Однородные мозаики на гиперболической плоскости
Из Википедии, бесплатной энциклопедии
| Сферическая | Евклидова | Гиперболические | |
|---|---|---|---|
 {5,3} 5.5.5     |  {6,3} 6.6.6  |  {7,3} 7.7.7  |  {∞,3} ∞.∞.∞  |
| Правильные мозаики на сфере {p,q}, евклидовой плоскости и гиперболической плоскости с гранями в виде правильных пятиугольников, шестиугольников, семиугольников и бесконечноугольников. | |||
 t{5,3} 10.10.3 |  t{6,3} 12.12.3 |  t{7,3} 14.14.3 |  t{∞,3} ∞.∞.3 |
| Усечённые мозаики имеют вершинные фигуры 2p.2p.q, полученные из правильных {p,q} | |||
 r{5,3} 3.5.3.5 |  r{6,3} 3.6.3.6 |  r{7,3} 3.7.3.7 |  r{∞,3} 3.∞.3.∞ |
| Квазиправильные мозаики подобны правильным мозаикам, но имеют два типа правильных многоугольников, поочерёдно следующих вокруг каждой вершины. | |||
 rr{5,3} 3.4.5.4 |  rr{6,3} 3.4.6.4 |  rr{7,3} 3.4.7.4 |  rr{∞,3} 3.4.∞.4 |
| Полуправильные мозаики имеют более одного типа правильных многоугольников. | |||
 tr{5,3} 4.6.10 |  tr{6,3} 4.6.12 |  tr{7,3} 4.6.14 |  tr{∞,3} 4.6.∞ |
| Всеусечённые мозаики имеют три и более правильных многоугольников с чётным числом сторон. | |||
В гиперболической геометрии однородная (правильная, квазиправильная или полуправильная) гиперболическая мозаика — это заполнение гиперболической плоскости правильными многоугольниками ребро-к-ребру со свойством вершинной транзитивности (это мозаика транзитивная относительно вершин, изогональная, т.е. существует движение, переводящее любую вершину в любую другую). Отсюда следует, что все вершины конгруэнтны и мозаика имеет высокую степень вращательной и трансляционной симметрии.
Однородные мозаики однозначно определяются их вершинной конфигурацией, последовательностью чисел, представляющих число сторон многоугольников вокруг каждой вершины. Например, 7.7.7 представляет семиугольную мозаику, имеющую 3 семиугольника вокруг каждой вершины. Она правильна, поскольку все многоугольники имеют один размер. Таким образом, её можно задать символом Шлефли {7,3}.
Однородные мозаики могут быть правильными (если они также транзитивны по граням и рёбрам), квазиправильными (если они рёберно транзитивны, но не транзитивны по граням) или полуправильными (если они не транзитивны ни по рёбрам, ни по граням). Для правильных треугольников (p q 2) существуют две правильные мозаики с символами Шлефли {p,q} и {q,p}.
Построение Витхоффа[править | править код]
Существует бесконечное число однородных мозаик, основанных на треугольниках Шварца (p q r), где 1/p + 1/q + 1/r < 1, где p, q, r являются порядками отражательной симметрии в трёх вершинах фундаментального треугольника – группа симметрии является гиперболической группой треугольника.
Каждое семейство симметрий содержит 7 однородных мозаик, определённых символом Витхоффа или диаграммой Коксетера — Дынкина, 7 комбинаций трёх активных зеркал. 8-я мозаика представляет операцию альтернации, удаления половины вершин из высшей формы активных зеркал.
Семейства с r = 2 содержат правильные гиперболические мозаики, определённые группами Коксетера, такими как [7,3], [8,3], [9,3], ... [5,4], [6,4], ....
Гиперболические семейства с r = 3 и выше задаются символами (p q r) и включают (4 3 3), (5 3 3), (6 3 3) ... (4 4 3), (5 4 3), ... (4 4 4)....
Гиперболические семейства (p q r) определяют компактные однородные гиперболические мозаики. В пределе любое из чисел p, q или r можно заменить символом ∞, что даёт паракомпактный гиперболический треугольник и создаёт однородные мозаики, имеющие либо бесконечные грани (назывемые апейрогонами или бесконечноугольниками), которые сходятся к одной воображаемой точке, либо бесконечные вершинные фигуры с бесконечным числом рёбер, исходящих из одной воображаемой точки.
Можно построить дополнительные семейства симметрий из фундаментальных областей, не являющихся треугольными.
Некоторые семейства однородных мозаик показаны ниже (с использованием модели Пуанкаре для гиперболической плоскости). Три из них – (7 3 2), (5 4 2) и (4 3 3) – и никакие другие, минимальны в том смысле, что если любое из определяющих чисел заменить на меньшее целое значение, получим либо евклидову, либо сферическую мозаику, а не гиперболическую. И обратно, любое из чисел можно увеличить (даже заменив на бесконечность), чтобы получить другой гиперболический узор.
Каждая однородная мозаика образует двойственную однородную мозаику, и многие из них приведены ниже также.
Прямоугольные фундаментальные треугольники[править | править код]
Существует бесконечно много семейств групп треугольника (p q 2). В статье показаны правильные мозаики вплоть до p, q = 8 и однородные мозаики 12 семейств: (7 3 2), (8 3 2), (5 4 2), (6 4 2), (7 4 2), (8 4 2), (5 5 2), (6 5 2) (6 6 2), (7 7 2), (8 6 2) и (8 8 2).
Правильные гиперболические мозаики[править | править код]
Простейшее множество гиперболических мозаик — правильные мозаики {p,q}. Правильная мозаика {p,q} имеет в качестве двойственной мозаику {q,p} (симметричны диагонали таблицы). Самодвойственные мозаики {3,3}, {4,4}, {5,5}, и т.д. располагаются на диагонали таблицы.
| Сферические (Платоновы)/Евклидовы/гиперболические (диск Пуанкаре: компактные/паракомпактные/некомпактные) замощения с их символами Шлефли | ||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| p \ q | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | ... | ∞ | ... | iπ/λ |
| 3 |  (тетраэдр) {3,3} |  (октаэдр) {3,4}  |  (икосаэдр) {3,5} |  (дельта-плитка) {3,6} |  {3,7} |  {3,8}  |  {3,∞} |  {3,iπ/λ}  | ||
| 4 |  (куб) {4,3} |  (кадриль) {4,4} |  {4,5} |  {4,6} |  {4,7} |  {4,8} |  {4,∞} | {4,iπ/λ} | ||
| 5 | (додекаэдр) {5,3} |  {5,4} |  {5,5} |  {5,6} |  {5,7} |  {5,8} |  {5,∞} | {5,iπ/λ} | ||
| 6 | (гексаплитка) {6,3} |  {6,4} |  {6,5} |  {6,6} |  {6,7} |  {6,8} |  {6,∞} | {6,iπ/λ} | ||
| 7 | {7,3} |  {7,4} |  {7,5} |  {7,6} |  {7,7} |  {7,8} |  {7,∞} | {7,iπ/λ} | ||
| 8 |  {8,3} |  {8,4} |  {8,5} |  {8,6} |  {8,7} |  {8,8} |  {8,∞} | {8,iπ/λ} | ||
| ... | ||||||||||
| ∞ | {∞,3} |  {∞,4} |  {∞,5} |  {∞,6} |  {∞,7} |  {∞,8} |  {∞,∞} | {∞,iπ/λ} | ||
| ... | ||||||||||
| iπ/λ |  {iπ/λ,3} | {iπ/λ,4} | {iπ/λ,5} | {iπ/λ,6} | {iπ/λ,7} | {iπ/λ,8} | {iπ/λ,∞} | {iπ/λ,iπ/λ} | ||
(7 3 2)[править | править код]
Группа треугольника (7 3 2), группа Коксетера [7,3], орбифолд (*732) содержат эти однородные мозаики.
| Однородные семиугольные/треугольные мозаики | ||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Симметрия: [7,3], (*732) | [7,3]+, (732) | |||||||||
| | | | | | | |  | |||
| | | |  |  | | |  | |||
| {7,3} | t{7,3} | r{7,3} | 2t{7,3}=t{3,7} | 2r{7,3}={3,7} | rr{7,3} | tr{7,3} | sr{7,3} | |||
| Однородные двойственные мозаики | ||||||||||
 | | | | | | |  | |||
| |  |  |  | |  |  |  | |||
| V73 | V3.14.14 | V3.7.3.7 | V6.6.7 | V37 | V3.4.7.4 | V4.6.14 | V3.3.3.3.7 | |||
(8 3 2)[править | править код]
Группа треугольника (8 3 2), группа Коксетера [8,3], орбифолд (*832) содержат эти однородные мозаики.
| Однородные восьмиугольные/треугольные мозаики | |||||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Симметрия: [8,3], (*832) | [8,3]+ (832) | [1+,8,3] (*443) | [8,3+] (3*4) | ||||||||||
| {8,3} | t{8,3} | r{8,3} | t{3,8} | {3,8} | rr{8,3} s2{3,8} | tr{8,3} | sr{8,3} | h{8,3} | h2{8,3} | s{3,8} | |||
| | | | | | | | | | |||||
    | | |   or  | or |  | ||||||||
| |  |   |   |  |  |  |  |   |  |   | |||
| Однородные двойственные | |||||||||||||
| V83 | V3.16.16 | V3.8.3.8 | V6.6.8 | V38 | V3.4.8.4 | V4.6.16 | V34.8 | V(3.4)3 | V8.6.6 | V35.4 | |||
| | | | | | | | | | | | |||
| |  |  |  | |  |  |  |  |  | ||||
(5 4 2)[править | править код]
Группа треугольника (5 4 2), группа Коксетера [5,4], орбифолд (*542) содержат эти однородные мозаики.
| Однородные пятиугольные/квадратные мозаики | |||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Симметрия: [5,4], (*542) | [5,4]+, (542) | [5+,4], (5*2) | [5,4,1+], (*552) | ||||||||
| | | | | | | | | | | ||
| |  |  |  |  |  |  |  |  |  | ||
| {5,4} | t{5,4} | r{5,4} | 2t{5,4}=t{4,5} | 2r{5,4}={4,5} | rr{5,4} | tr{5,4} | sr{5,4} | s{5,4} | h{4,5} | ||
| Однородные двойственные | |||||||||||
| | | | | | | | | | | ||
| |  |  |  | |  |  |  |  | |||
| V54 | V4.10.10 | V4.5.4.5 | V5.8.8 | V45 | V4.4.5.4 | V4.8.10 | V3.3.4.3.5 | V3.3.5.3.5 | V55 | ||
(6 4 2)[править | править код]
Группа треугольника (6 4 2), группа Коксетера [6,4], орбифолд (*642) содержат эти однородные мозаики. Поскольку все элементы чётны, из двух двойственных однородных мозаик одна представляет фундаментальную область зеркальной симметрии: *3333, *662, *3232, *443, *222222, *3222 и *642 соответственно. Все семь мозаик могут быть альтернированы и для полученных мозаик существуют двойственные.
| Однородные четырёхшестиугольные мозаики | |||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Симметрия: [6,4], (*642) ( [6,6] (*662), [(4,3,3)] (*443) , [∞,3,∞] (*3222) index 2 subsymmetries) (и [(∞,3,∞,3)] (*3232) подсимметрия) | |||||||||||
=    =  =  | =  | = =  = | = | =  = =  | = | | |||||
 |  |  |  |  |  |  | |||||
| {6,4} | t{6,4} | r{6,4} | t{4,6} | {4,6} | rr{6,4} | tr{6,4} | |||||
| Однородные двойственные duals | |||||||||||
| | | | | | | | |||||
 |  |  |  |  |  |  | |||||
| V64 | V4.12.12 | V(4.6)2 | V6.8.8 | V46 | V4.4.4.6 | V4.8.12 | |||||
| Альтернирования | |||||||||||
| [1+,6,4] (*443) | [6+,4] (6*2) | [6,1+,4] (*3222) | [6,4+] (4*3) | [6,4,1+] (*662) | [(6,4,2+)] (2*32) | [6,4]+ (642) | |||||
= | =  | =   | = | =  | =  | | |||||
 |  |  |  |  |  |  | |||||
| h{6,4} | s{6,4} | hr{6,4} | s{4,6} | h{4,6} | hrr{6,4} | sr{6,4} | |||||
(7 4 2)[править | править код]
Группа треугольника (7 4 2), группа Коксетера [7,4], орбифолд (*742) содержат эти однородные мозаики.
| Однородные семиугольные/квадратные мозаики | |||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Симметрия: [7,4], (*742) | [7,4]+, (742) | [7+,4], (7*2) | [7,4,1+], (*772) | ||||||||
| | | | | | | | | | | ||
| |  |  |  |  |  |  |  |  |  | ||
| {7,4} | t{7,4} | r{7,4} | 2t{7,4}=t{4,7} | 2r{7,4}={4,7} | rr{7,4} | tr{7,4} | sr{7,4} | s{7,4} | h{4,7} | ||
| Однородные двойственные | |||||||||||
| | | | | | | | | | | ||
| |  |  |  | |  |  | | ||||
| V74 | V4.14.14 | V4.7.4.7 | V7.8.8 | V47 | V4.4.7.4 | V4.8.14 | V3.3.4.3.7 | V3.3.7.3.7 | V77 | ||
(8 4 2)[править | править код]
Группа треугольника (8 4 2), группа Коксетера [8,4], орбифолд (*842) содержат эти однородные мозаики. Поскольку все элементы чётны, из двух двойственных однородных мозаик одна представляет фундаментальную область зеркальной симметрии: *4444, *882, *4242, *444, *22222222, *4222 и *842 соответственно. Все семь мозаик могут быть альтернированы и для полученных мозаик существуют двойственные.
| Однородные восьмиугольные/квадратные мозаики | |||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| [8,4], (*842) (with [8,8] (*882), [(4,4,4)] (*444) , [∞,4,∞] (*4222) index 2 subsymmetries) (и подсимметрия [(∞,4,∞,4)] (*4242) ) | |||||||||||
=  = =  | = | = = = | = | = = | = | | |||||
 |  |  |  |  |  |  | |||||
| {8,4} | t{8,4} | r{8,4} | 2t{8,4}=t{4,8} | 2r{8,4}={4,8} | rr{8,4} | tr{8,4} | |||||
| Однордные двойственные | |||||||||||
| | | | | | | | |||||
 |  |  |  |  |  |  | |||||
| V84 | V4.16.16 | V(4.8)2 | V8.8.8 | V48 | V4.4.4.8 | V4.8.16 | |||||
| Альтернированные | |||||||||||
| [1+,8,4] (*444) | [8+,4] (8*2) | [8,1+,4] (*4222) | [8,4+] (4*4) | [8,4,1+] (*882) | [(8,4,2+)] (2*42) | [8,4]+ (842) | |||||
= | =  | = | = | = | = | | |||||
 |  |  |  |  | |  | |||||
| h{8,4} | s{8,4} | hr{8,4} | s{4,8} | h{4,8} | hrr{8,4} | sr{8,4} | |||||
| Альтернированные двойственные | |||||||||||
| | | | | | | | |||||
 |  | | | | |||||||
| V(4.4)4 | V3.(3.8)2 | V(4.4.4)2 | V(3.4)3 | V88 | V4.44 | V3.3.4.3.8 | |||||
(5 5 2)[править | править код]
Группа треугольника (5 5 2), группа Коксетера [5,5], орбифолд (*552) содержат эти однородные мозаики.
| Однородные пятипятиугольные мозаики | |||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Симметрия: [5,5], (*552) | [5,5]+, (552) | ||||||||||
= | = | | |||||||||