем модуля ${\displaystyle A}$ и называется ядром гомоморфизма ${\displaystyle \phi }$.
  • Каждый подмодуль служит ядром некоторого гомоморфизма.

Литература[править | править код]

• Каш Ф. Модули и кольца, — пер. с нем., М., 1981;
• Фейс К. Алгебра: кольца, модули и категории, — пер. с англ., т. 1—2, М., 1977—79.

Это заготовка статьи по математике. Помогите Википедии, дополнив её.