Линейный непрерывный оператор

Линейный непрерывный оператор ${\displaystyle A:X\rightarrow Y}$, действующий из линейного топологического пространства X в линейное топологическое пространство Y — это линейное отображение из X в Y, обладающее свойством непрерывности.

Термин «линейный непрерывный оператор» обычно употребляют в случае, когда Y многомерно. Если Y одномерно, т.е. совпадает с самими полем (${\displaystyle \mathbb {R} }$ или ${\displaystyle \mathbb {C} }$), то принято использовать термин линейный непрерывный функционал^[1]. Множество всех линейных непрерывных операторов из X в Y обозначается ${\displaystyle L(X,Y)}$.

В теории нормированных пространств линейные непрерывные операторы более известны как ограниченные линейные по нижеизложенной причине. Теория линейных непрерывных операторов играет важную роль в функциональном анализе, математической физике и вычислительной математике.

Свойства[править | править код]

• Если X конечномерно, то любой линейный оператор непрерывен.
• Непрерывность линейного оператора в нуле равносильна его непрерывности в любой другой точке (и, следовательно, во всём X).
• Для нормированных пространств условия непрерывности и ограниченности (т.е. конечности операторной нормы) равносильны.^[2]. В общем случае из непрерывности линейного оператора следует ограниченность, но обратное верно не всегда.
• Если X и Y — банаховы пространства, и образ оператора ${\displaystyle A\in L(X,Y)}$ совпадает с пространством Y, то существует обратный оператор ${\displaystyle A^{-1}\in L(Y,X)}$ (т.н. теорема об обратном операторе).
• Множество всех линейных непрерывных операторов из X в Y само является линейным топологическим пространством. Если X и Y нормированы, то ${\displaystyle L(X,Y)}$ также нормировано операторной нормой. Если Y — банахово, то и ${\displaystyle L(X,Y)}$ является таковым, независимо от полноты X.

Свойства линейного непрерывного оператора сильно зависят от свойств пространств X и Y. Например, если X — конечномерное пространство, то оператор ${\displaystyle A\in L(X,Y)}$ будет вполне непрерывным оператором, область его значений ${\displaystyle R(A)}$ будет конечномерным линейным подпространством, и каждый такой оператор можно представить в виде матрицы^[3].

Непрерывность и сходящиеся последовательности[править | править код]

Линейный оператор ${\displaystyle A:X\rightarrow Y}$, действующий из линейного топологического пространства X в линейное топологическое пространство Y, непрерывен тогда и только тогда, когда для любой последовательности ${\displaystyle \{x_{n}\}}$ точек X, из ${\displaystyle x_{n}\rightarrow x_{0}}$ следует ${\displaystyle Ax_{n}\rightarrow Ax_{0}}$.

Пусть ряд ${\displaystyle \sum \limits _{n=1}^{\infty }x_{n}=s}$ сходится и ${\displaystyle A:X\rightarrow Y}$ — линейный непрерывный оператор. Тогда справедливо равенство

${\displaystyle \sum \limits _{n=1}^{\infty }Ax_{n}=As}$.

Это означает, что к сходящимся рядам в линейных топологических пространствах непрерывный линейный оператор можно применять почленно.

Если X, Y — банаховы пространства, то непрерывный оператор переводит каждую слабо сходящуюся последовательность в слабо сходящуюся:

если ${\displaystyle x_{n}\to x}$ слабо, то ${\displaystyle Ax_{n}\to Ax}$ слабо.

Связанные определения[править | править код]

• Линейный оператор называется ограниченным снизу, если ${\displaystyle \exists k>0,\forall x\in X,\|Ax\|\geq k\|x\|}$.

См. также[править | править код]

• Сопряжённый оператор

Литература[править | править код]

• Треногин В. А. Функциональный анализ. — М.: Наука, 1980. — 495 с.
• Халмош П. Конечномерные векторные пространства = Finite-dimensional vector spaces. — М.: Физматгиз, 1963. — 264 с.
• Шилов Г.Е. Математический анализ (функции одного переменного), часть 3. — М.: Наука, 1970. — 352 с.

Примечания[править | править код]

Для улучшения этой статьи желательно: Проставить сноски, внести более точные указания на источники. После исправления проблемы исключите её из списка. Удалите шаблон, если устранены все недостатки.